随机固定点、限额和系统性风险

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英文标题：
《Random Fixed Points, Limits and Systemic risk》
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作者：
Veeraruna Kavitha, Indrajit Saha, Sandeep Juneja
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We consider vector fixed point (FP) equations in large dimensional spaces involving random variables, and study their realization-wise solutions. We have an underlying directed random graph, that defines the connections between various components of the FP equations. Existence of an edge between nodes i, j implies the i th FP equation depends on the j th component. We consider a special case where any component of the FP equation depends upon an appropriate aggregate of that of the random neighbor components. We obtain finite dimensional limit FP equations (in a much smaller dimensional space), whose solutions approximate the solution of the random FP equations for almost all realizations, in the asymptotic limit (number of components increase). Our techniques are different from the traditional mean-field methods, which deal with stochastic FP equations in the space of distributions to describe the stationary distributions of the systems. In contrast our focus is on realization-wise FP solutions. We apply the results to study systemic risk in a large financial heterogeneous network with many small institutions and one big institution, and demonstrate some interesting phenomenon.
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中文摘要：
我们考虑了包含随机变量的大维空间中的向量不动点方程，并研究了它们的实现态解。我们有一个潜在的有向随机图，它定义了FP方程各个组成部分之间的联系。节点i，j之间的边的存在意味着第i个FP方程取决于第j个分量。我们考虑一种特殊情况，其中FP方程的任何分量取决于随机相邻分量的适当聚合。我们得到了有限维极限FP方程（在小得多的维空间中），其解在渐近极限（分量数量增加）下近似于几乎所有实现的随机FP方程的解。我们的方法不同于传统的平均场方法，它处理分布空间中的随机FP方程来描述系统的平稳分布。相反，我们的重点是实现明智的FP解决方案。我们将研究结果应用于由多个小型机构和一个大型机构组成的大型金融异构网络中的系统性风险，并展示了一些有趣的现象。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：系统性风险 系统性 固定点 Applications distribution

随机不动点、极限和系统风险Veeraruna Kavitha、Indrajit Saha和Sandeep Junejaier，IIT Bombay，andTIFR Mumbai，IndiaDecember 92021年12月9日摘要我们考虑包含随机变量的大维空间中的向量固定点（FP）方程，并研究其实现方式的解。我们有一个潜在的有向随机图，它定义了FPequations各个组件之间的联系。节点i，j之间的边的存在意味着第i个FP方程依赖于第j个分量。我们考虑一种特殊情况，其中FP方程的任何分量取决于随机“相邻”分量的适当聚合。我们获得了有限维极限FP方程（在更小的维空间中），其解近似于几乎所有实现的随机FP方程的解，在渐近极限下（组件数量增加）。我们的技术不同于传统的平均场方法，后者处理分布空间中的随机FP方程来描述系统的平稳分布。相比之下，我们专注于实现明智的FP解决方案。我们将这些结果应用于研究由多个小型机构和一个大型机构组成的大型金融异构网络中的系统性风险，并展示了一些有趣的现象。1引言随机固定点（FPs）是经典确定性FPs的推广，在任何人考虑具有不确定性的系统时都会出现。大体上可以考虑两种类型的此类绩效点。有相当多的文献考虑概率分布空间上的随机FP方程（例如，[3，4]）。这些方程通常作为某些迭代格式的极限，或作为随机系统的渐近（平稳）分布出现。或者，人们可能对样本路径相关FPs感兴趣（例如，[5，6]）。

对于描述系统的随机量的每个实现，我们有一个确定的FP方程。当一个代理的性能/状态取决于其他多个代理的性能/状态时，就会出现这种方程。例如，具有任何给定负债图的金融网络都会受到代理人收到的个人/普通随机经济冲击的影响。代理人清算的金额（全部/部分负债）取决于：a）其收到的冲击；和b）其他代理人清偿的债务。本文主要关注的是第二类方程。现有文献主要考虑可测量FP的存在，考虑到实现方面FP的存在（例如，[5，6]）。在[6]（及其参考文献）中，作者考虑了随机邻近点的概念。据我们所知，没有（通用）技术可以为（某些特殊类型的）这些方程提供“好”的解决方案。我们考虑一类非常常见的特殊类型的FP方程，并提供了一个计算近似解的过程。我们有FP方程，其中代理的性能/状态仅受其邻居的总体性能/状态的影响。随机图描述邻域，而一组FP方程（每实现一个随机量）描述性能因子。关键的想法是研究这些FPs，随着代理数量的增加，FPs是渐进的。为此，我们首先研究总体影响因素，旨在降低问题的维度。但由于随机连接，聚合影响因素也取决于节点。然而，聚合可能会收敛到相同的极限（例如，在大数定律中）。我们精确地考虑了这种情况，并证明了在一定条件下，随机FPs收敛于极限系统的FPs。

限制系统中代理的性能取决于许多“聚合”限制。我们还可以得到一些例子的近似解的闭式表达式。平均场理论（MFT）与这种方法非常接近：MFT用一个身体问题来近似多个身体问题，我们的结果在本质上也是相似的。然而，两者之间存在显著差异。平均场理论还涉及大量代理的系统，其中单个代理的状态/行为受其自身（先前）状态和所看到的平均（聚合）场的影响（例如，[7]和其中的参考）。平均值在很大程度上是根据职业（经验）指标来描述的，这些指标代表了不同州的代理人的吸引力。该理论表明，原始系统的状态轨迹和平稳（时限）分布向极限确定性系统的状态轨迹和平稳（时限）分布收敛。平稳分布可以用分布空间中的FP方程来描述（例如，[7]）。虽然我们直接有一组FP方程，它们是按实现定义的，并取决于实现的“平均”性能。此外，如前所述，平均影响因子并非所有代理都通用。在[8]和其中的参考文献中，作者考虑了“随机”聚合影响因素的平均场分析，如我们的案例。他们考虑一阶近似，其中联合期望值由边际期望值等的乘积近似。因此，代表FP解的联合分布的动量被渐近证明为边际矩的乘积。一些作者还考虑了二阶近似或动量闭合技术，其中假设三胞胎的联合状态具有特定的分布（相关讨论见[8]）。

我们的FP解也被证明是渐近相关的，但渐近解是独立的（在有限维）随机向量。我们考虑可能具有多个解的FP方程。我们证明，在充分的一般条件下，所选FPs的任何序列几乎肯定会收敛到极限系统的唯一FP。我们应用我们的结果研究了与许多金融机构组成的大型金融网络中的系统性风险。这些机构向其他机构借贷资金，并且必须在以后的时间点清偿债务。这些系统受到经济冲击，因此一些实体违约（不明确其义务）。由于相互依赖性，这可能导致进一步的违约，而这些反应的级联可能导致系统（部分/全部）崩溃。2007-2008年金融危机之后，研究系统性风险的活动激增（例如，[10]、[9]、[11]）。这些论文的重点是几个方面，包括捕获系统风险的措施、网络结构对系统风险的影响、相变等。这些论文主要讨论同质系统，尽管异质性是现实世界网络的一个重要特征。如前所述，清除向量由FP方程表示，可能有多个FP解。因此，渐近解在这方面很有用。我们考虑一个异构金融网络的典型例子，即一家大银行和多家小银行。我们的主要贡献在于，我们开发了一种方法，以获得大型银行网络的简化渐近表示。

这允许轻松解决许多实际假设情况。例如，在一个简单的框架中，我们观察到，在一个与小银行有良好联系的经济体中，有一家大银行可以稳定小银行，即使大银行本身面临冲击。然而，情况可能并非如此。所提出的方法可以类似地用于深入了解许多其他实际场景。我们将在将来对这些进行分析。综上所述，我们的分析有助于确定复杂结构中的重要模式，因为当涉及大量成分时，结构会变得简单。2系统模型考虑一个具有n+1个顶点{1，2，···，n，b}的随机图，其有向边由随机权重{Wi，j}表示影响因子。节点b是一个“大节点”，流量很大。在任意两个“小”节点（在{1，2，···，n}中的节点）之间有一条边，概率pss独立于其他节点，且设{Ii，j}i≤n、 j≤nbe相应的指标。然后，小节点j的权重是如下定义的分数：Wj，b=ηsbjand Wj，i=Ij，i（1- ηsbj）Pi≤nIj，i，（1）注意，对于所有j，piwj，i+Wj，b=1。其中{ηsbj}jare IID（独立，相同分布）随机变量的值介于0，1之间。例如，这些分数可以表示不同节点之间共享的某些资源的随机分数。从小节点j开始，有一个专用分数ηsbjt朝向b节点，而剩下的（1- ηsbj）分数由其他连接的小节点平均共享。b节点的权重是分数Wb，j=ηbsjPiηbsi，其中{ηbsj}再次表示IID随机变量。我们对节点的某些性能感兴趣，这取决于其他节点性能的加权平均值，其权重由{Wi，j}给出。

我们考虑以下使用函数（fs，fb）构建的固定点（FP）方程（在Rn+1中），函数（fs，fb）依次取决于加权平均值{Xsi}和'Xb，其FP（第i分量）表示节点（node-i）的重要性能度量，如下所示：每个i的Xsi=fs（Gi，'Xsi，ηbsiXb）≤ n、 （2）Xb=fb（(R)Xb），骨料（3）(R)Xsi：=Xj≤nXsjWj，iand？Xb：=nXj≤nXsjWj，b。在上面，{Gi}是一个IID序列，大节点的性能由Xbis定义的Persmal节点（性能除以n）。对于任何n定义映射f：=（fb，fs，···fs），x：=xn：=（xn，xn，···，xnn），分量：f（x，xb）：=fb（(R)xb），(R)xb：=nXj≤nxjWj，bandfi（x，xb）：=fs（Gi，xi，ηbsixb），\'xi：=Xj≤nxjWj，ii>1，表示

关于图结构的假设：我们要求影响任何给定节点的节点数，在几乎所有样本路径中都是渐近线性增长的：A.2考虑pss>0，并且仅考虑limn的图→∞Xj公司≤nPiIj，i-NPS= 0几乎可以肯定（a.s.），对于任何i.2.1聚合固定点，可以重写加权平均值{Xsi}i，xb的固定点方程，我们从分析开始。定义以下取决于实常数（x，xb）的随机变量：ξi（x，xb）：=fs（Gi，x，ηbsixb），（4），并假设：A.3ξi（x，xb）- ξi（u，ub）|≤ σ（| x- u |+| xb- ub |），带σ≤ 在有限序列空间上考虑以下操作符∞, 每个n一个：(R)fn（(R)x，(R)xb）=（(R)fnb，(R)fn，(R)fn····），其中（5）(R)fni（(R)x，(R)xb）=（Pj≤nξj（(R)xj，xb）Wj，iif i≤ n0其他，\'fnb（\'x，\'xb）：=nXj≤nξj（(R)xj，xb）Wj，b带xb：=fb（(R)xb）。很明显，上述操作符的固定点等于聚合向量（{Xsi}i≤n、 (R)Xb）。定义“限制”运算符“f”∞（\'x，\'xb）=（\'f∞b、 \'\'f∞,\'\'f∞· · · ):\'\'f∞i（\'x，\'xb）：=所有i的lim supn\'fni（\'x，\'xb）∈ {b，1，2，····}。（6） 其目的是表明该算子的固定点等于“极限”系统的固定点，并且原始系统的固定点向这些固定点收敛。回想一下，任何i的权重总和为1，即PiWj，i=1。因此，我们需要操作员的固定点：’fn其中fn：[0，y]×s∞→ [0，y]×s∞,这里是∞是具有l的有界序列的空间（子集）∞标准|(R)x|∞:= 苏皮| xi |，s∞:= {x=（x，x，···）：xi∈ [0，y]对于所有i}。s在哪里∞详见脚注2。

其想法是得出一种平均场分析，其中的聚集将由其预期值近似。当我们考虑常数序列时，即如果'x=（'x，'x，·····）极限系统定义中的极限上级'f∞实际上是受A.2和大数定律（LLN）的限制，等于（5）中的xbas）(R)f∞i（\'x，xb）=EGi，ηbsi[ξi（\'x，xb）]（1- E[ηsb]）和'f∞b（\'x，xb）=EGi，ηbsi[ξi（\'x，xb）]E[ηsb]。（7） 在上面，EX，yr表示关于X，Y的期望值。随机变量是IID，因此第一个方程是所有i的相同函数。根据下面给出的定理1，一个这样的常数序列将是聚合点方程（5）解的几乎确定极限。因此，必须求解与上述函数（7）相对应的二维定点方程。然后，随机固定点（2）-（3）仅通过聚合固定点渐进地依赖于其他节点，如下面的定理所示。定理1假设A.3中的0<E[ηsb]<1或σ<1。随机系统的聚合，其FPs为（4）-（5），表示为（(R)X*,\'\'X*b） （n）：=（{Xsi}i，\'X*b） （n）聚合asn→ ∞ 沿子序列。那就是存在一个kn→ ∞ 这样：(R)Xsi（kn）→ \'\'x∞*对于所有i和'X*b（kn）→ \'\'x∞*balmost（a.s.），（8）其中（(R)x∞*b、 \'\'x∞*) 带'x∞*:= （(R)x∞*, \'\'x∞*, · · · ) 是由（7）给出的极限系统的FP。此外，原始系统（2）-（3）的FPs（任何序列）几乎肯定会收敛（沿（8）的子序列），即kn→ ∞):Xb（kn）→ 十、∞*b： =fb（(R)x∞*b） 作为n→ ∞ 和（9）Xsi（kn）→ fs（Gi，(R)x∞*, ηbsiX∞*b） 。证明：这是[12，定理1]的特例，证明在[12]中可用。因此，有限系统的固定点收敛于极限系统的固定点。

所执行的点是渐近独立的，仅通过一个几乎确定的常数“x”依赖于其他节点∞*i这对于所有i来说都是常见的。这里要观察的另一个重要点是，聚集的固定点不必是唯一的，但是任何固定点序列（每n个一个）都会收敛到极限系统的序列（当它有唯一的固定点时）。备注：另一个有趣的观察结果是，结果并不取决于小节点之间连接的精确概率。这只取决于每个节点都可能直接或间接影响其他节点的事实（即pss>0）。直接推广到{Ii，j}是任何IID随机变量的情况，并且权重是以类似的方式形成的。此外，可以有有限数量的小节点组，组内的节点随机相同（相同{Gi}、{ηsbi}和{ηbsi}），并且任何典型的小节点都可以是i组，概率qi独立于其他节点。有了它，我们可以研究更广泛的异构情况。例如，可以考虑与许多大小银行建立金融网络。我们还可以将其推广到对聚合固定点有多个（但不确定）不同限制的情况。即使{Xsi}是有限维的，且维度大于1，结果也是正确的。然后可以考虑具有不同连接级别的银行。3金融网络考虑一个由n家小银行和一家大银行组成的巨大金融网络。与任何小银行相比，大银行的资产（股票、债券等）都是巨大的，而小银行在性质上是相似的。在时间T=0时，银行通过相互贷款或从金融网络外部贷款来投资项目。在时间T=1时，银行预计其投资会产生一些回报，用于清偿债务（例如，[11，9]）。