最优动态基差交易

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英文标题：
《Optimal Dynamic Basis Trading》
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作者：
Bahman Angoshtari, Tim Leung
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study the problem of dynamically trading a futures contract and its underlying asset under a stochastic basis model. The basis evolution is modeled by a stopped scaled Brownian bridge to account for non-convergence of the basis at maturity. The optimal trading strategies are determined from a utility maximization problem under hyperbolic absolute risk aversion (HARA) risk preferences. By analyzing the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we derive the exact conditions under which the equation admits a solution and solve the utility maximization explicitly. A series of numerical examples are provided to illustrate the optimal strategies and examine the effects of model parameters.
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中文摘要：
我们研究了随机基模型下期货合约及其标的资产的动态交易问题。为了解释基在成熟时的不收敛性，用停止标度的布朗桥来模拟基的演化。在双曲型绝对风险厌恶（HARA）风险偏好下，通过效用最大化问题确定最优交易策略。通过分析关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们导出了方程允许解的精确条件，并显式地求解了效用最大化问题。通过一系列数值算例说明了优化策略，并检验了模型参数的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_Dynamic_Basis_Trading.pdf (1.21 MB)

2022-6-10 17:57:29 上传

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关键词：基差交易 maximization Optimization Quantitative Convergence

最优动态基交易b。安哥拉语T、 LeungyThis version:2019年5月28日摘要我们研究了在随机基差模型下期货合约及其标的资产的动态交易问题。为了解释基在成熟时的不收敛性，基的演化由一个停止标度的布朗桥来建模。在双曲型绝对风险厌恶（HARA）风险偏好下，根据AUTITY最大化问题确定最优交易策略。通过分析相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们导出了方程允许解的精确条件，并显式地求解了效用最大化问题。提供了一系列数字样本来说明最佳策略，并检查模型参数的影响。关键词：期货随机基础现金和套利规模布朗桥风险规避JEL分类C41 G11 G121简介基础交易，也称为期货合约背景下的现金和套利交易，是许多投机性交易员的核心策略，他们寻求从现货和期货价格的预期趋同中获利。这种做法通常涉及在定价过低的资产中持有多头头寸，在定价过高的资产中持有空头头寸，并在趋同时平仓。然而，在现实中，基差交易远非无风险套利。市场因素的意外变化，如利率、携带成本或收入，可能会降低稳定性。此外，交易成本和抵押品支付等市场摩擦可能会将看似确定的套利机会变成灾难性的交易。也有可能在到期时，基础不一致。这种非趋同现象在谷物市场中普遍存在。如Irwin et al.（2011）、Adjemian et al.（2013）和Garcia et al.所述。

（2015年），对于2005-2010年的大多数期货合约，到期日高出现货价格35%。因此，一些现金和结转交易员可能会选择在到期前平仓，以限制风险敞口。关于期货合约定价的早期工作，如Cox et al.（1981）和Misted and Sundaresan（1983），在现货价格和相关期货价格之间建立了无套利关系。假设交易成本（transaction cost）是一种完善的关系，这些关系采用定价界限的形式，可以是华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：bahmang@uw.eduyApplied华盛顿大学数学系，华盛顿州西雅图98195。电子邮件：timleung@uw.eduused用于识别有利交易。在基差交易的相关研究中，Brennan和Schwartz（1988）以及Brennan和Schwartz（1990）假设指数期货的基差遵循比例布朗桥，并且资产交易受头寸限制和交易成本的影响。他们计算了用于交易的嵌入式定时期权的价值，并利用期权价格设计了涉及指数期货和标的指数的开仓-平仓策略。同样在布朗桥模型下，Daiet et al.（2011）提供了一种替代策略和交易成本规范。Liu和Longstaff（2004）的另一项相关工作假设，基础遵循一个比例布朗桥，投资者受到抵押品约束。他们推导出了使终端财富的预期对数效用最大化的封闭式策略，并显示了在共同约束下采取较小套利头寸的最优性。在上述关于最优基差交易的研究中，市场模型包含套利。事实上，它假设基础是一种可交易资产，在未来固定时间收敛到零。

在本文中，我们考虑了一种不同的情况，即基础在到期时不会消失。更准确地说，我们通过一个在其达到收敛之前停止的缩放布朗桥来模拟托卡斯特基。我们提出的模型是由市场不趋同现象以及交易员在到期前关闭其期货头寸的可能性所驱动的。此外，它还有一个额外的优势，即它创造了一个无套利期货市场（见下文第2.5条）。我们使用双曲型绝对风险规避（HARA）效用函数来考虑一类一般的风险偏好，其中包括幂（CRRA）和指数（CARA）效用。然而，我们排除了降低风险承受能力函数的情况，尤其是二次效用函数。在我们的发现中，我们以封闭形式推导出了最佳动态基差交易策略，最大化了终端财富的预期效用。在解决我们的投资组合优化问题时，出现了适定性的关键问题。为此，我们找到了最大预期效用确定的确切条件。对于预期效用爆炸的情况，我们推导出爆炸发生的临界投资期限。详见第3节。请注意，在以下情况下观察到实现有限预期效用：有限期投资组合优化（Merton（1969））、最优执行（Bulthuis et al.（2017））、以及具有均值回复回报的有限期资产最优交易（Kim和Omberg（1996）；Korn和Kraft（2004））。后面的研究分别创造了术语“涅盘策略”和“I-不稳定”，用于在有限的投资范围内产生有限的预期效用的投资策略。我们的模型与许多涉及布朗桥的金融研究相关。

应用包括解调市场信息流。例如，Brody、Hughston和Macrina（2008）在关于未来市场事件的信息中使用了DA Brownian bridge作为噪音，并基于此资产价格动态和市场信息流导出了期权定价公式。Cartea、Jaimungal和Kinzebulatov（2016）利用随机布朗桥（rBb）对具有知情交易者感知的随机终点的资产的中间价格进行建模，并确定市场和限价订单的最佳位置。Leung、Li和Li（2018）还应用rBb模型来研究出售不同头寸的最佳时机。基差交易包括交易单个期货合约及其现货资产。一种类似的替代策略是，与现货交易多个期货，但期限不同。例如，Leung和Yan（2018、2019）考虑了由相同的双因素随机现货模型生成的期货价格，并优化了动态交易策略。在最优收敛交易中，资产价格或其价差通常由平稳均值回复过程建模。例如，见Kim和Omberg（1996）、Korn和Kraft（2004）、Mudhanatongsuk等人（2008）、Chiu和Wong（2011）、Liu和Timmermann（2013）、Tourin和Yan（2013）、Cartea和Jaimungal（2016）、Lee和Papanicolaou（2016）、Leung和Li（2016）、Kitapbayev和Leung（2018）以及Cartea等人（2018）。然而，在这些研究中，价格或价差并没有计划在未来某个时候趋于一致。使用一个标度布朗桥，我们可以控制基向到期日收敛的趋势。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了我们的市场模型并公式化了动态基差交易问题。在第3节中，我们求解相关的Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程。

第4节包含我们关于最优基差交易策略的结果，以及一系列说明性的数值例子。第5节结束。附录中包含更长的证明。2问题设置我们考虑在一段时间内交易无风险资产、到期日为T的期货合约F及其基础资产S的投资者。为简单起见，我们假设S不支付股息，也没有存储成本。我们还假设利率为零，以无风险资产为基准。在这些假设下，期货价格、远期价格和现货价格应该相等。然而，在实践中，市场摩擦和不足可能导致期货价格与现货或远期价格不同。如上所述，期货价格甚至可能不会收敛到到期时的现货价格。基于这些市场缺陷，我们提出了一个随机模型，该模型综合了期货和现货价格的共同运动，并捕捉到基差接近零但不一定在到期时消失的趋势。从本质上讲，现货和期货价格是由相关的布朗运动驱动的，随机基础由标度布朗桥表示，如下面引理2.2所示。为了描述我们的模型，我们假设波动率标准化期货价格（Ft）t∈[0，T]和波动率标准化现货价格（St）T∈[0，T]满足性Dystst=udt+dWt，1，（2.1）和dftft=u+κZtT–t+εdt+ρdWt，1+p1–ρdWt，2，（2.2），其中（Zt）0≤t型≤是ZT定义的随机基的对数值：=对数StFt公司; 0≤ t型≤ T、 （2.3）见备注2.1。这里，Wt=（Wt，1，Wt，2）>是过滤概率空间中的标准布朗运动Ohm, F、 P，（Ft）t≥0式中（Ft）t≥0由布朗运动生成，满足通常条件。参数u和u，带u，u∈ R、 分别表示S和F的夏普比（见下文备注2.1）。

如（2.2）所述，期货价格有在S附近恢复的趋势。事实上，如果FTI显著高于St，则ZT变为负值。因此，Ft的漂移也可能是负的，从而推动Ft的值向下接近St。如果Ft显著低于St，则相反的情况将成立。该平均值逆转的速度由常数κ>0反映出来。另一方面，这两种价格在到期时不必重合。不收敛程度由参数ε>0控制。ε越小，表示成熟期林分Ft越接近。事实上，如果ε=0，则STand Ft将完全相同。最后，我们通过参数|ρ|<1合并了两个价格过程之间的相关性。备注2.1。设（eSt）satisfyingdeSt=eSt（utdt+σtdWt），为资产的报价。资产的“波动率标准化价格”（St）由DST=StσteStdeSt=St给出utσtdt+dWt, S=eS，因此（St）的波动率为1。此外，设（eπt）为投资于资产的金额。资产中的“波动率调整头寸”由πt给出：=σteπtsuch thatdeπt=eπtdeSteSt=πtdStSt。换句话说，在处理波动率标准化价格时，应使用波动率调整头寸。为了找到美元头寸，我们只需要将波动率调整头寸除以波动率，即πt=πtσt。在本文的其余部分，我们使用价格和头寸来代替波动率标准化价格和波动率调整头寸。正如我们在下面的引理中所示，价格动力学（2.1）和（2.2）意味着随机基（Zt）是一个在T+ε处收敛到零的标度布朗桥。这意味着S和F收敛于atT+ε，即limt→T+ε（Ft/St）=1，P-几乎可以肯定。然而，由于期货合约在T到期，且T+ε已过期，因此市场上并未实现这种趋同。

在我们模型的极限情况下，ε→ 0+，现货和期货价格收敛于T，市场模型允许套利。相反，对于任何ε>0的情况，市场都是无套利的。见下文命题2.5和备注2.6。引理2.2。随机基（Zt）0≤t型≤Tsatis fiesdzt=u–u–κZtT–t+εdt+（1–ρ）dWt，1–p1–ρdWt，2，（2.4）对于0≤ t型≤ T、 特别是，如果我们考虑这个SDE在[0，T+ε]上的解，那么ZT+ε=0，P-几乎可以肯定。证据我们通过将（2.1）-（2.3）应用于dZt=dStSt–dFtFt得到（2.4）。根据Karatzasand Shreve（1991）第354页的等式（6.6），（2.4）的唯一强解为zt=Z1–tT+εκ+（u–u）A（t）+ZtT–T+εT–u+εκ（1–ρ）dWu，1–p1–ρdWu，2; 0≤ t型≤ T、 （2.5）我们定义了a（T）：=κ – 1T–T+ε–（T–T+ε）κ（T+ε）κ–1; 如果κ6=1，（T–T+ε）对数T+εT–T+ε; 如果κ=1。（2.6）由于κ>0，在（2.6）中取极限会产生极限→T+εA（T）=0。从（2.5）可以得出P（ZT+ε=0）=1。备注2.3。引理2.2提供了我们模型的另一种表示。事实上，我们可以通过（2.1）定义基础资产S，通过（2.4）定义基础资产Z。随后，FT确定的期货价格：=Ste–ZTSaties（2.2）。作为推论，我们现在描述了基（Zt）t的分布≥0。推论2.4。假设zi是确定性的。那么，基础（Zt）0≤t型≤这是一个高斯-马尔可夫过程，平均函数m（t）：=E（Zt）=Z1–tT+εκ+（u–u）A（t），（2.7）和协方差函数σ（s，t）：=Cov（Zs，Zt）=2（1–ρ）2κ–1（T–T+ε）κ（T–s+ε）κ–11 –1–sT+ε2κ–1; 如果κ6=，2（1–ρ）p（T–T+ε）（T–s+ε）logT+εT–s+ε; 如果κ=，（2.8）对于所有0<s≤ t<t。这里，A（t）由（2.6）给出。证据该结果源自使用（2.5）进行的直接计算。根据推论2.4，可以得出ZT~ N（m（T），σ（T，T））。此外，asε→ 0，我们有E（ZT）=m（T）→ 0和Var（ZT）=σ（T，T）→ 0

使用引理2.2及其推论，可以直接设计一种时间离散化方案来模拟S、F和Z的路径，如图1所示。作为确认，we0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.081.01.21.41.6$1模拟路径为（St）和（Ft）StFt0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08t-0.10-0.050.000.05（Zt）的模拟路径及其95%置信区间m（t）m（t）±1.96σ（t，t）-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.0605101520 ZTN（m（T），σ（T，T））模拟路径（St），（Ft）和（Zt）的Zt经验密度基于200KDE样本。参数为：r=0.0，u1=0.1，u2=0.12，κ=1.0，T=0.08，ε=0.004，ρ=0.95。图1：左面板显示了S和F的模拟路径（顶部），以及Z及其随时间的置信区间（底部）。右侧绘制了ZT的理论密度和估计密度（基于模拟路径）。参数：u=0.1，u=0.12，κ=1，T=0.08，ε=0.004，ρ=0.95。参见ZT的经验密度，基于200条与理论密度密切匹配的模拟路径，即Nm（T），σ（T，T）.接下来，我们证明了我们的市场模型是无套利的。让我们首先定义风险函数λ（t，z）的市场价格：=∑–1u+κzT–t+ε=u√1–ρu–ρu+κT–T+εz, （2.9）对于0≤ t型≤ T、 式中，∑：=1 0ρp1–ρ！。提案2.5。（2.1）–（2.3）中的市场模型是无套利的。特别是，风险中性度量Q由Radon-Nikodym导数qdp=YT给出，其中过程（YT）t∈[0，T]满意度dYtYt=–λ（t，Zt）>dWt；0≤ t型≤ T、 Y=1，（2.10），是一个P-鞅。证据见附录A。命题2.5显示了ε>0的重要性。对于ε=0，市场模型（2.1）-（2.2）并非无风险。

事实上，在引理2.2的证明中设置ε=0会得到P（ST=FT）=P（ZT=0）=1。因此，如果存在风险中性度量Q，那么我们必须有ST=EQ（ST）=EQ（FT）=FT；0≤ t型≤ T、 这与（2.1）-（2.2）相矛盾。备注2.6。参考附录A中命题2.5的证明，我们可以指出如果ε=0，哪个部分会失败。具体而言，对于ε=0，关键不等式（A.6）在证明中不成立。我们现在讨论投资者面临的动态交易问题。设eπt，1为投资于S的现金金额，eπt，2为投资于F的名义价值，对于t∈ [0，T]。通过πt，i确定波动率调整头寸：=σt，即πt，i，i∈ {1，2}，其中（σ1，t）和（σ2，t）分别是现货和期货价格的波动率。然后，交易财富（Xt）0≤t型≤t滚转dxt=πt，1dStSt+πt，2dFtFt（2.11）=uπt，1+u+κZtT–t+επt，2dt+（πt，1+ρπt，2）dWt，1+πt，2p1–ρdWt，2，对于0≤ t型≤ T、 然后，我们定义了一组可接受的交易策略。定义2.7。对于常数x*, γ ≥ 0，定义集合D R如下：={x∈ R:x>x*}; γ>0，R；γ = 0.我们用A=A（x）表示*, γ） 所有（Ft）适应过程的集合，用π=（πt，1，πt，2）0表示≤t型≤T、 因此（i）RTπt，1+πt，2+|πt，2Zt|dt<∞, P-a.s.，（ii）Xt∈ D P-a.s.适用于所有t∈ [0，T]，其中（Xt）0≤t型≤由（2.11），（iii）（Xt）0给出≤t型≤t从下方一致有界，P-a.s。注意，对于γ>0，条件（ii）变为Xt>x*所有t的P-a.s∈ [0，T]，这使得条件（iii）冗余。对于γ=0，条件（ii）是多余的，因为相应的效用对财富过程没有约束。