双曲正态随机波动率模型

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英文标题：
《Hyperbolic normal stochastic volatility model》
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作者：
Jaehyuk Choi, Chenru Liu, Byoung Ki Seo
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  For option pricing models and heavy-tailed distributions, this study proposes a continuous-time stochastic volatility model based on an arithmetic Brownian motion: a one-parameter extension of the normal stochastic alpha-beta-rho (SABR) model. Using two generalized Bougerol\'s identities in the literature, the study shows that our model has a closed-form Monte-Carlo simulation scheme and that the transition probability for one special case follows Johnson\'s $S_U$ distribution---a popular heavy-tailed distribution originally proposed without stochastic process. It is argued that the $S_U$ distribution serves as an analytically superior alternative to the normal SABR model because the two distributions are empirically similar.
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中文摘要：
对于期权定价模型和重尾分布，本研究提出了一个基于算术布朗运动的连续时间随机波动率模型：正态随机α-β-ρ（SABR）模型的单参数扩展。利用文献中的两个广义布杰罗恒等式，研究表明，我们的模型具有封闭形式的蒙特卡罗模拟方案，并且一种特殊情况下的转移概率遵循Johnson的$s\\U$分布，这是一种最初提出的没有随机过程的流行重尾分布。有人认为，美元S\\U$分布在分析上优于正态SABR模型，因为这两种分布在经验上是相似的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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2022-6-10 17:34:50 上传

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关键词：波动率模型 波动率 distribution Mathematical epidemiology

双曲线正态随机波动率模型Jaehyuk Choi北京大学汇丰银行商学院Chenru Liu斯坦福大学管理科学与工程系杨基SEOUlsan国家科学技术研究所Abstract。对于期权定价模型和重尾分布，本研究提出了一个基于算术布朗运动的连续时间随机波动率模型：正态随机α-β-ρ（SABR）模型的单参数扩展。利用文献中的两个广义布格洛尔恒等式，研究表明，我们的模型有一个封闭形式的蒙特卡罗模拟方案，并且一种特殊情况下的转移概率遵循Johnson的SU分布，这是一种流行的重尾分布，最初提出的无随机过程。有人认为，SU分布在分析上优于正态SABR模型，因为这两种分布在经验上是相似的。1、引言随机波动率（SV）模型被提出，以克服BlackScholes-Merton（BSM）模型在解释履约价格期权市场的非恒定隐含波动率方面的缺陷，这种现象被称为波动率微笑。因此，大多数以前的研究（如Hull and White[1987]、Stein and Stein[1991]、Heston[1993]）都讨论了基于几何布朗运动（BM）的SV模型（以下简称对数正态SV模型）。另一方面，基于算术BM的SV模型（以下简称正常SV模型）研究较少。本研究旨在通过提出和分析一类正态SVM模型来弥补这一差距。

我们选择算术BM作为SV模型的主干的动机有两个：一个是替代对数正态SV模型的期权定价模型，另一个是由连续时间随机过程产生的倾斜重尾分布。电子邮件地址：jaehyuk@phbs.pku.edu.cn, liucr@stanford.edu, bkseo@unist.ac.kr.Date：2018年9月7日。关键词和短语。随机波动率，SABR模型，布杰罗恒等式，约翰逊SU分布。2 CHOI、LIU和SEO1.1。期权定价模型。首先，本研究探讨了期权定价模型方面的问题。虽然BSM模型的成功使其黯然失色，但Bachelier[1900]将算术BM作为期权定价模型进行了一段时间的分析（以下简称为正常模型），并且仍然为某些金融资产类别提供了比几何BM更相关的动态。参考Brooksand Brooks【2017】和Schachermayer and Teichmann【2008】了解关于正态模型的最新调查。它们之间的一个重要区别是，正态模型下的波动率（下文称为正态波动率）衡量的是资产价格绝对变化而非相对变化方面的不确定性。正态模型应用的一个例子是它用于利率建模。每日变化与利率水平（BSM模型的一个关键假设）之间的比例在经验上很弱【Levin，2004年】。因此，在固定收益市场交易者中，长期以来，在利率掉期和国债（和期货）期权的报价和风险管理方面，普通模型一直是BSM模型的普遍替代模型。例如，美林期权波动率指数（MOVE）——相当于波动率指数（VIX）的债券市场——计算为美国国债期权隐含正常波动率的加权平均值。

还值得注意的是，正常模型和BSM模型的套期保值比率delta通常会有显著差异，即使在将相应模型的波动率校准为市场上观察到的相同期权价格之后。因此，当基础资产价格的波动在绝对期限内比在百分比期限内更一致时，正常模型的delta提供了更有效的对冲。2008年全球金融危机后，几个发达经济体观察到的负政策利率进一步证明了利率市场正态模型的使用。除利率外，通常使用正常模型对通货膨胀率【Kenyon，2008】和利差期权【Poitras，1998】进行建模。尽管有这种背景，但很难找到以往关于正态SV模型的研究。令人惊讶的是，对数正态SV模型通常在对数价格转换的正态分布框架下进行分析；这意味着对数正态SV模型上的任何现有结果都可以轻松应用于相应的正态SV模型。据我们所知，之前对正常SV模型的唯一研究是在随机α-β-rho（SABR）模型的背景下进行的【Hagan等人，2002年】——一种SV模型，在从业者中很受欢迎。在SABR模型中，价格遵循恒定的方差弹性（CEV）主干，而波动性遵循几何BM。因此，SABR模型提供了一系列主干选择，包括正常主干和对数正常主干。具有正常主干的ABR模型（以下简称正常SABR）是本研究的重要动机。第2.2.1.2节对SABR模型进行了详细审查。倾斜和重尾分布。

我们研究的第二个动机是，正态SV模型可以作为生成偏态和重尾分布的一种手段，推广正态分布。重尾分布无处不在，其重要性再怎么强调也不为过。在这方面，正态SV模型的研究比对数正态SV模型的研究具有更广泛的意义。这是因为双曲正态随机波动率模型3后者推广了对数正态分布，与正态分布相比，对数正态分布的应用受到限制。统计学中提出了几个分布族，将偏态和重尾纳入正态分布。即使将重点缩小到金融应用上，也可以发现已经采用了许多分布来描述资产回报的统计数据：广义lambda【Corlu和Corlu，2015年】、稳定【Fama，1965年】、skewedt【Theodossiou，1998年】、高斯混合【Kon，1984年，Behr和P¨otter，2009年】、广义双曲线【Eberlein和Keller，1995年，Behr和P¨otter，2009年】，土耳其的g和h分布【Badrinathand Chatterjee，1988年，Mills，1995年】和Johnson的SU分布【Shang和Tadikamalla，2004年，Gurrola，2007年，Choi和Nam，2008年】。然而，上述分布既不是由随机微分方程（SDE）定义的，也不是与之相关的，更不用说SV模型了。这些分布由概率密度函数（PDF）或其他众所周知的随机变量的变换定义。这是因为SDE通常很难产生可分析的可分解解决方案。

只有少数连续时间过程的例子，其转移概率对应于以下众所周知的概率分布：算术BM到正态分布（定义），几何BM到对数正态分布，以及CEV和CIR过程到非中心χ分布。1.3. 本研究的贡献。本研究提出并分析了一类正态SVM模型，其中包括作为特例的正态SABR模型。由于mathematicsbehind模型涉及双曲几何中的BMs，并且结果用双曲函数表示，因此该类被命名为双曲正态SV或NSVhmodel。分析NSVh模型的重要数学工具来自布杰罗身份的两种概括【Alili等人，1997年，Alili和Gruet，1997年】【布杰罗，1983年】。第一个推广使我们得到了一个封闭形式的蒙特卡罗（MC）模拟方案，该方案不再需要时间离散化的Euler方案。MC方案只需要一个anda半（1.5）正态随机数，就可以在任意长度的时间间隔之间进行转换。尽管仅限于正常SABR情况，但本研究的方案远比Cai等人[2017]的前一个精确MC方案有效。此外，本研究简化了FirstGeneralization的原始证明【Alili和Gruet，1997年】。第二个推广表明，NSVh模型的一个特例——不同于正常的SABR模型——给出了SU分布【Johnson，1949年】，这是一种流行的重尾分布。这使得该研究为文献中添加了一个罕见的分析可处理SDE的例子。

正常SV模型为更好地理解SU分布提供了一个框架；利用NSVh参数可以更直观地对分布进行参数化，并在一定程度上解释了分布的普遍使用。重要的是，在NSVh模型框架下，将两个不相关的主题结合在一起，即正态SABR模型和SU分布。有人提出，并从经验上证明，当从中估计参数时，这两种分布非常接近。该类被命名为缩写，其方式类似于双曲正弦成为sinh4 CHOI、LIU和SEOsame数据集的方式，因此可以互换使用。二者互换使用的好处之一是，当被视为期权定价模型时，SUdistribution具有优越的分析可跟踪性。各种感兴趣的数量，如普通期权价格、密度函数、偏度、峰度外、风险价值和预期短缺，具有其他SV模型中不可用的闭合表达式。为了便于互换，提出了在两种分布之间转换等效参数集的阿奎克矩量法。本文的其余部分组织如下。第2节定义了NSVh模型，并查看了SABR模型和SUdistribution。第3节描述了主要结果。第4节用经验数据给出了数值结果。最后，第5节对本文进行了总结。2、型号和初步设计2.1。NSVh型号。NSVh模型引入为DFT=σtρdZ[λα/2]t+ρ*dXt公司and dσtσt=αdZ[λα/2]t，（1）其中fta和σ分别是价格和波动率的过程，α是波动率参数的波动率，ρ表示fta和σt之间的瞬时相关性，ρ*=p1级- ρ.

BMs Zt和XT是独立的，Z[u]t=Zt+ut表示BM有漂移u。讨论了模型参数ρ、α和λ的作用。与对数正态SV模型类似，相关性ρ解释了分布的不对称性，即偏态或波动性偏态。杠杆效应股票市场中现货价格和波动率之间的负相关性通过负ρ实现，尽管这是在NSVh模型中正常波动的情况下。参数α解释了厚尾，即过度峰度或波动率微笑。很容易看出，该过程收敛到极限α中的算术BM→ 0，不考虑ρ。因此，α同时影响歪斜和重尾。参数λ存在于fta和σt的zt漂移中。关于挥发过程，λ控制σt的幂，σt成为几何BM的鞅：d（σt）1-λ（σt）1-λ= (1 - λ） αdZtifλ6=1，d（对数σt）=αdZtifλ=1。例如，λ=0产生波动率σt，遵循无漂移几何BM，如在SABRmodel中，λ=-1产生方差σt，遵循赫尔和怀特（1987）SV模型中的无漂移几何BM。然而，就价格过程而言，漂移阻止了Ft成为鞅，除了λ=0，或者不太重要的是ρ=0，尽管期望值通常计算为'Ft=F+（σρ/α）eλαt/2- 1.. 因此，作为价格过程，结果过程可能并不可取。λ6=0的NSVh模型被理解为从λ=0的情况下扰动的概率分布，通过对Zt应用Radon-Nikodym导数。从本质上讲，λ的引入并没有显著地使双曲正态随机波动率模型5分布的形状多样化，因此λ并不意味着用于参数估计。

然而，正如我们将看到的，λ在模型选择中起着重要作用；它将三个单独研究的主题纳入一个统一的过程：正态SABR模型（λ=0）、Johnson的SU分布（λ=1）和三维双曲几何的BM（λ=-1).为了为第3节中的主要结果提供背景，我们将SDE简化为规范形式，dFs=σs（ρdZ[λ/2]s+ρ*dXs）和d▄σs▄s=dZ[λ/2]s（▄σ=1），（2）其中使用以下变量变化：s=αt，▄σs=σtσ，和▄Fs=ασ英尺-\'\'英尺.这里，新变量s是对数波动率的综合方差，~Fsand∑分别是s下的无量纲价格和波动率过程。~Fsand∑的缩放自然遵循BMs与新变量s的时间变化。时间T是任何固定的兴趣时间，如普通期权到期的时间。FTI的价格首先移动了“FT”，以确保在相应的时间S=αT时E（~FS）=0。因此，正则NSVH分布有效地由三个参数（S、ρ、λ）参数化。此外，原始分布通过FT=（σ/α）~FαT+(R)fta和σT=σσαT来恢复。虽然明确区分了原始表示和规范表示，但为了简洁的表示，变量S通常也以原始形式使用。直到s=s的正则形式的随机积分分别表示为▄FS=ρeZ[（λ-1） /2]S- eλS+ ρ*XA[（λ-1） /2]砂土￠σS=expZ[（λ-1） /2]S. （3） 必须注意的是，σs的积分相对于Xs进一步简化为BMtime，BMtime随BM的指数函数变化，由A【u】T=ZTt=0e2Z【u】tdt（AT=A【0】T）定义。（4） 这一数量一直是广泛研究的主题；详细审查见Matsumoto和Yor【2005a，b】，Yor【2012】。

虽然函数最初定义为亚洲期权BSM模型下的连续平均价格，但在本研究中，它用于方差的时间积分。虽然可以用任何标准BM定义一个[u]TCA，但在整个研究过程中，我们简单地假设一个[u]TCA与一个特定的BM Zt相关。本质上，[u]和Zt紧密交织在一起，了解它们的联合分布是解决方程（3）的关键。2.2. SABR模型和双曲几何。回顾了SABR模型，重点放在正常主干上，以及双曲线几何上的BM，它是NSVh和SABR模型的数学工具。SABR模型【Hagan等人，2002年】是一个SV模型，具有CEV过程的主干：dFtFβt=σt（ρdZt+ρ*dXt）和dσtσt=αdZt，（5）6 CHOI、LIU和SEOwhere Xt和Zt是独立的BMs。如前所述，β=0的正常SABR模型等效于λ=0的NSVh模型。由于以下优点，SABR模型已广泛应用于金融行业，用于覆盖固定收入：（i）任意主干选择，包括正态（β=0）和对数正态（β=1）主干，（ii）近似但快速的普通期权定价方法的可用性【Hagan等人，2002年】，（iii）简洁直观的参数。这些优点的评论是按顺序提出的。关于CEV主干网，ABR模型的普及提供了另一个证据，表明BSM模型的对数正态主干网不是一个一成不变的解决方案。本研究中的正常SABR允许在零位无任何边界条件的情况下，Ft为负值。不应将其与β的连续极限混淆→ 0+，不允许负值。在原始文章中，Hagan等人。