修正Black-Scholes方程的Aunt Michaela期权定价

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英文标题：
《Pricing the Aunt Michaela Option with a Modified Black-Scholes Equation
  with a Maturity Condition of Gamma Type》
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作者：
Juan Ospina
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Using Maple, we compute a new exact series solution of a modified Black-Scholes equation, recently proposed, for the case of the Aunt Michaela option with a maturity condition of gamma type. We show that the modified Black-Scholes equation with the Aunt Michaela option is exactly solvable in terms of associated Laguerre polynomials or equivalently, in terms of Whittaker M functions. Finally, we make some numerical experiments with the analytical solutions
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中文摘要：
使用Maple，我们计算了最近提出的修正Black-Scholes方程的一个新的精确级数解，用于具有gamma型成熟度条件的Aunt Michaela期权。我们证明了带有Aunt Michaela选项的修正Black-Scholes方程可以用关联的Laguerre多项式或等价的Whittaker M函数精确解。最后，我们用解析解进行了一些数值实验
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Pricing_the_Aunt_Michaela_Option_with_a_Modified_Black-Scholes_Equation_with_a_M.pdf (609.4 KB)

2022-6-10 17:06:12 上传

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关键词：SCHOLES Michael choles Holes Black

用修正的Black-Scholes方程和Gamma类型的不成熟条件为Aunt Michaela期权定价Juan Ospin计算量子经济物理组数学物理计划Manrique理工学院（MIT）Medellín，Colombiajospina@gmail.comAbstract.UsingMaple，我们计算了最近提出的修正Black-Scholese方程的一个新的精确级数解，用于具有gamma型到期条件的Aunt Michaela期权的情况。我们证明了带unt-Michaela选项的修正Black-Scholes方程可以用关联的Laguerre多项式或等价的Whittaker M函数精确解。最后，我们用解析解做了一些数值实验。关键词：计算量子经济物理，修正的Black-Scholes方程，定价期权，Aunt Michaela期权，特殊函数，Whittaker函数，Laguerrepolynomials，符号计算，计算机代数，Maple。1、简介标准Black-Scholes方程[1,2,3]（0.1）提供了一种工具来估计不同投机金融期权的价格。根据标准Black-Scholes方程（0.1），预期金融期权的价格V（t，S）是时间t和标的资产当前价格S的函数；这种价格V（t，S）取决于波动率 无风险利率r。

从数学角度来看，根据方程式（0.1），波动率  起扩散作用；无风险利率r同时起着漂移参数和反应率的作用。为了获得标准Black-Scholes方程（0.1）的显式解，有必要指定我们正在考虑的投机性金融期权的种类。有两种典型的投机金融选择。第一个是calledEuropean看涨期权，由[1]（0.2）定义  t（）V，t S r SS（）V，t S122S22S2（）V，t S r（）V，t S 0（）V，T S{S K公司K S0其中K为标的资产的执行价格，T为所考虑的投机金融期权的到期时间。然后，第一个数学问题是用条件（0.2）求解（0.1）。第二种经典的投机性金融期权称为欧式看跌期权，由[1]（0.3）定义。然后，第二个数学问题在于用条件（0.3）求解（0.1）。众所周知，（0.1）与（0.2）的解具有形式[1]（0.4），而（0.1）与（0.3）的解由[1]（0.5）使用（0.4）和（0.5）给出。当相关参数已知时，可以计算许多投机金融期权的理论价格。在投机的“真实”生活中，特定金融期权的“真实”价格与布莱克-斯科尔斯方程的解所规定的理论价格存在明显的偏差。

为了缩小投机性金融期权的“观察”价格与理论价格之间的差距，一些作者提出了两种策略：a）制定广义Black-Scholes方程，其中包含标准Black-Scholes方程作为特例[1]；b） 公式化修改后的Black-Scholes方程，不必包含标准BlackScholes方程作为特例【3】。在这项工作中，我们考虑了最近提出的修正Black-Scholes方程【3,3A】的情况，我们将计算出Unt Michaela期权的某些精确级数解，其中的成熟度条件以伽马分布形式给出。对于计算，我们将使用计算机代数软件，特别是Maple[4]，我们将使用一些特殊的数学物理函数，如Whittakerfunctions[5]和相关的Laguerre多项式[6]。（）V，T S{0K S公司K S公司S K（）Vcall，t S1212erf122lnSK公司r22( )T T T T T TK e（）r（）T T T1212erf122lnSK公司r22( )T T T T T T（）Vput，t S S1212erf122lnSK公司r22( )T T T T T TK e（）r（）T T T1212erf122lnSK公司r22( )T T T T T T2、问题我们这里考虑的是Y最近提出的修正Black-Scholes方程。

郑，即（1）当（2）方程（1）化简为经典Black-Scholes方程（3）时，本文研究了（1）与（4）的一系列特例。当（4）被替换为（1）时，我们得到了形式为（5）的亚Black-Scholes方程，其中（5）在k=2时化简为（3）。我们这里的问题是用Michaela阿姨选项（6）求解方程（5），其中p，A和 是指定Aunt Michaela选项的参数。方法本节将逐步给出计算程序，以解决问题（5）-（0.3）。我们将使用Maple，并将应用数学物理的一些特殊函数，如Whittaker函数和相关的Laguerrepolynomials。具体来说，我们将使用associatedLaguerre多项式的正交性，其形式为[7]（7A）  t（）V，t S r SS（）V，t S12（） ,S t22S2（）V，t S r（）V，t S 0( ) ,S t公司 S  t（）V，t S r SS（）V，t S122S22S2（）V，t S r（）V，t S 0( ) ,S t公司 Sk2级  t（）V，t S r SS（）V，t S122秒2S2（）V，t S r（）V，t S 0（）V，S TA S（）p 1e（） S( )第1页（） 第1页d0e（）xxk（）L，n k x（）L，m k x x！( )n k公司,n m！其中L（n，k，x）是变量x中阶数为n且阶数为k的相关拉盖尔多项式。

对于将使用Maple符号（7B）的计算，我们寻找方程（5）的解，用形式（8）替换（5）中的（8），我们得到（9），根据Maple将其简化为（10），如果S=0时我们需要有界解，则（10）的解由（11）给出；鉴于Whittakerw函数倾向于 当S=0时，我们要求\\u C2=0；然后将（11）简化为（12），解（12）可以重写为（13）（）拉盖尔，n k x（）L，n k x（）C，x t e（） t（）F x  t（）e（） t（）F S r SS（）e（） t（）F S122秒2S2（）e（） t（）F S r e（） t（）F S0    （）F S r SddS（）F S122秒dd2S2（）F S r（）F S 0（）F S eS（） k 2r（）k 22秒k2/1 2\\u C1惠塔克姆，  2. 3 r r k2 r（）k 212（）k 22 S（） k 2r（）k 22._C2级惠塔克沃，  2. 3 r r k2 r（）k 212（）k 22秒（） k 2r（）k 22.（）F S \\u C1 eS（） k 2r（）k 22秒k2/1 2惠塔克姆，  2. 3 r r k2 r（）k 212（）k 22秒（） k 2r（）k 22（）F S \\u C1拉盖尔， r( )k 2 r1k 22秒（） k 2r（）k 222k 12（）k 2（）k 2k 12（）k 2rk 12（）k 2k 1k 2二项式，( )k 2 rr( )为了保证（13）中相关的拉盖尔函数是多项式，我们要求（14），其中n是一个自然数。

从（14）推导出（15）替换（13）中的（15）并重新定义积分常数，得到（16）如果修正的Black-Scholes方程（5）是一个线性方程，则可以应用叠加原理；然后，将（16）和（8）与（15）一起使用，（5）的一般解采用（17）的形式，我们用给出的（18）的Michaela阿姨选项来解（5），因此，从（17）和（18）我们得到（19）使变量发生变化，也就是说方程（19）现在采用（19A）的形式，将（19A）的两边乘以我们得到 r( )k 2 rn  n（）k 2 r r r（）F S C拉盖尔，n1k 22秒（） k 2r（）k 22.（）V，t Sn 0中国大陆拉盖尔，n1k 22秒（） k 2r（）k 22e（）r（） n k 2 n 1 t（）V，S TA S（）p 1e（） S( )第1页（） 第1页（）V，T Sn 0中国大陆拉盖尔，n1k 22秒（） k 2r（）k 22e（）r（） n k 2 n 1 Tu2 S（） k 2r（）k 22.Su2( )k 22 r1. k 2拉盖尔，m1k 2u阿联酋（）u（20），其中a是要确定的某个常数。将（20）关于S的两侧从0积分到,  将等式（20）转换为（21），使变量发生变化，在（21）右侧的积分中，我们得到（22），以便将（22）右侧的积分减少到（7A）给出的相关拉盖尔多项式的正交归一化关系，我们要求：；这意味着。

将ain的该值替换为（22）的右侧，我们得到u2 S（） k 2r（）k 22.  a k 2 a 1 kk 21k 2ak公司k 2（22A）那么，在（22A）的右侧积分中使用（7A），我们得到（23）替换（22A）中的（23）并使用；它给出了（24），减少到（25）0拉盖尔，n1k 2u拉盖尔，m1k 2u u1.k 2e（）u2乐队1.k 2r1.k 22.k 2（）k 2k 1k 2ud21.k 2r1.k 22.k 2（）k 2k 1k 2！ n k 2 n 1k 2,n m！nu2 S（） k 2r（）k 22从（25）中，我们推导出（26）替换（17）中的（26），我们得到（27），这是（5）对于Michaela阿姨选项（18）的解。参考文献1。Liviu Adrian Cotfas，Camelia Delcea，Nicolae Cotfas，Black-Scholes方程代理化版本的精确解，arXiv:1411.2628.2。Natanael Karjanto，Binur Yermukanova，Laila Zhexembay，Black Scholesequation，arXiv:1504.030743。Y、 郑，关于广义随机微分方程和Black-ScholesDynamic过程，《2010年世界工程大会论文集》第一卷WCE2010，2010年6月30日至7月2日，英国伦敦。；http://www.iaeng.org/publication/WCE2010/WCE2010_pp364-367.pdf3.A.Ospina Juan，欧洲看跌期权修正Black-Scholes方程的新解析解，https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1508/1508.03841.pdf4.Maple，www.maplesoft。com5、Kummer函数，https://en.wikipedia.org/wiki/Confluent_hypergeometric_function6.关联拉盖尔多项式，https://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials7.关联拉盖尔多项式的Orhtonomalization，http://mathworld.wolfram.com/AssociatedLaguerrePolynomial.html