推广几何布朗运动

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英文标题：
《Generalizing Geometric Brownian Motion》
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作者：
Peter Carr and Zhibai Zhang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  To convert standard Brownian motion $Z$ into a positive process, Geometric Brownian motion (GBM) $e^{\\beta Z_t}, \\beta >0$ is widely used. We generalize this positive process by introducing an asymmetry parameter $ \\alpha \\geq 0$ which describes the instantaneous volatility whenever the process reaches a new low. For our new process, $\\beta$ is the instantaneous volatility as prices become arbitrarily high. Our generalization preserves the positivity, constant proportional drift, and tractability of GBM, while expressing the instantaneous volatility as a randomly weighted $L^2$ mean of $\\alpha$ and $\\beta$. The running minimum and relative drawup of this process are also analytically tractable. Letting $\\alpha = \\beta$, our positive process reduces to Geometric Brownian motion. By adding a jump to default to the new process, we introduce a non-negative martingale with the same tractabilities. Assuming a security\'s dynamics are driven by these processes in risk neutral measure, we price several derivatives including vanilla, barrier and lookback options.
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中文摘要：
为了将标准布朗运动$Z$转化为正过程，几何布朗运动（GBM）$e ^{\\beta Z\\u t}、\\beta>0$被广泛使用。我们通过引入不对称参数$\\ alpha \\ geq 0$来推广这一正过程，该参数描述了当过程达到新低时的瞬时波动率。对于我们的新流程，$\\ beta$是价格任意高时的瞬时波动率。我们的推广保留了GBM的正性、恒定比例漂移和可跟踪性，同时将瞬时波动率表示为$\\α$和$\\β$的随机加权平均值。该过程的运行最小值和相对缩尺也是可分析的。让$\\ alpha=\\ beta$，我们的正过程简化为几何布朗运动。通过在新过程中添加一个跳转到默认值，我们引入了一个具有相同可处理性的非负鞅。假设证券的动态是由这些过程以风险中性的方式驱动的，我们对几种衍生产品进行定价，包括香草、屏障和回望期权。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Generalizing_Geometric_Brownian_Motion.pdf (230.37 KB)

2022-6-10 16:34:26 上传

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关键词：布朗运动 Quantitative Mathematical Generalizing proportional

推广几何布朗运动Peter Carr，Zhibai Zhang纽约大学金融与风险工程系Tandon工程学院12 Metro Tech Center Brooklyn NY 11201，USApcarr@nyc.rr.comz.zihbai@gmail。为了将标准布朗运动Z转化为正过程，广泛使用几何布朗运动（GBM）eβZt，β>0。我们通过引入非对称参数α来推广这个正过程≥ 0表示过程达到新低时的瞬时波动率。在我们的新流程中，β是指价格变得任意高时的内在波动性。我们的推广保留了GB M的正性、恒定比例漂移和可处理性，同时将瞬时波动率表示为α和β的随机加权LMean。该过程的运行最小值和相对绘图也可以分析处理。让α=β，我们的正过程简化为几何布朗运动。通过在新过程中添加一个跳转到默认值，我们引入了一个具有相同可跟踪性的非负鞅。假设一种证券的动态性是由这些过程以风险中性的方式驱动的，我们定价了几种衍生产品，包括vanilla、barrier和lookback期权。1引言随机过程在期权定价模型中有多种用途。一个非常常见的目的是s mileiinterpolation和extrapolation。考虑到多个共同终端市场报价，这里的目标是在执行价格或增量水平的连续统一体上产生波动。第二个目的是评估路径相关的或有目标，如量子远期合约或障碍期权。出于这两个目的，众所周知，只要在适当的概率测度下，所有相关价格过程都被指定为鞅，就可以避免套利。通常，套利可以是基于模型的，也可以是无模型的。

无模型套利的一个例子是看跌期权平价的aviolation。基于模型的套利的一个例子是，在黑色模型中，两种欧洲风格的期货期权具有不同的隐含波动性。鞅规范产生的价格不存在两种类型的套利。例如，使用无漂移的几何布朗运动来描述期货度量Q下的期货价格，会导致看跌期权平价保持，以及在走向一个成熟度时的隐含波动率相等。假设做市商在初始日期使用一个鞅规范，然后在第二个日期使用不同的鞅规范。例如，假设做市商在第一天使用波动率为10%的几何布朗鞅，然后在第二天使用波动率为20%的几何布朗鞅。两个日期的价格都没有模型自由套利。例如，put callparity将在两个日期都保持不变。基于Blackmodel的正确性，两个日期产生的价格确实产生了套利。例如，如果黑色模型中的实际波动率为10%，则第二天产生的价格允许基于模型的套利。如果实际波动率保持在20%不变，则第一天产生的价格允许基于模型的套利。如果实际波动率在其他值（例如15%）不变，则两天产生的价格允许基于黑色模型的套利是正确的。

然而，如果Black模型没有描述基础的风险中性动态，那么市场做市商使用时间不一致的鞅规范就不需要产生任何基于模型的套利。尽管如此，使用时间不一致的鞅规范确实会产生一组缺乏无模型套利的值。当唯一的目标是产生没有无模型套利的价值时，唯一需要面对的挑战是与所有流动和透明的报价保持一致。为此，与时间一致性规范相比，时间不一致性鞅规范具有更大的灵活性。使用两个日期波动率相同的黑色模型的做市商不太可能在两个日期都能够匹配AT M报价。相比之下，使用能够在第二天改变波动率的黑色模型的做市商可以保证能够在两个日期匹配ATM报价。相比之下，这一次不一致的黑色模型不能保证在任何给定日期匹配多个选项价格的能力。当两个或多个同时报价的到期日不同，且缺乏无模型套利时，可以通过从恒常波动性模型转移到确定性波动性黑色模型来匹配它们。然而，当两个共同终端报价出现明显差异且缺乏无模型套利时，就不一定能将其与确定性波动率黑色模型相匹配。需要不同类型的鞅规范来保证匹配。在选择替代鞅规范时，明智的做法是理解几何布朗鞅作为基准过程成功背后的原因。一旦了解了这些原因，就更清楚应该保留哪些GBM属性，哪些属性应该丢弃。

例如，乍一看，无漂移算术布朗运动（ABM）由于其相似性和易处理性，似乎是无漂移SGBM的一个有吸引力的替代品。然而，人们普遍认为，ABM未能保持GBM的正性特性，使其无法作为替代方案。人们普遍认为，GBM的这种积极特性使其成为描述所有者享有有限责任的资产市场价格的一个很好的第一近似值。但是，GBM具有状态空间（0，∞) 有限责任资产价格占[0，∞). 为了验证有限责任资产价格可能消失的可能性，可以像[5]中所做的那样，在GBM中加入违约跳跃。GBM仍然适合作为股票指数的玩具模型，人们普遍认为零是不可能的。GBM来源的不可访问性也使其成为汇率的一个很好的玩具模型，因为如果X是汇率，则需要很好地定义X。对于无漂移GBM，在坐标反演和概率测度改变后，其状态空间和动力学保持不变。在外汇市场中，反转汇率是一种自然的操作，概率度量的变化对应于货币的变化。GBM的这些不变性很可能解释了为什么随机过程在外汇期权市场中扮演着重要角色。如果想要解决GBM的不足，同时保持外汇期权定价的适用性，那么至少在反转下保持一些不变性的概念是必要的。本文的目的是提出一种在考虑反演不变性的同时推广GBM的过程。毫不奇怪，双曲函数在我们的分析中起着很大的作用。首先回顾一下GBM的一些众所周知的特性是很有帮助的。

考虑一个无套利市场，让Q是一个等价鞅测度。设Z表示Q下实线上的标准布朗运动。考虑过程gt=eβZt，t≥ 0，当eβ>0时。显然，这一过程开始于一，并永远保持积极。根据It^o公式：dgtgt=βdt+βdZt，t≥ 0。（1）我们说过程g在速率β下具有恒定的比例漂移，在速率β下具有恒定的比例方差。参数β称为波动率。这个过程称为几何布朗运动。要从g中获得非负鞅，至少有三种方法。首先，可以通过设置dQdQ=e将概率度量f从Q更改为Q-βZT-βT.其次，可以通过设置Ft=gte来改变坐标-βt/2。这两个应用程序都会创建一个鞅，以保持g的严格正性。如果只需要鞅的非负性，则可以选择在到达率为β/2的g过程中添加一个跳转到默认值。本文提出了一个推广GBM gt=eβZt，t的正过程≥ 0通过添加不对称参数α≥ 对于我们的新过程，α描述了每当达到新低时的瞬时波动率。而β是当过程变得任意高时的瞬时波动率。我们的推广保持了GBM的正性、恒定比例漂移和可处理性，将瞬时方差表示为α和β的凸组合。该模型实际上允许第三个参数γ，即初始瞬时波动率，因此需要介于α和β之间。对于许多期权市场，三参数模型被广泛用于内插和外推整个期权市场的隐含价值。

直觉上，市场参与者同意期权市场显示非零偏度和峰度，但很少有人讨论高于四次方的时刻。换句话说，市场参与者同意，有必要将隐含波动率的水平、斜率和凸度与货币匹配，但很少讨论隐含波动率的三阶或更高导数。不幸的是，我们的特定三参数模型不如其他一些三参数模型灵活。g、 具有固定β或ρ的SABR。因此，我们的三参数模型仅适用于隐含波动率区间似乎在走向上是唯一的期权市场，例如SPX或VIX。对于非单调切片，如隐含波动率微笑时，必须通过添加随机波动率等来改变模型。只要隐含的波动率切片在执行价格上是单调的，我们的三个参数α≥ 0，β>0和γ≥ 0具有明确的角色。参数α控制低冲击时的渐近隐含波动率，而参数β控制高冲击时的渐近隐含波动率。参数γ用于衡量货币隐含波动率。本文概述如下。下一节将开发一个新的特殊函数，称为双参数指数函数。下一节将使用此特殊函数构造具有常数漂移的正协调次鞅。然后，我们通过在子鞅中加入一个跳转到默认过程来引入一个非负鞅。这个鞅有三个参数α≥ 0，β>0，γ介于α和β之间。接下来是新鞅的过渡PDF的详细说明。penu-ltimatesection给出了基于这些鞅的未定权益的封闭式估值公式。

特别是，我们研究了vanilla选项、lookb ack选项和barrier选项。最后一节对论文进行了总结，并对未来的研究提出了一些建议。2双参数指数函数在本节中，我们构造了一个新的特殊函数，我们称之为双参数指数函数。在下一节中，我们将利用这个特殊函数构造三参数鞅。对于β>0，设y=eβxbe为标准单参数指数函数。而函数定义为β∈ C和x∈ C、 我们只考虑β∈ R+和x∈ R+。eβx的定义特征是，对于所有x，函数的斜率与其高度的比率在β>0时保持不变≥ 对于所有β>0，函数的单位高度为x=0。因此，我们的双参数指数函数的所有双参数α值的单位高度为x=0≥ 0和β>0。我们将证明函数的斜率与高度之比为α≥ x=0时为0，将β>0近似为x↑ ∞. 由于实际上任何函数都满足这些标准，因此我们进一步要求所有x的函数曲率与其高度的比率在β>0时保持不变≥ 此属性也属于单参数指数函数，用于唯一确定双参数指数函数。对于x≥ 0、β>0和α≥ 0，我们通过以下公式定义双参数指数函数：eβxβ-α≡β+α2βeβx+β- α2βe-βx.（2）因此，下标指数是普通指数eβx及其倒数的线性组合。β- eβxβ中的αsubscr ipt-α表示分数乘以倒数e的分子-βx。乘以eβxis的分数的数值始终是非对称p参数α和一般指数eβx中的比例因子β之和。两个分数的共同分母是该比例因子β的两倍。

这些规则将（2）的LHS扩展为RHS。函数的域x上≥ 0，普通指数eβxin线性组合大于其倒数，即eβx≥ e-βx.如果α=0，则两个分数简化为一半，函数是增凸的。增加α会增加乘以较大指数eβx的分数，并减少乘以较小指数e的fr作用-βx，同时将函数值保持在x=0，固定为1。因此，增加α会使我们的特殊函数在每x处向上倾斜得更快≥ 如果α=β，则两个参数的指数eβx降低为一个参数的指数eβx。因此，下标β-eβxβ上的α-α也是我们的双参数指数函数与单参数指数函数的偏差的度量。与单参数指数函数eβx一样，双参数指数函数eβxβ-对于所有x，由（2）定义的α在x中为正、递增和凸≥ 0和所有β>0。导数w。r、 双参数指数函数的t.x为：ddxeβxβ-α=βeβxα-β, α ≥ 0，β>0，x≥ 0，（3）式中：eβxα-β≡β+α2βeβx+α- β2βe-βx，α≥ 0，β>0，x≥ 0。（4）α=0时，eβxα-β是双曲正弦的右臂，因此为正。增加α会增加指数和βxα的权重-β> 0表示所有α≥ 0，β>0，x≥ 由于β也大于0，（3）意味着我们的特殊函数f（x）求解了x上的普通微分方程f′（x）=βf（x）≥ 0服从Dirichlet边界条件f（0）=1和Neumann边界条件f′（0）=α。我们的函数也可以表示为cosh（βx）+αβsinh（βx），x≥ 0, α ≥ 0，β>0，因此其属性将作为这种表示的结果出现。导数dDxeβxβ-α为正。

因此，我们的双参数指数函数的x导数与普通指数函数w.r.t对其标度因子β的x导数表现出相同的行为。区分我们的双参数指数函数w。r、 x还切换下标上的符号。转换eβxα-（3）RHS上的β返回到涉及其队列eβxβ的表达-α、 我们可以再次区分w.r.t.x。尤其是：ddxeβxβ-α=βeβxβ-α, α ≥ 0，β>0，x≥ 因此，对于所有x，函数的曲率与其高度之比在β>0时保持不变≥ 0，如前所述。有一种转换eβxα的替代方法-β返回到涉及其队列的表达eβxβ-α. 表中显示：eβxα-β=seβxβ-α+α- ββ. （6） 现在，我们使用这种替代转换机制表明，我们的双参数指数函数将其斜率的比率设置为x=0时的α高度。我们还将对比显示，其斜率与高度之比接近βas x↑ ∞. 这些行为定义了双参数指数函数中每个参数的作用。考虑双参数指数函数的斜率与其高度的比值：ddxeβxβ-αeβxβ-α=βeβxα-βeβxβ-α、 （7）来自（3）。在（7）的RHS上使用（6），该比率也可以表示为：ddxeβxβ-αeβxβ-α=βreβxβ-α+α-βeβxβ-α=βvuut1+α- ββeβxβ-α. （8） 将β置于平方根下：ddxeβxβ-αeβxβ-α=vuuuutαeβxβ-α+ β1.-eβxβ-α. （9） 自1起/eβxβ-α∈ （0，1），半径d是α和β的凸组合。x=0时，eβxβ-α=1，所以eβxβ-α同时=1和比率dDdXeβxβ-αeβxβ-α= α. 作为x↑ ∞, eβxβ-α↑ ∞, 所以eβxβ-α↓ 0和比率dDdXeβxβ-αeβxβ-α收敛于β。与单参数指数函数一样，我们的双参数指数函数有一个显式逆。要推导它，让：y=eβxβ-α=β+α2βeβx+β- α2βe-βx，x≥ 0, α ≥ 0, β > 0. （10） 我们需要解x作为y的函数。