随机固定点、限额和系统性风险

但投资具有风险，存在经济冲击的可能性，回报可能低于预期，因此一些银行可能无法（全部/部分）偿还债务。我们说这些银行违约了。违约银行增加了对其他关联银行的冲击，因为我们可能会有更多的违约。这种情况可能会持续下去，系统可能会“崩溃”。系统性风险正是研究这些方面的。违约银行将债券拆借，即他们在T=0时投资的债券，并试图利用拆借后获得的部分回报来清偿债务。在第二个时间段T=2结束时，幸存的银行获得回报（大银行分别为NAB），而违约银行获得ρsAs/ρbnAb（在时间段T=1），其中ρs/ρb<1（通常远小于1）。我们的主要目标是研究经济冲击对网络稳定性的影响，其中稳定性是通过违约率、给定冲击实现或冲击后预期盈余等来理解的。负债：我们使用有向加权图对金融网络进行建模，以银行为例，节点和加权边表示责任分数和方向。权重wi，j：=li，j/Yi代表负债的分数，其中li，jis是银行i对银行j的负债金额，Yi：=Pjli，j+li，bis是小银行i的总负债。小银行对大银行的负债具有比例系数{ηsbi}i，小银行对另一家小银行的负债概率pss>0。

设Ii，jbe 1，如果小银行i对小银行j负有责任，则责任分数为：Wi，j：=Ii，j（1- ηsbi）PjIi，jand Wi，b=ηsbi。大银行对小银行的负债份额i等于Wb，i=ηbsi/(R)η，Wb，o=ηo/(R)η是其对网络外来源的负债份额，其中η：=Pj≤nηbsj+nηo.Let0 0.2 0.4 0.6 0.8 1！pbs=E[2]00.20.40.60.81违约分数i）BB大震，zb=24.225，SBs小震0=8kb=40 ks=30 y=80 v=10/=1.2 zc=5 zb=24.25 Zis 9仓（0.3，8）PDsPDb0.2 0.4 0.6 0.8 1！pbs=E[2]00.20.40.60.80.9违约分数ii）BB小震，zb=5.6，SBs大震0=15kb=40 ks=30 y=80 v=10/=1.2 zc=5 zb=5.6 Zis 9仓（0.3，15）PDsPDb0.2 0.4 0.6 0.8 1！pbs=E【2】00.20.40.60.81违约分数iii）BB大震，zb=24.225，SBs大震0=15kb=40 ks=30 y=80 v=10/=1.2 zc=5 zb=24.225 Zis 9 Bin（0.3，15）PDsPDbFigure 1：第一个子图：仅BB违约；第二个子图：仅SBs违约；第三个子图：均为默认值。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ! （1-l）=E[2]100150200250300350400预期盈余[S（2）]SB盈余BB盈余0.2 0.4 0.6 0.8 1！（1-l）=E[2]00.10.20.30.40.50.60.70.80.91预期默认值PDs PDbzc=2 zb=2 Zi 9 Bin（.4，8）kb=20 ks=18 y=90/=。25 ; = .5 v=12 As=Ab=200图2：小型银行重大冲击（Zi~ Bin（0.4，8）），大银行轻微冲击（Zc=2，Zb=2）与大银行的联系（最好为0.9778）改善了盈余。Nybre表示大银行的总负债。冲击：让Ksibe表示小银行i在T=1时预期的回报金额（加上其流动现金），让zsire表示小银行i经历的个人/独立冲击，让zci表示所有小银行普遍受到的冲击。大银行受到nδZc级冲击及其独立冲击nZb。

冲击后，我收到的小银行（Ksi- Zc公司- Zsi）+在T=1时，大银行收到n（Kb- δZc- Zb）+，其中nKbis时间T=1时预期的无冲击返回。清算向量：让XSire表示总负债的最大可能部分，最终由小银行i清算，让Xb（每个小银行）表示大银行的最大可能部分。向量（Xb，{Xsi}s）被称为清除向量（例如，[11，9]），我们为计算该向量作出以下常见假设（如[11，9]等）。当一家银行（比如第一银行）违约时，它可能无法完全清偿其债务。然而，它偿还的是尽可能多的款项，而清算给另一家银行（比如bankj）的金额与分数Wi，j成比例。因此，当其他小银行试图清算其债务时，小银行i在时间段T=1时收到'Xsi：=PjWj，ixsj。以类似的方式，它从大银行收到了BWB。它还接收（Ksi- Zc公司- Zsi）+在时间段T=1（冲击后）来自外部投资。只有在支付运营成本/税费（大型银行的NVB）后，才能支付负债。因此，气缸组i最大可清除（（Ksi-Zc公司-Zsi）++Xsi-vs）+如果该金额小于Yiit，则其债券将在时间段t=2到期。大银行清算的金额也以类似的方式计算。因此，总的来说，小银行i和大银行清算的总金额分别等于，Xsi=minnΦsi（\'Xsi，Xb），Yio，Xb=\'ηminnΦb（\'Xb），nYbowith骨料\'Xb=Pj≤nXsjWj，bn，\'Xsi：=XjWj，iXsj，其中Φsi（\'Xsi，Xb）：=（Ksi- Zc公司- Zsi）+Xsi+ρsAs+ηbsiXb- vs公司+,Φb（(R)Xb）：=（Kb- Zcδ- Zb）++ρbAb- vb+(R)Xb+.根据大数定律（LLN），’η/n→ E[ηbs]+ηoa。s、 对于（Zc、Zb、Kb、Yb）的任何给定实现，系统的其余部分与一般系统（2）-（3）完全相似。假设A.1和A.3明显满足，如果我们假设A.2，则定理1适用。

根据定理1和方程（7），对于任何给定的实现（Zc，Zb，Kb，Yb）=（Zc，Zb，Kb，Yb），聚合向量近似（对于大n）以下定点方程的解：(R)x∞*=EZi，Yi，Ki，ηsbiminnΦsi（(R)x∞*, x个∞*b） ，Yioi（1- E[ηsb]，\'x∞*b=(R)x∞*E[ηsb]1- E[ηsb]，x∞*b=最小值Φb（(R)x∞*b） ，ybE[ηbs]+ηo.（10）一旦这些定点方程求解完毕，清除向量近似由定理1的（9）给出。这些都是渐近独立的，因为现在的聚合几乎是常数，对于所有i都是通用的。我们现在计算相关的渐近性能度量。3.1研究系统性风险的绩效衡量——一旦每对冲击、初始值、总负债实现（kb、yb、zc、zb）的这些固定点可用，我们可以获得以下各种绩效指标：1）每个小银行在T=1之前的预期盈余：这是网络（大银行和小银行）在付清债务和税款后的总收入（v）除以小银行的数量。我们目前使用的表达式如下，必须在[11，9]E[S（1）]中加以证明：=E（ψs）++（ψs+ρsAs）+；ψs<0+（ψb）++ψb+ρbAb+{ψb<0}，其中ψsi：=（Ksi- Zc公司- Zsi）++(R)x∞*+ x个∞*bηbsi- vs公司- Ysiψb：=（Kb- Zcδ- Zb）++(R)x∞*E[ηsb]1- E[ηsb]-vb- Yb。（11） 期望值与（Zi、ηbsi、Yi、Ksi）有关，并受（Kb、Zc、Zb、Yb）的制约。2） 预期违约数量：违约的小银行比例（根据boundedconvergence定理）和大银行违约渐近相等的指标：PsD：=P（ψsi（(R)x∞*, x个∞*b） <Yi），PbD：=1{ψb（(R)x∞*b） <yb}a.s.（12）3）截至时间T=2时，每个小银行的预期盈余：银行在时间T=0时进行投资，并确定负债结构。第一期以T=1的价格返还给银行（如【11，9】所示），我们正在研究这些收益受到冲击时的情况。

截至时间段T=1的小型银行盈余由E[S（1）]给出。在时间t=1时违约的银行，会中断其债券/投资。如果没有发生这种情况，小银行在T=2的到期日收到金额，而大银行收到NABAMUNT（如果没有违约）。因此，T=2时的曲面等于：E[S（2）]=E[S（1）]+（1- PsD）As+（1- PbD）Ab.（13）常规网络：在这些网络中，任何银行的总索赔额等于其总负债，即Pjlji+lbi=Pjlij+LIB for all i。我们考虑这些网络进行进一步研究，因为一旦KB、Ks、Zi、Zc、ZB的特征保持不变（随机），它们可以确保网络的初始财富保持不变。这允许公平比较不同参数值的网络稳定性，重要的是大银行-小银行连接参数E[ηsb]。在我们的网络中，负债是随机且相等的：lji=YjIji（1- ηsbj）PiIj，i，ljb=ηsbjyjan和lbj=(R)ηηbsjnYb。因此，明确地说，Pilji+ljb=Yj，并且作为n→ ∞ LLN和A.2。这与T=1时无冲击的预期金额加上其他银行回报的预期金额减去必须支付给其他银行的金额成比例，所有这些都是在T=1时。对于小银行和大银行（每个小银行），它分别与：Ksi+Xjlj，i+lb，i成比例-Xjli，j- li，频带Kb+Xjlj，b-Xjlb，j.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1！（1-l）=E[2]50100150200250300预期盈余E[S（2）]SB盈余BB盈余0.2 0.4 0.6 0.8 1！（1-l）=E[2]00.10.20.30.40.50.60.70.80.91预期默认值kb=20 ks=18 y=80 As=Ab=200；=。3 v=12/=1 zc=2 zb=8 Zi 9 Bin（0.2，2）PDsPDbFigure 3：当大银行遭受重大冲击（zc=2，zb=8）时，小银行的风险较小（Zi~ 箱子（0.2，2））。

与大银行的联系无济于事，pbs=0时的盈余等于atpbs=1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1！pbs=E【2】50100150200250预期盈余E【S（2）】SB盈余BB盈余0.2 0.4 0.6 0.8 1！pbs=E[2]00.10.20.30.40.50.60.70.80.91预期默认值kb=20 ks=18 y=80 As=Ab=200；=。3 v=12/=1 zc=8 zb=8 Zi 9 Bin（0.2，2）PDsPDbFigure 4：具有较大的普通冲击，设置如图3所示，但zc=8。现在，与大银行的连接提高了性能，如图2所示。改善更为明显，但大型银行的业绩保持不变。Xilij=XiYiIi，j（1- ηsbi）PjIi，j→ E[意]E[1- ηsbi]，thusXilij+lbj→ E[易]（1- E[ηsbi]+E[ηbs]+ηoηbsjYb。由于负债是随机的，我们要求在随机意义上相等，或至少在预期意义上相等（m=），即我们需要：e[Yi]（1- E[ηsbi]+E[ηbs]+ηoηbsiYbm=yi我们还需要大银行的负债和债权匹配，即Pjlbj=Pjljb。这就是我们需要的（极限），limn→∞Pjlbjn=limn→∞PjηbsjnE[ηbs]+ηoYbm=limn→∞PjηsbjYjn。3.2示例案例研究我们考虑常规网络的两种情况，并计算性能度量（11）（13）。3.3无外部链接，ηo=0为了保持简单而又足够有趣，我们考虑确定性Ysi≡ y、 Yb公司≡ yband Ksi公司≡ 堪萨斯州。然后，我们考虑前面讨论过的给定场景（zc、zb、kb）。就初始财富、T=0时的投资以及何时受到共同冲击Zc以及个别独立冲击{Zsi}而言，相同的小型银行就是这种情况。大银行的总冲击等于δzc+zb。为了有规则的网络，我们为所有i设置：ηbsid=ηsbi和yb=yE[ηbs]，因此E[ηsbi]=E[ηbsi]=pbs。当ηb等于指标时，我们立即得到以下极限系统。让ks，ks分别代表最差和最佳回报（（ksi- zc公司- Zsi）+）的一家小型银行，给定zc。

如果ypbs，则引理2（i）≤堪萨斯州- vs公司然后，没有一家小银行违约，即PsD=0。（ii）如果ypbs>ks+x∞*b- vs公司, 然后，所有小型银行都会默认，即PsD=1。因此，如果ypbs>ks+y- vs公司, 然后PsD=1。（iii）如果0<ypbs<ks+x∞*b- vs公司, 那么至少有一些小银行不会违约，如私营部门司≤1.- (1 - w） pbs<1。证明：如果在所有情况下（实现Zi，ηbsi）：（ks），小型银行从不违约- zc公司- Zi）++y（1- pbs）- vs+ηbsixb≥ y、 最坏的情况是最严重的冲击ksandηbsi=0，因此当ypbs时PsD=0≤堪萨斯州- V验证（i）。以类似的方式考虑获得第（ii）部分的最佳方案。因此，我们确定了零违约和所有违约的条件。只要pbs<（ks- 是的，没有一家小银行违约。但是（例如）当PBS增加超过（ks-vs）/y，默认值的分数PsD中可能存在“相变”。此时，它可能会从0跳到某个非零值。我们需要更多的分析来理解这种可能的“相位转换”。我们推导了双星激波特殊情况下的更多细节。考虑到Zi~ 箱子（w，), i、 e.，二进制（0，) P冲击（Zi=) = w、 那么ks=（ks- zc公司- )+和ks=（ks- zc）+。对于两个时间段，我们从两个时间段开始分析，T=0，1。因此，ρsρ带AsAbare不适用。我们只计算违约的预期分数。对于大银行不违约的子情形，我们有清算向量的闭式表达式以及违约的渐近分数。这些表达式近似等于具有大量小银行的系统的相应数量。当大银行不违约时，引理3让y>. 在双星冲击下，a.s。

默认值的极限分数等于（KsZ：=E[（ks- zc公司- Zi）+]）：PsD（pbs）=PD1PD2PD3PD4PD5=如果b<ypbs，则为0≤ bw（1- pbs）如果b<ypbs≤ b1级- pbsif b<ypbs≤ b1级- pbs（1- w） 如果b<ypbs≤ b1 else，带，bi：=ci（1- pbs）PDi+di（1- (1 - pbs）PDi），i>0，b=0，中国交建=堪萨斯州- vs？KsZ- vs？KsZ（1-pbs）+（ks+y）wpbs1-pbs（1-w）- vs公司,dddd=堪萨斯州- vsks公司- vsks公司- vs+yks- vs+y.设b：=y，c：=KsZ- vs+YPBS和PD5（pbs）=1。共同清算总额（whenbi-1<ypbs<bi）：(R)xs∞= y（1- pbs）-（ypbs- ci）（1- pbs）PDi（pbs）1- (1 - pbs）PDi（pbs）我≤ 5、当大银行没有违约时，即如果（kb- δzc- zb）+- vb+(R)xs∞pbs1- pbs>ypbsProof：见附录。上述结果表明了连接参数PBS的“相变”。这个引理适用于大银行不违约的子情形（一个示例场景，当（kb- δzc- zb）+- vb>y）。然而，下面提到的一些“相变”结果也适用于另一种情况，即引理2。如前所述，当连通性参数pbsis低于b/y时，所有小型银行的网络保持稳定（违约率为零）。但一旦connectionparameter穿过b/y=（ks-vs）/y小银行开始违约，我们看到规模急剧上升（参见引理3中的PD1和PD2）：w（1- pbs）=w（y- ks+vs）yat正是pbs=ks- vsy。这种相变也可以在图1-5中看到。当pbsis进一步增加，当其超过阈值b/y时，PSDHA会发生另一个跳跃/相变。在pbs=b/y时，我们注意到尺寸的急剧跳跃（参见引理3中的PD2和PD3）：1.-通过(1 - w） 。对于这种情况，需要解方程（引理3）pbs=by=（ks- vs）（1- pbs）w+（ks- vs）（1- (1 - pbs）w）t以获得相变的精确点。以与引理3类似的方式，我们看到了关于参数pbs的四种可能的相变。

由于所有系数也取决于冲击实现（zc，zb），因此也可以获得与冲击尺寸相关的相变。其他参数也是如此。引理3更一般的观察结果是，当pbsis接近0（PsDcan为0）或当pbsis接近1且b>1（PsD）时，我们有可能出现小部分的缺陷∝ (1 - pbs）或∝ (1 - pbs（1- w） ））。pbsclose为1时的系数Bw约等于d=ks- vs+y，大多大于1。因此，小型连接或大型连接更好，但中间连接可能不好。这也可以在图中观察到。对于方程（10）中的三个时间周期，如果ks+ρsAs>vs+ypbsthen'x∞*= y（1-pbs），进一步kb>δzc+zb+vbx意味着∞*b=y。因此，银行（小型）可能违约，但他们能够通过打破债券来完全清偿债务。在这种情况下，可以很容易地验证以下内容。引理4假设kb>δzc+zb+vb， < y和ks+ρsAs>vs+ypbs。然后PSD=w（1- pbs）IFK-vsy<pbs≤堪萨斯州-vsy1- pbsifks-vsy<pbs≤ks+y-vsy1- pbs+WPB SIFKS+y-vsy<pbs≤ks+y-vsy1 ifks+y-vsy<pbs。证明：当y> （即xb>), ks<ks+xB，我们可以根据前面引理中的各种情况得出结果。我们继续研究引理4的子情形，其中PbD=0。定义，P*sD：=infpbsPsD，可能的最小“预期默认值”。很明显，对于引理4中考虑的子情况，它等于以下值：P*sD公司=小鱼1.-堪萨斯州-vs）y,（vs-ks）+yoif vs<ks，minnw+（1- w） vs公司-ksy，（vs-ks）y，1如果vs>ks。进一步假设引理4对于任何pbs=E[ηbs]，我们有'x∞*= y（1-pbs），x∞*b=y，因此ψs=（ks- zc公司- Zsi）++y（ηbsi- E[ηbs]）- vsandψb=ψb=kb- zcδ- zb公司- vb>0。

进一步ψs+ρsAs≥ 0几乎可以肯定，因此从方程（11）-（13）中，预期盈余方程E[S（2）]=E[ψS+ρsAs；ψS<0+As；ψS≥ 0]+ψb=E[（ks- zc公司- Zsi）+]- vs+As- (1 - ρs）AsPsD+ψb。因此，在相同的p下，预期盈余最大化*BSD使PsD最小，然后通过替换PsD获得最佳盈余* 在等式（13）中。连接性的影响，冲击：我们研究连接性参数pbs=E[ηbs]=E[ηsb]对各种冲击场景的影响。我们从pbs=0+的情况开始，即ASPBS接近0（或≈ 0). 小银行和大银行之间的联系微不足道，小银行主要对其他小银行负责。极限FP方程为：xb=0+和'x∞*= Ehmin{（ks- zc公司- Zsi）++(R)x∞*+ ρsAs+ηbsi+- vs，y}i。当ks>vs时，很明显'x∞*= y、 即，小银行在pbs=0+时不会违约。如果大银行遭遇重大冲击，即如果（kz- δzc- zb）+<vb，则其默认值接近pbs=0+。In030300.5！PDs20！Zc20！Zb11010000300.20.430！PDb200.6！Zc0.820！ZB1101000图5：对于不同的冲击实现：vs=vb=12，Zi~Bin（.4，20），（y，kb，ks）=（80，55，25），（δ，pbs）=（.4，9）根据等式（10），在这些条件下，大银行默认任何大于0的pbs。因此，我们得出结论：“当大银行受到巨大冲击时，它总是违约，与小银行的联系无济于事”。此外，随着PBS的增加，一些小型银行也可能违约，导致违约比例增加。我们在图1的第一个子图中考虑了一个这样的例子，它再次证实了我们的观察结果：对于小pbs（直到0.1），违约率PsD=0，接近pbs=1。中间pbs的默认值更多。我们现在考虑的是相反的情况。假设大银行在pbs=0+时没有违约。这是因为它受到了较小的冲击，因此（kz- δzc- zb）+>vb。