最优动态基差交易

因此，对于γ=0，需要条件（iii）来排除加倍策略。为了最大化终端财富的预期效用，投资者解决随机控制问题v（t，x，z）：=supπ∈AEt、x、zU（XT）；（t、x、z）∈ [0，T]×D×R，（2.12）即持有的期货合约数量乘以期货价格。见备注2.1。式中，Et，x，z（·）：=E（·| Xt=x，Zt=z）。这里，U:D→ R是一个双曲型绝对风险规避（HARA）效用函数，其风险容限函数的形式为：δ（x）：=–U（x）U（x）=γ（x–x*); γ > 0,δ> 0; γ = 0.（2.13）我们进一步假设，对于γ6=1，U（x）U（x）=δ（x）γ–1=γγ–1（x–x*); γ ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞),–δ; γ = 0.（2.14）请注意，除对数效用（即γ=1）外，任何HARA效用都可以通过一个常数进行移位，从而满足（2.14）的要求。对于γ=0（即指数效用），该结果微不足道。下面的引理确定了γ的观察结果∈ (0, 1) ∪ (1, +∞). 因此，条件（2.14）不会导致一般性损失。引理2.8。删除：D→ R用γ满足（2.13）∈ (0, 1) ∪ (1, +∞). 取任意x∈ D和deneu（x）：=eU（x）–eU（x）+δ（x）γ–1eU（x）；x个∈ D、 （2.15）然后，（γ–1）U（x）=δ（x）U（x），对于x∈ D、 证明。由于U也满足（2.13），各部分的积分yieldsU（x）–U（x）=–Zxxδ（y）U（y）dy=–δ（x）U（x）+δ（x）U（x）+γU（x）–U（x）.对于所有x∈ D、 因此，（γ–1）U（x）=δ（x）U（x）+（γ–1）U（x）-δ（x）U（x），结果如下，通过（2.15），我们得到（γ–1）U（x）=δ（x）U（x）。图2显示了不同γ值的HARA效用函数示例。具体而言，γ∈(0, 1) ∪ (1, ∞) 对应于电力效用，γ=1表示对数效用，γ=0表示指数效用，γ=–1表示二次效用。

注意，我们已经从模型中排除了具有风险承受能力递减函数的HARA效用函数的情况，例如二次效用。3 HJB方程如第4节所示，（2.12）中的值函数V与[0，t]×D×R上下列终值问题的经典解V（t，x，z）一致：vt公司+u–u–κzT–t+εvz+（1–ρ）vzz+supπ∈RLπv=0，v（T，x，z）=U（x），（3.1）xU（x）γ<0：γ1-γ（x*- x） 1个-1/γγ = 0 : -e-x/δ00<γ<1：γγ-1（x- x个*)1.-1/γγ > 1 :γγ-1（x- x个*)1.-1/γγ=1：对数（x- x个*)x个*图2：γ不同值的HARA效用函数。具体而言，γ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞) 产生电力效用，γ=1产生对数效用，γ=0产生指数效用，γ=–1产生二次效用。注意，我们从分析中排除了γ<0的情况。其中微分算子Lπ由Lπν（x，z）给出：=uπ+u+κzT–t+επ^1x+π+ π+ 2ππρДxx+（1–ρ）（π–π）Дxz，（3.2）对于任何π∈ 用连续导数ДxxandДxz对任意函数Д（t，x，z）进行Rand。3.1适定性条件对于本节其余部分，我们推导非线性Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程（3.1）的解。事实证明，这个方程不允许所有参数值都有解。这导致我们确定并研究（3.1）有解的确切条件。为了准备我们的结果，我们确定了常数γ：=p2κ+（1–2κ）（1+ρ）√2κ(1 – ρ)–1 – 2κ + ρ2κ(1 – ρ)≥ 1、注意2κ+（1–2κ）（1+ρ）=（κ–1）+（κ–ρ）+ρ（1–ρ）>0，γ≥ 1因为我们假设κ>0且|ρ|<1。我们现在确定以下情况：（i）对于γ>γ，（3.1）是“不适定的”，因为它只有在T<T时才有解*（γ） ，其中T*（γ） 如下所示。（ii）对于γ∈ [0，1]，（3.1）是“适定的”，因为它对γ的所有T.（iii）值都有唯一的解∈ （1，γ），（3.1）为“不适定”（分别为。

“适定”），如果0<κ<（分别为κ>）。对于κ=，我们有γ=1，区间（1，γ）为空。这些情况源自下面的定理3.3。在有限期投资组合问题（如Merton（1969））、最优执行（如Bulthuis et al.（2017））、以及，以及具有平均回报率的资产的有限水平最优交易（例如Kim和Omberg（1996）以及Korn和Kraft（2004））。最后两项研究分别为投资策略创造了“涅盘策略”和“I-不稳定”这两个术语，这些投资策略在有限的范围内产生有限的预期效用。然而，在现实中，投资者并没有实现欧盟的一体化；否则，它们将导致价格失衡。这意味着：（1）没有投资者的风险容忍度参数γ会导致欧盟的不确定性；（2） 这样的投资者是存在的，但市场参数（即κ和ρ）使得这些投资者没有足够的时间实现最终的EU（即t<t*（γ） 所有代理人）；或（3）市场缺陷（如交易成本或参数模糊性）阻碍投资者实现内部收益。3.2值函数HJB方程（3.1）的解将涉及以下Riccati方程的解–h（t）=2（1–ρ）γh（t）–2γκt+ε–th（t）–（1–γ）κ（1–ρ）（t+ε–t），h（t）=0。（3.3）对于（3.3）有一个明确的解决方案，如下面引理3.1所总结。为准备结果，我们引入以下符号。

我们定义了“歧视” 如下所示 = (γ) :=ρ – 1ρ + 1κγ+2κ1 + ρ– 1κγ +.此外，“逃逸时间”T*(γ) ∈ (0, +∞] 由以下公式得出：（i）如果γ>γ，则*(γ) = ε经验值π√––√–阿尔茨坦1 – 2γκ√–– 1..（ii）如果γ=γ且0<κ<，则*(γ) = ε经验值1 – 2γκ– 1..（iii）如果γ∈ （1，γ）和0<κ<，然后*(γ) = ε0.5 – γ κ +√0.5 – γ κ –√!√– 1..（四）T*(γ) = +∞ 对于γ的所有其他值。逃逸时间在Riccati方程（3.3）中起着关键作用。引理3.1。Riccati方程（3.3）只有在T<T时才有解*(γ). 特别是，如果γ>γ，则（γ） <0和溶液ish（t）=√– tanh公司√– 日志1+T–Tε+ 阿尔茨坦1–2γ κ√–i+γκ–2γ（1–ρ）（T–T+ε）。如果0≤ γ ≤ γ、 那么(γ) ≥ 0和溶液ish（t）=–κ1 – ρε–T–T+ε; 如果γ=0，日志1+T–Tε1–（–γκ）对数1+T–Tε×（–γκ）2γ（1–ρ）（T–T+ε）; 如果γ=γ，（1+T–Tε）√–1.√–+γκ（1+T–Tε）√+√+–γ κ!×κ（γ–1）（1–ρ）（T–T+ε）；如果0<γ<γ。如果T*(γ) < +∞, 然后限制→T*（γ） | h（0；T）|=+∞.证明是直接替换的，因此省略了。备注3.2。注意，作为ε→ 0+，我们有*(γ) → 对于（i）-（iii）种情况，0+。这与极限ε存在套利的场景一致→ 0+.现在，我们以显式形式给出值函数。定理3.3。假设T<T*(γ). HJB方程（3.1）的解isv（t，x，z）=U（x）expf（t）+g（t）z+h（t）z, （3.4）对于（t，x，z）∈ [0，T]×D×R，其中h（T）是引理3.1给出的（3.3）的解，g（T）和f（T）由下式给出：g（t）+γ2（1–ρ）h（t）–κt+ε–tg（t）=κ（1–γ）u–ρu（1–ρ）（T+ε–T）-γ（u–u）h（T），g（T）=0，（3.5）和f（T）=ZTt（1–ρ）γg（u）+γ（u–u）g（u）+（1–ρ）h（u）du-（1–γ）（u+u–2ρu）（T–T）2（1–ρ）。（3.6）证明。见附录B。接下来，我们验证值函数与定理3.3中HJB方程（3.1）的解一致。我们还确定了最佳交易策略。定理3.4。假设T<T*(γ).

（2.12）中的值函数V等于定理3.3中给出的函数V。此外，最优交易策略，用π表示*（t，X*t、 Zt），处于反馈形式，其中π*（t，x，z）=π*（t，x，z）π*（t，x，z）！=δ（x）u–ρu1–ρ+g（t）u–ρu1–ρ–g（t）+ zh（t）–κρ1–ρ–h（t）+κ1–ρ, （3.7）对于（t，x，z）∈ [0，T]×D×R。这里，δ（x）是（2.13）中定义的风险容限函数。证据参见附录C。图3说明了函数f、g和h在三种适定场景下的行为。我们将κ=1和ρ=0.95设置为临界风险容限值γ=3.66。图中的每一行显示了γ不同值的函数，即0、0.5和2。注意，由于κ=1>0.5，因此区间（1，γ=3.66）中的γ值是适定的。在指数情况下（即γ=0），h单调增加到零。对于功率情况（即γ∈ {0.5，2}），h不是单调的，| h |在达到零之前达到最大值。对于较大的T–T值（即x轴上的左端），h（T）似乎会下降。就行为而言，g似乎具有与h相似的性质，尽管g的值和变化不显著。在这三种情况下，f随时间单调地移动到零。在图4中，我们考虑了两种不适定场景。具体而言，我们绘制了h（t）随时间的变化曲线，其中γ>γ（左图），1<γ<γ，0<κ<0.5（右图）。在每个图中，h（t）被绘制为三个t选项，分别是逃逸时间t的80%（虚线曲线）、95%（虚线曲线）和99%（实线曲线*(γ). 正如对这些不适定情况的预期，我们看到limT→T*（γ） –| h（0）|=+∞, 引导预期能力达到+∞ 在有限的投资期限内。从图3和图4中，我们观察到h对于γ>1为正，对于0为负≤ γ < 1.这促使我们以分析的方式来结束本节。

附录中提供了证明。引理3.5。考虑h（t）（3.3的解），由引理3.1给出。如果γ<1（分别为γ>1），则h（t）<0（分别为h（t）>0），对于所有t∈ [0，T）.4最优基差交易策略让我们检查一下最优交易策略π*在（3.7）中。回想备注2.1，π*（t，X*t、 Zt）是波动率调整头寸。实际位置值由πt=（π）给出*（t，X*t、 Zt）σ1，t，π*（t，X*t、 Zt）σ2，t），其中（σ1，t）和（σ2，t）分别是现货和期货价格的波动率。回想一下，γ=1对应于我们在分析中排除的对数效用。γ=0.5：T=0.0800t-400-300-200-1000 h（t）v.s.tT=0.0800t的绘图-0.08-0.06-0.04-0.020.00 g（t）v.s.tT=0.0800t的绘图-0.8-0.6-0.4-0.20.0不同γ值的f（t）v.s.th（t）曲线图参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.5，γ=-2.66，γ=3.66γ=2.0：T=0.0800T0100300400 h（T）v.s的曲线图。tT=0.0800t0.000.020.040.06 g（T）v.s的曲线图。tT=0.0800t0.00.20.40.6 f（T）v.s的曲线图。对于γ的不同值，参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=2.0，γ=-2.66，γ=3.66γ=0.0：T=0.0800t-2500-2000-1500-1000-5000 h（t）v.s.tT=0.0800t的绘图-0.8-0.6-0.4-0.20.0 g（t）v.s.tT=0.0800t的绘图-8.-6.-4.-20不同γ值的f（t）v.s.th（t）曲线图参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.0，γ=-2.66，γ=3.66图3：适定范围内各种γ值的h（t）、g（t）和f（t）图。模型参数为u=0.1、u=0.12、κ=1、ε=0.004、ρ=0.95和T=0.08。这些参数得出的临界值γ=3.66。我们的第一个观察结果是π*与风险容忍度函数δ（x）成正比，其他研究如Karatzas和Shreve（1998）和Zariphopoulou（2001）中已证明了这一点。

换言之，风险承受能力越大，在（3.7）中的最佳头寸就越大。如果我们考虑κ=0的特殊情况，那么g≡ h类≡ 0，最优策略π*减小到πM：=δ（x）u–ρu1–ρu–ρu1–ρ.这个简单的策略不依赖于z。这是有意义的，因为当κ=0时，Zt在Ft的DE中消失（见（2.2））。人们可以粗略地解释πMas的默顿策略。更一般地说，当κ6=0时，加入比例布朗桥Ztin-Ft使最优策略π*依赖于时变函数g（t）和h（t）以及

Ft>St），人们预计在F中采取空头仓位，在S中采取多头仓位。对于π*作为一种趋同交易策略，我们预计h（t）–κρ1–ρ≤ 0和–h（t）+κ1–ρ≥ 0或相当于h（t）≤ min{κρ1–ρ，κ1–ρ}=κρ1–ρ。（4.1）假设ρ≥ 0，即期货价格和现货价格不存在负相关。然后，（4.1）一直在接近到期时满足，因为→T–h（T）=0。换言之，一旦我们接近成熟期，最优策略总是成为趋同交易策略。也可能是（4.1）满足t的所有值∈ [0，T]。一个有效条件是γ≤ 1（和ρ≥ 0），因为引理3.5 yieldsthat h（t）≤ 0表示所有t。另一方面，对于某些参数值或距离成熟度足够远的t，也可能违反（4.1）。我们在下面展示了这样一个例子。图5说明了HARA效用u（x）=–x（即γ=0.5）的最优价值函数和最优交易策略。设定x=1，我们考虑（t，z）不同值的值函数的等高线图。它在t中减小，在z偏离零时增大。这是很直观的，因为较长的到期时间或更大的基础意味着更大的盈利潜力。（Zt）的95%置信区间，即{（t，z）：| z–m（t）|≤ 1.96* σ（t，t）}，表明（Zt）在过渡层中点附近具有较大的方差。图5的右上图和右下图显示了最佳位置π*（t，x，z）和π*（t，x，z）95%置信区间内（t，z）的过高值。请注意，对于固定的z和x以及as t→ T、 位置大小（即124;π*i（t，x，z）|，i=1，2）先增大后减小。这种行为的原因可以从图3中相应的函数h中看出，其中| h（t）|在t消失之前达到最大值。

此外，请注意，对于固定x和t，π*（t，x，z）在z中递减，而π*（t，x，z）在z中增加。如上所述，这是因为h（t）<0和（4.1）满足。图6对应于指数效用的情况（即γ=0）。请注意，价值函数和最优头寸在接近到期之前对t的敏感性要低得多。此外，位置出现0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6x-10-8.-6.-4.-效用函数U（x）=20U（x）图-1x0.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Z z平面上V（t，1.0，z）的计数图-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.20.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Zπ计数图*tz平面中的1（t，1.0，z）-16-12-8.-404812160.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Zπ计数图*2（t，1.0，z）在tz平面内-16-12-8.-40481216待添加参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.5，γ=-2.66，γ=3.66图5：价值函数和最优交易策略，HARA效用函数U（x）=–x（即γ=0.5；左上角）。左下角：x=1.0的（t，z）上的值函数V（t，x，z）的等高线图，在（Zt）的95%置信区域中着色，即{（t，z）：| z–m（t）|≤ 1.96*σ（t，t）}（见图1）。顶部和右下面板分别是π的等高线图*（t，1，z）和π*（t，1，z）在（Zt）的95%置信区间内。随着时间接近成熟而单调变化。这与电力公司的情况相反，电力公司的头寸规模先达到峰值，然后逐渐减少。在γ=0.5和γ=0的前两个例子中，最优策略意味着在π*是递减和π*在z方向上增加。这是预期的，因为ρ≥ 0和γ≤ 1和（4.1）已满足。接下来，我们考虑一种情况，其中（4.1）不适用于t的所有值。使用效用函数U（x）=√x（即。

γ=2），选择的参数值κ=1和ρ=0.95，意味着κρ1–ρ≈ 9.74. 因此，h（t）不满足（4.1）（另见图3）。从图7中，我们观察到，在离到期时间t远的时候（例如，t=0.0799），π*（t，x，z）在z中增加，而π*（t，x，z）正在减小。特别是，对于z的大正值，意味着现货价格高于期货价格，它是多头S和空头F的最佳选择。这与典型的趋同交易策略相反。然而，随着时间的推移，我们的模型中的最优策略最终会变成收敛交易。为了更好地理解接近到期日的最优交易策略，我们注意到布朗桥的平均反转率，即κ/（T+ε–T）是时变的，并且在接近到期日时变得更大。因此，平均反转的力量将迅速消除随机基与其平均值的任何偏差。因此，趋同交易在接近到期时是最优的。然而，离到期日越远，均值回复率就越小，因此随机基础与其均值的任何偏差都需要更长的时间才能得到纠正。事实证明，对于一个充分寻求风险的投资者（即γ>1），最好押注与平均值的偏差不会立即得到纠正。