双曲正态随机波动率模型

[2002]推导了隐含BSM波动率的近似公式，通过BSM公式可以快速计算期权价格。然而，值得注意的是，即使β6=0，正态波动率也首先从正态扩散的小时间扰动中获得，然后通过另一种近似将其转换为BSM波动率【Haganand Woodward，1999年】。因此，根据正常波动率和正常模型公式计算的期权价格被认为更准确，因为可以避免二次近似。由于正态波动率更适合本研究，因此β=0的正态波动率近似值仅供参考和以后使用：σN（σ，α，ρ，K）=σζχ1 +2 - 3ραT式中，ζ=ασ（F- K） 和χ=logp1- 2ρζ + ζ- ρ + ζ1 - ρ!,（6） 式中，K是履约价格，T表示到期时间。当αT很小时，波动率近似是一个有效的渐近展开式；因此，随着αT的增加，近似的准确性明显降低。尽管存在缺点，但不精确近似不会在普通期权定价中产生问题，因为模型参数σ、α、ρ和预先确定的β将根据从市场观察到的期权价格进行校准。在这方面，隐含波动率公式更像是波动率微笑的插值方法。只有当模型的使用超出了普通期权定价的范围时，不准确的近似才会引起问题。两种情况如下：（i）要求了解PDF的奇异支出（如二次支出）的索赔，以及（ii）必须求助于MC模拟的路径相关索赔。在第一种情况下，Hagan et al.（2002）的PDF公式通常会导致出钱罢工时的负密度，从而允许套利。

在第二种情况下，公式得出的普通期权价格与相同参数的MC模拟得出的价格不一致。因此，MC方案的参数校准应格外小心。因此，在SABRmodel在实践者中广受欢迎之后，才开始研究准确的期权分析和高效的MC模拟方法。双曲正态随机波动率模型7本研究回顾了SABR模型的前期工作。关于普通期权定价，Hagan等人[2002]的结果有了各种改进。此类研究的一些例子包括Ob l'oj【2007年】、Jordan and Tier【2011年】、Balland and Tran【2013年】、Lorig等人【2015年】。然而，它们仍然是近似值。只有以下三种特殊情况的确切定价是已知的：（i）零相关性（ρ=0），（ii）对数正态SABR（β=1）和（iii）正态SABR（β=0）。对于其余参数范围，未报告解析解。因此，确定差异法【Park，2014，Le Floc\'h and Kennedy，2017】被认为是最实用的方法。对于零相关性的情况，价格过程可以转换为以[-1/2]t类似于方程式（3）的方式。因此，期权价格由[-[1/2]Tover the CEVoption prices[施罗德，1989年]。关于基于二维双曲几何热核的最简单表达式，请参考Antonov等人【2013年】【McKean，1970年】，我们将在下文介绍。对数正态SABR的解用高斯超热学级数表示【Lewis，2000年】。正常SABR模型下的期权定价取决于为双曲线几何BMs开发的数学工具，以庞加莱半平面表示。

由于NSVhmodel也从相同的工具中受益，我们简要介绍了这些工具。n维平面用Hn表示。表1提供了H和H特性的快速参考。几何体中的标准BM定义为随机过程，其最小生成器由拉普拉斯-贝尔特拉米算子给出 几何体的。热核（t，D）是扩散方程的基本解(t型-)p（t，D）=0，然后是标准BM的转移概率。表1显示了H【McKean，1970年】（通常称为McKean核）和H【Debiard等人，1976年】上的热核。通常，热核的解析表达式也为Hn所知；关于推导，见Grigor\'yan和Noguchi【1998年】。His上的标准BM等效于标准形式的正常SABR，ρ=0，其中x轴表示价格过程，z轴表示波动过程。自然，HHEAT内核已用于分析正常SABR。Henry Labord\'ere【2005年、2008年】用二维积分表示了正常SABR模型下的普通期权价格，尽管Korn和Tang【2013年】后来对其进行了修正。Antonov等人【2015年】进一步将价格简化为具有近似值的一维积分。然而，在缺乏有效的数值方案来评估这些积分表示的情况下，方程（6）中的正常波动率近似仍然是正常SABR模型下普通期权定价的实用方法。SABR动力学MC仿真方法的发展相对较新。虽然提出了几种有效的近似方法【Chen等人，2012年，Leitao等人，2017b，a】，但Cai等人【2017年】提出的精确模拟方法适用于以下三种特殊情况：（i）ρ=0，（ii）β=0，和（iii）β=1。

该方法的关键要素是模拟时间积分方差A[-1/2]秒，以终端波动率ZS为条件。数量的累积分布函数（CDF）从拉普拉斯变换8 CHOI、LIU和SEOTable 1中获得。对于n=2和3，由n维Poincar'e半平面Hn表示的n维双曲几何的性质。符号X和X是偏导数算子的缩写符号X和x、 分别为。尺寸H={（x，z）：z>0}H={（x，y，z）：z>0}度量（ds）（dx+dz）/z（dx+dy+dz）/z体积元素dV dx dz/zdx dy dz/z几何距离Dacosh（十）-x） +z+z2zz阿科什（十）-x） +（y-y） +z+z2zz（x，·，z）至（x，·，z）拉普拉斯贝尔特拉米兹(x+z） z(x+y+z）- zZ操作员HN标准BMdxt=ztdXt，dxt=ztdXt，dyt=ztdYt，dzt/zt=dZtdzt/zt=dzt- dt/2加热内核pn（t，D）√2e类-t/8（2πt）3/2Z∞Ddsse公司-s/2t√cosh s公司- cosh D（2πt）3/2Dsinh De-n=2或3时（t+D）/2(t型-Hn）pn=0of（1/A[-1/2]S）| ZS，具有闭合形式表达式[松本和约尔，2005a]。给定Z和A的确切随机数[-1/2]秒，XA[-1/2]在正常的SABR模型中，很容易模拟为XqA[-1/2]对于标准正态变量X。虽然避免了重Euler格式，但Cai等人[2017]的方法由于拉普拉斯变换的数值化和CDF反演的根解，仍然会产生适中的计算成本。与之前使用H的研究不同，本研究第3.1节的主要结果基于Orali和Gruet【1997】利用了H。标准BM中的配对（xt，zt）和（yt，zt）与λ=-1和ρ=0，应注意的是，在NSVh模型中引入λ使这种连接成为可能。尽管有更高的维数，His的热核却没有积分，Alili和Gruet【1997】表明，方形半径xt+Yt和Zt可以精确模拟。

随后，通过具有随机角度的余弦（或正弦）投影提取xt（或yt）。因此，该研究的模拟方案可被视为Box-Muller算法的双曲几何扩展【Box和Muller，1958年】，用于生成正态随机变量，其中His的z轴额外添加。2.3. 约翰逊分销家族。Johnson（1949）提出了一个分布族系统，其中随机变量X由标准正态变量Z:X的变换表示- γXδX=fZ- γZδZ对于f（x）=1/（1+e）-x） 对于SB（有界）家族，对于SL（对数正态）家族，对于SU（无界）家族，（7）双曲正态随机波动率模型9，其中γx和γZare位置参数和δx和δZare标度参数。虽然没有明确包括，但正态分布可以被视为三个族在δx和δz的极限内按比例趋于完整的特殊交集。因此，它通常包括f（x）=x的SN（法线）族。x范围对于su和SN是无界的，对于SL是半界的，对于SB是有界的。该系统的设计方式是为任何数学上可行的偏度和峰度对选择唯一族。对于固定的偏度值，峰度按SB、SL和SU的顺序增加。特别是，SUfamily是重尾数据集建模的一个有吸引力的选择，并已在各个领域得到采用；参考Jones【2014】及其参考文献。金融领域的例子包括GARCH模型中的重尾创新【Choi和Nam，2008年】、风险价值预测【Simonato，2011年，Venkataraman和Rao，2016年】和资产回报分布【Shang和Tadikamalla，2004年，Corlu和Corlu，2015年】。SU分布比其他重尾分布有几个优点。首先，它解释了广泛的偏度和峰度。

对于偏斜度的固定值，它可以容纳任意高的峰度值，这在经典方法中不可能通用化正态分布，如Gram-Charlier或Cornish-Fisher展开。其次，分布的许多特性以闭合形式可用：PDF、CDF、偏度和峰度。第三，参数得到了有效的估计，参考Tuenter【2001】的简化形式矩匹配和Wheeler【1980】的分位数估计。最后，绘制随机数很容易，这使得SUdistribution非常适合MC模拟，尤其是在多变量环境中【Biller和Ghosh，2006年】。一般来说，即使分布函数是以闭合形式给出的，随机数字抽样也不是微不足道的。除了现有的优点外，我们在第3.2节中的结果通过表明它是一个连续时间SV过程的解决方案，即λ=1的NSVh模型，为SU分布和其他重尾分布提供了一级公民地位。这部分解释了为什么SUdistribution在建模资产回报分布和风险度量方面具有优势。3、主要结果本研究的主要结果首次以原始形式呈现了布格罗[1983]的身份。由于后来推广了原恒等式，我们将其作为推论，并将证明推迟到第2步。推论1（布杰罗恒等式）。对于固定时间T，以下分布相等：ZTeZtdXtd=XATd=sinh（WT），（8），其中Xt、WT和zt是独立的BMs，ATI由等式（4）定义。这个恒等式令人惊讶，因为包含两个独立BMS的随机积分在分布上等于一个BM的sinh变换。请参阅Matsumoto和Yor【2005a】、Vakeroudis【2012】，了解综述和相关主题。

身份的解释应谨慎；等式在固定时间t=t的分布（d=）中成立，而不是10 CHOI、LIU和SEO0的过程≤ t型≤ T此外，它对方程（3）的求解没有直接帮助。恒等式必须泛化为非零漂移A【u】，并提供Z【u】的联合分布，这在Alili and Gruet【1997】和Alili et al【1997】中找到。在以下小节中，我们对NSVh模型进行了两种推广；一个用于一般λ，另一个用于特殊情况λ=1.3.1。蒙特卡罗模拟方案。第一个泛化利用Hto中的BMs获得XA【u】T的分布，以Z【u】T为条件。我们以修改后的更强形式重申了Alili和Gruet【1997】中的命题3：命题1（双曲几何中的布热罗恒等式）。设Xt和Zt是两个独立的BMs，函数φ由φ（Z，D）=eZ/2定义√2 cosh D- 2 cosh Z代表Z≤ D、 （9）则以下分布相等，条件是Z[u]T:ZTeZ[u]tdXtd=XA[u]Td=cosθφZ[u]T，qRT+（Z[u]T）, （10） 其中Rtis是二维贝塞尔过程，即二维吕克利德几何中BM的半径，θ是均匀分布的随机角。三个随机变量srt、ZT和θ是独立的。有关证明，请参阅附录A。在Alili和Gruet（1997）的两个原始证明中，提供了利用His解释的证明。这项研究中的命题比原来的命题更强大，因为分布等式成立，条件是Z[u]，这是从证明中毫不费力地暗示出来的。该研究使用Hheat内核进一步简化了原始证明。命题1可直接应用于方程（3）以获得过渡方程和MC格式：推论2。

NSVh模型在固定时间S的联合分布表示为￠σS=expZ[（λ-1） /2]S和▄FSd=ρeZ[（λ-1） /2]S- eλS/2+ ρ*cosθφZ[（λ-1） /2]S，qRS+（Z[（λ-1） /2]秒）.（11） 此外，三个独立的随机变量可以模拟为ZS，RS，cosθd=Z√S、 （X+Y）S，X（或Y）pX+Y！，（12） 其中X和Y是独立的标准法线。使用方程（12）中的标准正态变量的模拟方法比单独绘制RSandθ更有效，因为避免了成本高昂的cosθ评估。该思想类似于Marsaglia极坐标法【Marsaglia和Bray，1964年】，用于绘制正态随机变量。必须注意的是，三个随机数X、Y和Z生成两对▄Fs和▄σS。因此，一次绘制只需要一个半（1.5）正态随机变量，这对于任何SV模型模拟来说都是前所未有的效率。特别是，这种方法双曲正态随机波动率模型11比Cai等人[2017]的精确SABR模拟更有效，尽管它仅限于正常情况。本研究的方法直接绘制XA[（λ-1） /2]沙ZS，而Cai等人【2017】首先绘制了沙ZS，然后绘制了XA[-1/2]S。虽然等式（11）说明了从S=0到S=S的转换，但它可以处理从S=到S=S（S<S）的任何时间间隔。因此，该方案是路径相关索赔定价的理想方案。3.2. λ=1的SU分布。本小节表明，λ=1的NSVh分布由SU分布表示，并与推广到任意起点的布格罗尔恒等式有关。在以下命题中，Alili和Gruet【1997】的命题4（或Matsumoto和Yor【2005a】的定理3.1）被重述。Alili等人【1997】的第1号提案（或Vakeroudis【2012】的第2.1号提案）中发现了更一般的结果，我们遵循其中的建议。命题2（具有任意起点的布杰罗恒等式）。

对于固定的时间t和独立的BMs、Xt、Zt和Wt，以下分布是相等的：sinh（a）eZT+ZTeZtdXtd=sinh（a）eZT+XATd=sinh（Wt+a）。（13） 证明。这两个过程，Pt=sinh（Wt+a）和Qt=eZt新罕布什尔州（a）+中兴通讯-ZsdXs,是等效的，因为它们从相同的起点P=Q=sinh（a）开始，并遵循SDE：dPt=Ptdt+q1+ptdw和dQt=Qtdt+dXt+QtdZt=Qtdt+q1+QtdWt。因此，pta和qt在任何时间t都具有相同的分布。qt和最左侧表达式之间的相等性由时间反转s表示→ T-s、 固定时间T，ZT-ZT公司-稳定部队0≤ s≤ T也是具有相同终点ZT的标准BM，因此可以用Zs代替。推论1中的原始布格罗恒等式是一个特例，a=0。现在，可以应用命题2进一步简化λ=1的NSVh分布。推论3。λ=1的NSVh模型在固定时间S的价格遵循重新参数化的SU分布：~ FSd=ρ*sinh（WS+atanhρ）- ρeS/2，（14），其中原始参数由δZ映射=√S、 γZδZ=-atanhρ，δX=σρ*α、 γX=(R)英尺-σραeS/2。它还允许一种更简单的形式：▄FSd=sinh（WS）+ρcosh（WS）- eS/2. （15） 12 CHOI、LIU和SEOProof。结果很容易从以下双曲函数恒等式得到证明，asinhρρ*= atanhρ=对数1 + ρ1 - ρ.尽管命题2是一个众所周知的结果，但据我们所知，这是在SUdistribution或SV模型的背景下对其进行解释的第一阶段。与Corollary 2相比，Corollary 3是一个更有效的MC方案，需要一个正常的随机数用于一次价格抽取，尽管对于特殊情况λ=1。然而，这是以损失终端波动率σs为代价的。

与推论2不同，推论3只能生成最终价格FS，因此不能用于路径相关索赔。推论3的关键结果是，NSVh模型将基于SDE的SV模型与重尾分布联系起来。这两个主题之间的相遇是相互关联的。首先，作为NSVh过程的解决方案，SU分布比方程（7）中的原始分布获得更直观的参数化。从方程（15）可以清楚地看出，对称重尾来自sinh项，由S控制，而不对称偏斜来自cosh项，由ρ控制。新的参数化也有助于理解约翰逊家族成员之间的关系。对数正态族SLI被认为是ρ=±1（ρ）的特例*= 0）作为▄FSd=±（eZS-eS/2）。正常族SNI为FS/√S在S的极限内→ 0、在NSVh参数下，已知的PDF和CDFof的SU分布分别用pλ=1（x）=n（d）ρ表示*σ√Tp1+ξ和Pλ=1（x）=N(-d） 其中d=√S反双曲正弦αρ*σ（(R)FT- x）-ρρ*eS/2+ atanhρ,（16） 相反，从SU分布来看，NSVh模型获得了期权价格和风险度量的分析可跟踪性。下面是感兴趣的量的封闭形式表达式：推论4。对于遵循NSVh流程且λ=1的资产价格，期权价格、风险价值和预期差额具有以下封闭式解决方案履约价格为x:V±（x）=σ2αeS/2的普通期权的未贴现价格（1+ρ）N（d+√S）- (1 - ρ） N（d-√S）- 2ρN（d）±\'\'英尺- KN（±d），（17），其中d在等式（16）中定义，±分别表示买入/卖出期权分位数p的风险值：VaR（p）=？FT-σαρ*新罕布什尔州d√S- atanhρ+ ρeS/2对于d=-N-1（p）。（18） o分位数p的预计短缺：ES（p）=英尺-σeS/22αp（1+ρ）N（d+√S）- (1 - ρ） N（d-√S）- 2ρ(1 - p）.