双曲正态随机波动率模型

（19） 双曲正态随机波动率模型13证明。通过将方程（15）与从方程（14）获得的边界积分，可以很容易地得出期权价格。看跌期权价值与预期差额之间的关系，ES（p）=VaR（p）-五、-（VaR（p））/p是有用的，其中VaR（p）在ES（p）的最终表达式中消失。随后，有人认为，具有不同λ值的NSVh分布彼此接近，因此，分析上可处理的λ=1情况可以代表其余情况，包括normalSABR模型（λ=0）。封闭式公式中的期权价格作为基准，第4.3.3节将与推论2的MC方案中的期权价格进行比较。NSVh分布的矩匹配。本研究推导了用于参数估计的一般λ的NSVh分布矩。该研究还提出了λ=0的简化形式的矩匹配，以补充Tuenter[2001]提出的λ=1的矩匹配。推论5。规范NSVh分布的中心矩|un=E（|FnS），对于2≤n≤ 4，表示为|u=ρwλ（w- 1) + ρ*w1+λ- w=eS时为11+λ≥ 0，|u=ρwλ（w- 1） （w+2）+3ρρ*wλw3+λ- 13 + λ-w1+λ- 11 + λ, 和|u=ρw2λ（w- 1） （w+2w+3w- 3) + 6ρρ*wλww5+λ- 15 + λ- 2w3+λ- 13+λ+w1+λ- 11 + λ+ρ*-w1+λw5+λ- 15+λ+（w3+λ+1）w3+λ- 13 + λ-w1+λ- 11 + λ.（20） 原始形状的中心力矩可缩放为un=E（（FT-\'FT）n）=（σ/α）nun，偏度和外峭度表示为s=~u/~u3/2和κ=~u/~u-分别为3。对于正常的SABR（λ=0），得到了进一步的简化表达式：|u=w-1，s=ρ（w+2）√w- 1，κ=（w-1)4ρ+ 1（w+3w+6w+5）+1. （21）详细推导见附录B。推论5推广了SL（ρ=±1）和SU（λ=1）分布的矩。不同λ的NSVh分布的相似性可从偏度和出峰度推断出来。

结果|uk=O（wk（λ+k-1） /2）对于大w，至少对于k=2、3和4，意味着偏度和前峰度的前导阶与λ无关，因为s=O（w3/2）和κ=O（w），如等式（21）所示。为了说明这一点，在图1中，λ=0和1的陡度和前峰度轮廓，作为S（前峰度）和ρS（偏度）的函数≥ 0，进行打印。虽然λ=0的参数略高于λ=1的参数，以获得相同的偏度和前峰度水平，但λ=0和1的等值线非常相似，表明正态SABR和SUR分布之间的相似性。与Tuenter[2001]提出的SU分布的缩减矩匹配方法平行，针对标准SABR模型开发了类似的方法。结合Tuenter【2001】，14 CHOI、LIU和SEOFigure 1。S（=αT）与ρS变化时的偏度（红色虚线）和剩余峰度（蓝色实线）等高线图。左上三角形（ρS，S）表示λ=1（SU），右下三角形（S，ρS）表示λ=0（normalSABR）。从左下角到右上角，偏度的值为0、1.5、3、4.5、6和8，最大峰度的值为2、7、16、40、100和200。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2S（λ=0）S（λ=1）ρS（λ=0）ρS（λ=1）λ=1λ=0两种方法可以快速从另一个分布中找到一个分布的等效参数集。通过ρ将等式（21）中的s和κ的表达式连接起来，κ表示为w的一元函数≥ 1： f（w）=4s（w+3w+6w+5）5（w+2）+（w- 1)1+（w+3w+6w+5）, （22）研究以数字方式确定了根w*ofκ=f（w*). 结果表明，对于w，f（w）是单调递增的≥ 因此，根w*如果存在，则为唯一。Wecan进一步绑定w*由wm提供≤ w*≤ WM加快数字寻根。

下限w是s=（w）的唯一立方根- 1） （w+2）（ρ=±1情况）对于w≥ 1： wm=2 cosh阿科什1+秒.上界wm通过将w=wm插入方程（22）中获得，除了（w-1） 术语：wM=1+κ-s（wm+3wm+6wm+5）/（wm+2）1+（wm+3wm+6wm+5）。双曲正态随机波动率模型15图2。NSVh模型相对于其他已知模型和分布的概述。                       表2：。三种关键特殊情况的NSVh模型摘要：λ=-1、0和1。漂移参数λ=-1λ=0λ=1正常SABRSUDITRIBUTIONMODEL中的等效标准BM/HDRIFFED BM中的分布标准BM，用于▄σsZ[-1/2]sZsZ[1/2]sTerminal volatility￠σSexp（Z[-1] S）扩展（Z[-1/2]S）exp（ZS）综合方差A[-1] 南非[-1/2]SA[0]SExact MC模拟推论2推论2&3香草期权价格方程（6）方程（17）（近似）（精确）矩推论5矩匹配方程（22）Tuenter[2001]w的存在性*等于f（wm）≤ κ. 如果w*存在，并从numericalroot查找中找到，然后可以求解参数asS=log w*, ρ=s（w*+ 2)√w*- 1，且σα=sulog w*（w）*- 1） S.3.4。结果摘要。图2中显示了NSVh模型和其他相关模型的关系。在表2中，三个重要漂移值的结果λ=-对1、0和1进行汇总以进行比较。根据经验数据进行参数估计NSVh分布被校准为两个经验数据集-掉期期权波动率和每日股票指数收益率。本练习的目的是演示本研究中提出的各种数值程序，而不是论证NSVh模型优于16 CHOI、LIU和SEOFigure 3。

2017年3月14日在美国市场观察到的隐含正常波动率（年度基点）中的掉期期权波动率微笑：（a）1年期掉期（1y1y）和（b）10年期掉期（10y10y）。圆圈代表观察到的市场价格隐含的波动性，其中黑色圆圈为ATM和ATM±1%的校准点。实线（蓝色）表示λ=1（SU）的模型隐含微笑曲线，虚线（红色）表示λ=0（正常SABR）。插入的是隐含的BSM波动率（年%）。0 1 2 3 460 70 80 90 100走向（%）正态隐含vol（bps）1 2 325 35 45 551 2 4 572 74 76 78走向（%）正态隐含vol（bps）2 3 420 30其他SV模型或重尾分布来拟合这些数据。此外，研究表明，两个NSVh模型，即λ=0（正态SABR）和λ=1（SU），产生非常相似的分布，因此，如果校准到相同的目标，如隐含波动率或矩，则可以互换使用。4.1. 掉期期权波动率微笑。该研究从路透社获得2017年3月14日的美国掉期期权市场价格。选择美国掉期期权1Y1和10y10y这两对交易量大的到期期限对来说明不同的波动率微笑形状。

为了避免基础掉期的年金价格复杂化，该研究根据路透社提供的BSM隐含波动率，而不是原始美元价格，计算以年金为单位的价格。有关BSM隐含挥发性，请参阅图3的插图。图3显示了市场和校准模型隐含的正常波动率微笑。虽然在远期掉期利率FT的利差为0、±0.25%、±0.5%、±1.0%和±1.5%的履约价格中可以观察到期权价格，但本研究仅使用三个利差-0和±1%进行校准，以确保校准参数集-（σ、α、ρ）在这三个履约价格下再现期权价格。对于校准，研究使用方程（6）表示λ=0，使用方程（17）表示λ=1。这两个模型所暗示的波动率微笑曲线是不可区分的，因此在分布上彼此接近。表3显示了λ=0和1的校准参数值，以供参考。在表4中，将推论2的MC模拟得出的期权价格与上述分析方法得出的期权价格进行了比较。在实验中，MC模拟双曲正态随机波动率模型17见表3。2017年3月14日，根据美国掉期期权波动率微笑校准的参数。校准点见图3。方程（6）和（17）分别用于λ=0和λ=1的NSVh模型。校准1y1y（T=1）10y10y（T=10）参数λ=0λ=1λ=0λ=1ρ（%）33.503 32.244 1.697 1.580α（%）61.962 62.181 22.372 22.196σ（%）0.533 0.477 0.691 0.609英寸（%）2.0221 3.0673表4。针对10Y10Y掉期期权，根据表3的参数对普通期权定价进行了测试。分析价格（Pana）由方程式（6）和（17）计算得出，MC价格（Pmc）是相对于Pana和标准偏差显示的。10条路径的MC模拟重复100次。

价格以基础掉期的年金为单位。K-\'FTλ=0λ=1（bps）PanaPmc- 巴拿马PMC- Pana-200 2.275E-2-4.1E-5±1.8E-5 2.274E-2 6.4E-7±1.8E-5-100 1.506E-2-2.1E-5±1.6E-5 1.506E-2 6.0E-7±1.6E-50 9.083E-3-1.2E-5±1.3E-5 9.083E-3 5.3E-7±1.3E-5100 5.108E-3-2.6E-5±1.1E-5 5.108E-5将10个样品中的E-3 3 3.3E-7±1.1E-5200 2.807E-3-4.8E-5±8.8E-6 2.804E-3 3 3.9E-7±9.1E-6300 1.567E-3-6.0E-5±7.0E-6 1.559E-3 3.7E-7±7.3E-6重复100次。对于λ=1，方程（17）和MC方法都是精确的，因此，由于MC噪声，这两种方法的期权价格差别很小。然而，对于λ=0，方程式（6）是近似值。分析价格与准确的MC价格存在明显偏差。总的来说，本练习再次确认了SUdistribution被用作正常SABR模型的更好替代品的可能性。4.2. 股票指数日收益率。我们将NSVh分布与美国标准普尔500指数（s&P 500）和中国证券指数300（CSI 300）这两种股票指数的每日收益率进行了比较。数据涵盖从2005年初到2016年底的12年期间。为了便于重复分析，每日收益率计算为直接指数值的收益率，而不是持有期收益率。表5总结了每日收益的统计数据。标普500指数的尾部较重，但偏斜度低于沪深300指数。该表还显示了λ=0和1时NSVHD分布的拟合参数。在拟合中，使用了Tuenter【2001】和第3.3节中的缩减矩匹配方法。基于这些值，风险值和预期空头18 CHOI、LIU和SEOTable 5。2005-2016年标普500指数和沪深300指数日收益率的汇总统计和拟合参数。

样本数、均值、方差、偏度和剩余峰度分别用n、\'FT、u、s和κ表示。均值和方差是根据收益百分比计算的。为方便起见，Weassume T=1。统计汇总标准普尔500 CSI 300n 3020 2914'FT0.0282 0.0417u1.5154 3.4092s-0.0933-0.5075κ11.4454 3.3348拟合参数λ=0λ=1λ=0λ=1ρ（%）-2.042-1.725-20.454-18.539α（%）88.533 84.587 63.782 61.853σ（%）99.915 82.538 166.213 150.167表6。正态分布（正态）、两个NSVh分布（λ=0和λ=1）中的风险值（VaR）和预期差额，以及数据集（样本）中的真实值。风险度量&P 500 CSI 300Normalλ=0λ=1样本Normalλ=0λ=1样本Var（P=5%）-1.997-1.825-1.824-1.832-2.995-3.032-3.036-3.007VaR（P=1%）-2.836-3.405-3.432-3.615-4.254-5.234-5.246-5.732ES（P=5%）-2.511-2.857-2.872-3.042-2计算了3.767-4.433-4.440-4.745ES（P=1%）-3.253-4.781-4.820-5.309-4.879-6.849-6.857-7.298，并与正态分布假设和历史数据。当方程（18）和（19）用于λ=1时，MC模拟用于计算λ=0的风险度量。结果如表6所示。由于回报分布具有严重的尾部，NSVh分布的风险值和预期缺口与历史数据相比，更接近于正态分布。

λ=0和1的风险度量值非常接近，证实了这两个分布之间的相似性。最后，利用概率图说明了SU（λ=1）的拟合优度。在图4中，理论Z分数-Z（j）=N-1（（j- 1/2）/n）对于第j个有序样本，在x轴上显示，在y轴上显示两个不同样本的Z分数，如下所示：（i）根据估计的正态分布Z（j）=（Xj-\'\'英尺）/√SUdistributioncomputed asZ的u和（ii）（j）=N-1（Pλ=1（Xj））=√S反双曲正弦αρ*σ（Xj-\'FT）+ρρ*eS/2- atanhρ.双曲正态随机波动率模型19图4。标普500指数（左）和沪深300指数（右）日收益率概率图。y轴上正态分布（黑点）和学生分布（红圈）下的Z分数与x轴上的理论Z分数相对应。y=x线（蓝色虚线）仅供参考。-2 0 2-8.-理论分位数采样分位数-2 0 2-4.-因此，（Z，Z）被理解为可支持图，而（Z，Z）是通常定义中的正态概率图。图4显示，可支持性图下的点接近y=x线，表明股票收益率密切遵循SU分布（λ=1）。结论本研究推广了具有随机波动率的算术布朗运动。本研究中提出的NSVhprocess结合了SABR模型和Johnson的SUdistribution，这两个模型在不同的背景下进行了研究。SABR模型是金融工程中一种著名的期权定价模型，Johnson的SU分布是一种流行的倾斜重尾分布，由正态随机变量的变换定义。

从布杰罗恒等式的推广来看，NSVh模型配备了适用于一般情况的闭式MCsimulation和适用于SUcase的闭式期权公式。本研究通过两个实证数据集，即标准普尔500指数和沪深300指数的美国掉期期权和每日收益分布，证明了该模型的使用。致谢作者感谢Larbi Alili分享手稿、Alili和Gruet【1997】andAlili等人【1997】、Robert Webb（编辑）和Minsuk Kwak（2018年韩国釜山亚太衍生品协会会议讨论者）。蔡杰育（Jaehyuk Choi）感谢他的前雇主高盛（Goldman Sachs），为本研究的动机奠定了基础。Byoung Ki Seo获得了由科学和信息通信技术部（MSIT）、韩国20 CHOI、LIU和Seo（编号2017-0-01779，用于解释性人工智能的机器学习和统计推断框架）资助的信息与通信技术促进研究所（IITP）资助。参考Larbi Alili和J.C.Gruet。用超双曲布朗运动解释广义布格洛尔恒等式。Yor【1997】第15-33页。Larbi Alili、Daniel Dufresne和Marc Yor。布格罗尔街（Sur l\'identit\'e de Bougerol pour les fonctionnellesexponentielles du movement brownien avec drift）。Yor【1997】第3-14页。亚历山大·安东诺夫、迈克尔·科尼科夫和迈克尔·斯佩克特。刀锋展翅。风险，2013年（8）：58–632013年。亚历山大·安东诺夫、迈克尔·科尼科夫和迈克尔·斯佩克特。针对负利率的混合SABR模型。2015年SSRN上提供。统一资源定位地址https://ssrn.com/abstract=2653682.L.单身汉。这是一个很好的例子。《普通高等学校科学年鉴》，17:21–881900。Swaminathan G Badrinath和Sangit Chatterjee。关于度量一般股票收益率分布的偏度和延伸率：以市场指数为例。

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