最优动态基差交易

这种情况下的最佳位置基于-2-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x-5.-4.-3.-2.-效用函数的10U（x）图U（x）=-e-x0.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Z z平面上V（t，1.0，z）的计数图-0.40-0.35-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.050.000.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Zπ计数图*tz平面中的1（t，1.0，z）-240-180-120-600601201802400.00 0.02 0.04 0.06 0.08吨-0.050.000.05Zπ计数图*2（t，1.0，z）在tz平面内-240-180-120-60060120180240待添加参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.0，γ=-2.66，γ=3.66图6：指数效用函数U（x）=–e–x（即γ=0）与图5对应。期望基础会发生分歧（或不会立即收敛）。因此，该头寸是趋同交易的对立面。图8根据图1中的模拟路径和参数，说明了S和F中的最佳头寸以及相应的投资组合价值。在这种U（x）=–x（γ=0.5）的适定场景中，最佳位置具有相反的符号，并倾向于朝相反的方向移动。此外，当基Z为负时，S中的位置为正，F中的位置为负。当nz为正时，位置会反转。此外，最佳头寸的波动速度越来越快，对接近到期的基差也越来越敏感。在图8中，我们还可以看到随时间变化的最佳投资组合价值。请注意，随着Z偏离均衡，投资组合经历了显著的下降。这是趋同交易策略的一个共同特征。图8右下角的曲线图显示了最佳终端财富X的经验密度*T、 基于200条模拟路径，所有这些路径都从最初的财富X开始*= 1、终端财富预计值为E（X*T） =1.57，标准偏差为0.12。

由于交易期限为20/250=0.08年（即一个月），年化净预期回报率为0.57/0.08≈ 7.1年化波动率为0.12/√0.08≈ 0.42. 这导致夏普比为7.1/0.42≈ 17用于此模拟示例。关于值函数，我们在图9中显示了其对κ和ρ的敏感性。为简单起见，我们将t=0.07和x=1.0固定，并将V（0.07，1，z）显示为z的函数。所有其他参数（包括效用函数）如图5所示。值函数趋向于在z=0时达到其最小值，而ahigherκ表示图中的值函数较高。这是很直观的，因为均值反转的速度越快，表明在任何给定水平上进行基差交易的稳定性越高。当相关性增加时，如果资产存在较大的错误定价（即| z |的较大值），预期效用会提高，而当错误定价较小时（即| z |的值接近于零），预期效用会降低。这也是有道理的。请注意，根据（2.4），基的挥发度（Zt）为2（1–ρ），ρ减小。因此，相关性越大，表示基中的噪声越小。如果没有错误定价，噪音越小，错误定价的可能性越小，从而降低稳定性0.079900.079920.079940.079960.079980.08000-0.04-0.03-0.02-0.010.000.010.020.030.04-4.-3.-2.-101234π图*1（t，1.0，z）v.s.（t，z）tzπ*10.079900.079920.079940.079960.079980.08000-0.04-0.03-0.02-0.010.000.010.020.030.04-4.-3.-2.-101234π图*2（t，1.0，z）v.s.（t，z）t zπ*2要添加的参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=2.0，γ=-2.66，γ=3.66图7：最优交易策略的曲面图，π*（t，1，z）（左）和π*（t，1，z）（右），对于0.0799≤t型≤ 0.08=T和| z–m（T）|≤ 1.96*效用U（x）=2下的σ（t，t）√x（γ=2）。

在时间0.08（到期日）时，该策略在π的意义上基于收敛进行交易*z减小，而π*在z方向上增加。然而，当t=0.0799时，该策略不是收敛交易，如π*z增加，而π*在z方向减小。基差交易。然而，如果存在较大的错误定价，那么噪音越小，错误定价的纠正速度就越快，从而提高了可靠性和预期效用。图10显示了最佳光斑位置对参数κ和ρ的灵敏度。对于κ和ρ的不同值，我们看到π*是z的递减函数。平均回复率κ或相关系数ρ越高，则π越大*z向更向下倾斜，这意味着当z为负（或正）时，投资者将持有更大的多头（或空头）头寸。财务直觉如下。κ越高，则表示基的收敛速度越快。这代表着一种更有利的交易，导致投资者在基础中占据更大的位置。当基差为负时，现货价格低于期货价格，因此最优策略是做多现货。当基数为正时，则相反。增加ρ会减少基中的随机波动，这也意味着基将显示出astronger收敛趋势。因此，最好采取更大的立场。总结：我们分析了动态交易问题，即风险厌恶型投资者通过交易随机基础来实现预期效用最大化。我们用停止标度布朗桥描述了非收敛基过程。这使我们能够通过分析和数值方法求解相关的HJB方程，并说明最佳交易策略。未来的研究方向有很多。

除了基差交易外，还可以分析其他期货交易策略，包括期货滚动和期货组合。许多交易所交易基金（ETF）也常用期货跟踪现货价格（参见Leung and Ward（2015））。考虑我们模型的变化也很有趣。例如，在（2.1）和（2.2）中，我们可以解释现货价格瞬间领先于期货价格，因为期货没有0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-10-50510美元最佳位置SSTFT0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08t-0.050.000.05（Zt）的模拟路径及其95%置信区间0.00 0.02 0.04 0.06 0.080.00.51.01.52.0美元最佳投资组合价值T1.0 1.2 1.4 1.6 1.801234E（X*T） =1.57stdev（X*T） =0.12SR=16.96min（X*T） =0.96max（X*T） =1.90 X的经验密度*t基于200个模拟路径的最佳位置和模拟价格的投资组合值，参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，ε=0.004，ρ=0.95，γ=0.5，γ=-2.66，γ=3.66图8：一条模拟路径Z（左下）在S和F（左上）的最佳位置，γ=0.5和x*= 0、右上角：组合值的对应路径。右下：最优终端财富X的经验密度*t基于200条模拟价格路径，所有这些路径都从initialwealth X开始*= 1、其他参数取值见图1。任何现场反馈。这是一个价格发现的问题，我们参考了Chan（1992）、Kawaller等人（1987）以及Stoll和Whaley（1990）的实证研究以了解更多背景。可以通过互换S和F的主导作用来调整我们的解决方法，并更普遍地将期货和现货价格之间更复杂的超前-滞后效应纳入交易问题。参考文献Adjemian，M.K.、P.Garcia、S.Irwin和A.Smith（2013）。

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当Nz为负/正时，较高的平均反转率或较高的相关性会增加多头/空头头寸大小。除了κ或ρ之外，参数值与图5中的值相同。Cartea，'A。，L.Gan和S.Jaimungal（2018年）。交易具有价格影响的协整资产。MathematicalFinance，即将于2018年出版，arXiv:1807.01428【q-fin.TR】。Cartea，'A。和S.Jaimungal（2016）。协整资产的算法交易。《国际理论和应用金融杂志》19（06），1650038。Cartea，'A。，S、 Jaimungal和D.Kinzebulatov（2016年）。算法交易与学习。《国际理论与应用金融杂志》19（4），1650028。Chan，K.（1992年）。进一步分析现金市场和股指期货市场之间的超前-滞后关系。金融研究回顾5（1），123–152。Cheridito，P.、D.Filipovi'c和M.Yor（2005年）。跳跃扩散过程的等效和绝对连续测量变化。安。应用程序。概率。15 (3), 1713–1732.Chiu，M.和H.Wong（2011年）。协整资产的均值-方差组合选择。《经济动力学与控制杂志》351369–1385。Cox，J.C.、J.F.Ingersoll和S.A.Ross（1981年）。期货价格与期货价格的关系。《金融经济学杂志》第9期（12月），第321-346页。Dai，M.、Y.Zhong和Y.K.Kwok（2011年）。股指期货持仓不足限制的最优套利策略。《期货市场杂志》31（4），394–406。Fleming，W.H.和H.M.Soner（2006年）。受控马尔可夫过程和粘度解，第25卷。纽约斯普林格。Garcia，P.、S.H.Irwin和A.Smith（2015年）。期货市场失灵？《美国农业经济学杂志》97（1），40–64。Irwin，S.H.、P.Garcia、D.L.Good和E.L.Kunda（2011年）。

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通过替换Wt、iwithfWt、i、i∈ {1，2}，在（2.10）和注释（2.9）中，一个获得t=1+Xi=1ZtYueui+eκiT–u+εZudfWu，i；0≤ t型≤ T、 （A.1）其中eui和eκi，i∈ {1，2}是一些适当定义的常数。接下来，考虑（确定性）时间变化%（t）：=2（1–ρ）Zt（t–u+ε）–2κdu=2（1–ρ）2κ–1（T–T+ε）1–2κ–（T+ε）1–2κ; 如果κ6=0.5，则记录T+εT–T+ε; 如果κ=0.5，（A.2），需求：=%（T）<∞. 注意，%（t）严格地从0增加到t，因为t从0增加到t。让我们也定义t（%）：[0，eT]→ [0，T]为%（T）的倒数。使用Knight的时间变化定理（见Karatzas和Shreve（1991）第179页的定理3.4.13），过程（B%，1，B%，2）0≤%≤由b%（t）定义，i：=p2（1–ρ）Zt（t–u+ε）–kdfWu，i；我∈ {1，2}，（A.3）是独立的标准布朗运动。此外，从（2.5）可以看出，zt=Z1–tT+εκ+（u–u）A（t）+（t–t+ε）κB%（t），1。（A.4）考虑时间变化过程（eY%：=Yt（%））0≤%≤E注意（Yt）0≤t型≤这是鞅当且仅当（eY%）0≤%≤这是一个鞅。根据（A.1）、（A.3）和（A.4），eY满意度%=1+Xi=1Zt（%）eYvfiv、 Bv，1dBv，i；0≤ % ≤eT，其中我们定义了functionalfi%, x（·）:= eui+eκiT–t（%）+ε（A.5）×Z1–t（%）t+εκ+（u–u）At（%）+ （T–T（%）+ε）κx（%）,对于任何连续函数x：[0，eT]→ R、 注意，（i）f（%，x）=f（%，x），f（%，x）在卡拉萨斯和什里夫（1991）第199页定义3.5.15的意义上，是逐步可测量的；和，（ii）对于任何0≤ w≤eT，存在一个常数K>0，使得kf%, x（.）k≤ K（1+最大值0≤v≤%|x（v）|）；0≤ % ≤ w、 （A.6）这是从（A.5）得出的，因为ε>0和A（t）和t（%）分别在[0，t]和[0，eT]上是连续的（因此是有界的）。根据上述条件（i）和（ii），我们现在应用Karatzas和Shreve（1991）第200页的推论3.5.16得出结论（eY%）0≤%≤这是一个鞅。

因此，（Yt）0≤t型≤这也是一个鞅，因为我们开始前进。B定理3.3的证明将（3.2）中的算子Lπ应用于（3.1）中的函数v（t，x，z），我们得到Lπv（t，x，z）=vxx∑>π+vxvxx∑–1u+κzT–t+ε+vxzvxx∑>–1！–“azT–t+ε+2b zT–t+ε+c#vxvxx–（1–ρ）vxzvxx–u–u–κzT–t+εvxvxzvx，其中我们定义了康斯坦萨：=κ1–ρ，b：=κu– ρu1–ρ，c：=u+u–2ρu1–ρ，（B.1），矩阵∑：=1 0ρp1–ρ！。现在假设vxx（t，x，z）<0，对于（t，x，z）∈ [0，T]×D×R，一旦我们证明解是所需的形式（3.4），它就会成立。接下来，对于（t，x，z）∈ [0，T]×D×R，π*（t，x，z）：=arg maxπ∈RLπv（t，x，z）（B.2）=–vxvxx（∑∑>）–1u+κzT–t+ε！–vxzvxx–1！，HJB方程（3.1）变为二阶非线性PDEvt（t，x，z）=“azT–t+ε+2b zT–t+ε+c#vxvxx+u–u–κzT–t+εvxvxzvxx–vz+ (1 – ρ)vxzvxx–vzz,（B.3）对于（t，x，z）∈ [0，T]×D×R，终端条件v（T，x，z）=U（x）。替换ansatzv（t，x，z）=U（x）expf（t）+g（t）z+h（t）z, （B.4）该ansatz可通过Zariphopoulou（2001）引入的功率变换得出。另见Kim andOmberg（1996）等人。（t、x、z）∈ （B.3）中的[0，T]×D×R导致以下恒等式，涉及未知函数f，g和h，f（T）+（1–ρ）γg（T）+γ（u–u）g（T）+（1–ρ）h（T）–（1–γ）c+zg（t）+γ2（1–ρ）h（t）–κt+ε–tg（t）+γ（u–u）h（t）–（1–γ）bT+ε–t+zh（t）+2（1–ρ）γh（t）–2γκt+ε–th（t）–（1–γ）a（t+ε–t）= 0，对于所有t∈ [0，T]和z∈ R、 为了得到这个方程，我们使用了恒等式（U（x））U（x）=（1–γ）U（x）；x个∈ D、 这直接来自（2.13）和（2.14）。此外，在终端条件v（T，x，z）=U（x）中替换（B.4）得到f（T）=g（T）=h（T）=0。