随机固定点、限额和系统性风险

假设一些小型银行受到巨大冲击，使得ks<与引理3，PsD相比≥ pbs=0+时的w。与大银行的联系可以提高违约率，例如，如果我们设法获得一个足够大的PBS，它介于引理3的b/y和b/y之间（如果大银行没有违约）。在这种情况下，违约的渐近分数可能小于w。我们在图1的第二个子图中考虑了一个这样的例子。我们注意到，PsDreducesas pbs增加超过0.8，事实上，在pbs=1时，PsD=0（即，没有小额银行违约）。因此，我们得出结论：“大银行（有小冲击）可以帮助小银行”。我们考虑图1中的第三个例子，其中大银行和一些小银行在pbs=0+时受到了巨大的违约冲击。这家大银行继续在所有pbs违约，但PSDE随着pbs的增加而增加。因此，对于一家大银行和多家小银行组成的经济体来说，“小银行可以通过与大银行的联系来稳定，即使后者违约，但它们无法帮助大银行”。冲击的影响：银行可能面临两种类型的冲击。特质冲击（{Zsi}，Zb）是银行特有的冲击，而共同冲击（Zc）影响所有银行。Weaim将在固定pbs=0.9的情况下，研究这些冲击的大小在图5中违约级联中的作用。我们观察到两个相变，默认值的分数为PsDremainsat 0.1（1- pbs）对于（Zb，Zc）的某些区域，跳至0.46（1- pbs（1- w） ）然后到1，和，相对于大银行的一个相变。这种行为也可以用引理3的势垒常数{bi}来解释，它依赖于这些冲击。在相变点可以观察到明显的跳跃，这些点对于任何金融网络都非常重要。

可以使用引理3或通过数值研究简化的FP方程（10）来研究这些跳跃和过渡点。清楚地显示“x”∞*≤ y（1- pbs），yb=y（1- pbs）和so xb<y。结论我们认为是一个随机图，边表示一个大（高度流动）节点和许多小节点之间的影响因子。单个节点的性能/状态是这些影响的结果，这些影响由定点（FP）方程表示。我们证明了随机FP方程的解几乎必然收敛于有限系统的解，并且这些解是渐近独立的。有限图可能有多个解，但它们的任何序列都会收敛到极限系统的唯一FP（如果它有唯一FP）。因此，我们有一个使用平均场技术求解高维FP方程的过程。所提出的解决方案需要在更小的维空间中求解“聚合”FPS，并且是渐近精确的。金融网络中的清算向量（最终清算的负债比例）通常由随机FP方程表示，我们使用我们的结果对其进行了研究。我们研究了一个由一家大银行和多家小银行组成的异构金融网络的例子。我们已将此设置中的总体经济问题简化为两个节点问题—一个大银行和一个聚合小银行，从而便于进行全局分析。我们观察到一些有趣的相变，人们可以很容易地使用相关FPs的近似解来研究这些相变的性质。当小银行更多地投资于大银行时，它们中违约的比例就会降低，即使所有银行都面临着巨大的特殊风险，这也是事实。

这些观察结果可能与我们所考虑的例子很相似，但我们现在有一个研究复杂网络的程序，更详细的研究将有助于我们得出更具体的观察结果。通过放宽许多假设，可以很容易地概括结果，可以将这种方法应用到更多的应用中，这两种方法将是未来感兴趣的观点。参考文献【1】Claude Berge。拓扑空间：包括多值函数、向量空间和凸性的处理。快递公司，1963年。[2] W.Hildenbrand。《大型经济的核心与平衡》，普林斯顿大学研究生K.Hildenbrand在第2章附录中写道。数学普林斯顿大学经济学出版社，新泽西州普林斯顿（1974）。[3] 玛格丽特·克纳普和拉尔夫·内宁格。P'olya urns通过收缩法。组合数学、概率与计算，2014年。[4] Alsmeyer、Gerold和Uwe R¨osler。”一个随机固定点方程，与具有确定性权重的加权分支相关。”概率电子杂志，2006年。[5] 亨氏W英语。随机域上连续随机算子的一般随机不动点定理。数学分析与应用杂志，1978年。[6] Anh，Ta Ngoc。”随机方程及其在一般随机不动点定理中的应用。”新西兰数学杂志，2011年。[7] 肯达菲。无线局域网的平均场马尔可夫模型。马尔可夫过程和相关领域，2010年。[8] Sahneh、Faryad Darabi、Caterina Scoglio和Piet Van Mieghem。”多层复杂网络传播过程的广义流行病平均场模型。”IEEE/ACMTransactions on Networking 2013。[9] Daron Acemoglu、Asuman Ozdaglar和Alireza Tahbaz Salehi。金融网络中的系统性风险和稳定性。《美国经济评论》，2015年。[10] 富兰克林·艾伦和道格拉斯·盖尔。金融传染。《政治经济学杂志》，2000年。[11] 拉里·艾森伯格和托马斯·赫诺。

金融系统中的系统性风险。管理科学，2001年。[12] Indrajit Saha和Veeraruna Kavitha。异质金融网络的随机固定点、系统性风险和弹性。https://arxiv.org/pdf/2112.03598.pdf.4马尔可夫决策过程（MDP）-状态聚合表示我们在A中有一定数量的动作。存在一定数量的组{Gl}l≤Landif采用以下方式确定中密度聚乙烯骨料的状态Xj公司∈Glp（n）（j | i，a）- p（l | k，a）→ 0，即。，p（n）（Gl | i，a）- p（l | k，a）对于所有l∈ gk如果立即奖励也收敛于（n）（i，a）=r（k，a）对于所有i∈ Gk。然后利用我们的定理，我们可以证明值函数sv（n）（i）=mina∈A{r（i，A）+λXjp（n）（j | i，A）v（n）（j）}收敛sv（n）（i）→ v（k）代表所有i∈ Gk，以及收敛于a（n）的最优策略*（一）→ 一*（k） 。如果限制系统具有唯一的优化器，则会出现这种情况。想法是使用聚合的收敛性'v（n）i，a：=Xjp（n）（j'i，a）v（n）（j）=Xjp（n）（j'i，a）ξj（'v（n）j），其中任何i的聚合向量定义为：'v（n）i：={v（n）i，a}a，然后对于所有j∈ Glξj（(R)v（n）j）：=minanr（l，a）+v（n）j，a）o。附录：引理3证明引理3：大银行不违约，因此x∞*b=y。因此，我们可以重写表示聚合清算向量'xs的FP方程∞如下：(R)xs∞1.- pbs=最小值{ks- vs+(R)xs∞, y} w（1- pbs）+最小值{ks- vs+(R)xs∞, y} （1）- w） （1）- pbs）+最小值{ks- vs+(R)xs∞+ y、 y}wpbs+最小值{ks- vs+(R)xs∞+ y、 y}（1- w） pbs。（14） 很明显，如果y> 那么我们也有ks<ks+y。那么上述FP方程具有以下意义的自然顺序：在不考虑相应概率的情况下，项按递增顺序排列。例如第三项，min{ks- vs+(R)xs∞+ y、 y}≤ 最小值{ks- vs+(R)xs∞+ y、 y}，第四学期。

最好的情况是在第四个期限内（小银行受到零冲击并与大银行建立联系），而最坏的情况是在第一个期限内（小银行面临负面冲击且与大银行没有联系）。情况1：即使在最坏的情况下，即IFK，也没有违约- vs+(R)xs∞> y、 然后，没有一家小银行违约，导致PsD=PD1=0，因此清算向量满足'x∞1.-pbs=y，或等效“xs”∞= y（1- pbs）。这就是情况1，只要：ks- vs+y（1- pbs）>y或同等，只要ypbs<ks- 与（15）相比，随着PbsIngress的增加，上述情况可能不正确，这给了我们界限b=ks- 与情况2相比，当仅在（14）的第一项中存在违约时，即PsD（pbs）=PD2（pbs）=w（1- pbs）。这种情况下的总清算向量满足：(R)x∞1.- pbs=（ks- vs+(R)xs∞)PD2+y（1- PD2）=> (R)xs∞= y（1- pbs）-（ypbs- c） （1）- pbs）PD2（pbs）1- (1 - pbs）PD2（pbs），其中c=ks- 与案例2相比，只要有人问- vs+(R)xs∞< y和ks- vs+(R)xs∞> y、 （16）随着pBSI的增加，上述可能不是真的（第二个不等式可能失败），这给了我们边界b。可以得到边界Bc:ks- vs+(R)xs∞= y=> ypbs=（ks- vs）PD2（1- pbs）+（ks- vs）（1- (1 - pbs）PD2）=> ypbs=cPD2（1- pbs）+d（1- (1 - pbs）PD2），其中d=ks- 与因此受到的限制相比，b=cPD2（1- pbs）+d（1- (1 - pbs）PD2）。情况3：仅在（14）的前两项中存在违约，即PsD（pbs）=PD3（pbs）=（1- pbs）。这种情况下的总清算向量满足：(R)x∞1.- pbs=（ks- vs+(R)xs∞)w（1- pbs）+（ks- vs+(R)xs∞)(1 - w） （1）- pbs）+y（1- PD3）。这意味着“xs”∞= y（1- pbs）-（ypbs- c） （1）- pbs）PD3（pbs）1- (1 - pbs）PD3（pbs），其中c=(R)KsZ- 与（17）相比，案例3持续时间长- vs+(R)xs∞< y和ks- vs+(R)xs∞+ y>y.（18）使用（17）可以很容易地表明∞随着pbs的增加而减少。因此，当b增加时，上述不等式（第二个）可能不是真的，这给了我们边界b。

可获得的边界bc：ks- vs+(R)xs∞+ y=y=> ypbs=cPD3（1- pbs）+d（1- (1 - pbs）PD3）=> ypbs=cPD3（1- pbs）+d（1- (1 - pbs）PD3），其中d=ks- vs+y。因此，b=cPD3（1- pbs）+d（1- (1 - pbs）PD3）。继续这样，我们可以得到引理的所有子情形。