保险定价的扭曲原则：财产，

首先，我们回顾一下瓦瑟斯坦距离的概念。标题因长度过长而被抑制9定义1 Let(Ohm, d） 是度量空间，P，~P是度量空间上的两个Borel概率测度。然后是r阶的Wasserstein距离≥ 1定义为asW Dr，d（P，~P）=infX~PY公司~PE（d（X，Y）r）！1/r。这里的最大值是对（X，Y）的所有联合分布，因此边际分布分别为P。P，即X~ P，Y~P。对于实线上的两个分布F和G，赋予metricd（x，y）=x-y |。该定义专门针对（见Vallender 1974【23】）W D1，d（F，G）=^∞-∞|F（x）-G（x）| dx=^| F-1（v）-G-1（v）| dv。因此，Wasserstein距离是分布函数之间的（绝对）面积，也是逆分布之间的（绝对）面积。通过类似的论证，可以证明r阶的瓦瑟斯坦距离≥ 1，实线上的dmetric为w Drr，d（F，G）=^| F-1（v）-G-1（v）| rdv=kF-1.- G-1krr。（13） 现在我们研究泛函F 7的连续性性质→ πh（F）。命题2（有界畸变密度的连续性）假设Fand G是实线上的两个分布，h是畸变密度函数。如果分布同时具有有限的一阶矩且h有界，则|πh（F）-πh（G）|≤ ||h类||∞· WD1，d（F，G）。证明见Pichler 2010【20】。备注4如果g在0处具有有限的右侧导数，并且如果g具有有限的Lipschitz常数L，则确保h的有界性，因为khk∞≤ 五十、 命题2可以简单地概括如下。命题3（q<∞)设F和G为实线上的两个分布，h为畸变密度函数。如果F，G有明确的p-力矩和h∈ Lq，然后|πh（F）-πh（G）|≤ ||h | | q·WDp，d（F，G），其中p和q是共轭的。10 Daniela Escobar，Georg Ch。

通过P和q的H¨older不等式证明，我们得到|πH（F）-πh（G）|=^h（v）·F-1（v）-G-1（v）dv≤^| h（v）| qdv1/季度·^F-1（v）-G-1（v）pdv公司1/p≤ ||h | | q·WDp，d（F，G）。示例1假设F和G是两个具有有限一阶矩的分布对于AV@R畸变溢价| | hα||∞=1.-α、 因此|πhα（F）-πhα（G）|≤1.-α·WD1，d（F，G）。-对于s的功率失真≥ 1，| | h（s）||∞= s、 因此|πh（s）（F）-πh（s）（G）|≤ s·W D1，d（F，G）。0<s<1的功率失真没有界限。下一个结果是针对这个特殊情况的。命题4（0<s<1的功率失真的连续性）设F和G为分布函数，h（s）为失真密度定义（3）。如果F和G有明确的p-p>砂h的力矩∈ Lq，然后|πh（s）（F）-πh（s）（G）|≤sqp1+q（s- 1） ·WDp，d（F，G），其中p和q是共轭物。证明我们首先注意到p>简化了q<1-砂层t=1+q（s- 1) > 0.^h（s）（v）qdv1/季度=^sq·（1- v） q·（s）-1） dv1/季度=^sq·（1- v） t型-1dv1/q=平方√t型·^t（1-v） t型-1dv1/q=平方√t、 命题3证明了这一说法。下一个结果是命题4的直接结果。标题因过长而被抑制11推论1（失真密度的连续性由功率失真密度控制，0<s<1）设F和G为分布函数，h为失真密度。如果h等于h（v）≤ c·h（s）（v），适用于所有v∈ [0，1]，c>0和0<s<1，F和G有明确的p-p>s的力矩，然后是h∈ Lqand |πh（F）-πh（G）|≤c·sqp1+q（s- 1） ·WDp，d（F，G），其中p和q是共轭物。推论2（收敛）如果F，fn表示所有n≥ 1具有有限的统一边界p-力矩，h∈ LQ和W Dp，d（Fn，F）→ 0作为n→ ∞, 然后|πh（F）-πh（Fn）|----→n→∞0，其中p和q是共轭的。注5：当分布序列为i.i.d.样本大小为n，（x，…，xn）fromX时，推论2成立~ F

如果F有明确的p-力矩，然后W Dp，d（bFn，F）----→n→∞0，因此πh（bFn）-πh（F）----→n→∞这个结果通过应用[17]中的引理4.1得出。最后请注意，对于连续性，Wasserstein距离Rc的阶数与F的有限矩数一致。3.1部分保险任何保险合同都不能保证完全赔偿，但其赔付只是全部损失的一部分。此类合同包括比例保险、免赔额和上限保险。一般来说，如果总损失为X，则存在一个（单调的）支付函数T，使得支付函数为T（X）。一个非常灵活的形式是超额损失保险（XL保险），它具有支付函数T（X）=如果x，则为0≤ ax-a如果a≤ x个≤ ee公司-a如果x≥ e、 （14）用ftt表示T（X）的分布，如果F是X的分布。部分覆盖的畸变保费为πh（FT）。我们研究了fta和GT之间的关系，以及πh（FT）和πh（GT）之间的关系，这是在一个稍微更一般的设置中，即对于h¨older连续T。回想一下，如果T（x），T与常数Hβ是H¨oldercontinuous的-T（y）|≤ Hβ·| x-y |β，对于某些β≤ 1、定理3（原始概率和图像概率之间的距离，由T表示）设P和Q为两个概率测度，并考虑其图像12 Daniela Escobar，Georg Ch.P flugprobabilities，在T下分别由pta和QT表示。

如果T是aβ-H–oldercontinuous mapping，thennw Drβ，d（PT，QT）≤ Hβ·WDβr，d（P，Q），rβ=rβ≥ 1和r≥ 1，其中Hβ是β-H–older常数。证明X和Y的联合分布使得w Dr，d（X，Y）=E1/r（| X- Y | r），然后是新Drβrβ，d（PT，QT）≤ E（| T（X）- T（Y）| rβ）≤ Hrββ·E（| X- Y | r）=Hrβ·WDrr，d（P，Q）。在两侧取rβ根完成了证明。对于XL保险，H¨older常数是一个Lipschitz常数（β=1），其值为1。根据前面的定理，我们可以得出结论，如果两个概率相近，则具有第3项特征的映射T的图像概率在瓦瑟斯坦距离上也相近。定理3隔离了文献[17]中定理3.31中也使用的论点。请注意，Wasserstein距离的基础距离是各个空间的度量。推论3设F，G分别是由概率P和Q定义的两个分布，FT，GT分别是由T定义的图像分布。如果是aβ-H¨具有常数Hβ，H的older连续映射∈ Lq、分配FT、GT和有限p-力矩，则对于所有r=p·β（r≥ 1） ，具有支付函数T的扭曲溢价满足|πh（FT）-πh（GT）|≤ ||h | | q·W Dp，d（PT，QT）≤ ||h | | q·hβ·W Dβr，D（P，q）。（15） 现在，我们继续研究畸变premiumw的灵敏度特性。r、 t.畸变密度。4特优w.r.t的连续性。畸变密度先前，我们研究了映射F 7→ πh（F）表示固定h。在本节中，我们考虑并展示映射h 7的性质→ πh（F）表示固定F。不同的灵敏度特性w.r.t.失真参数在Gourieroux和Liu 2006中进行了研究[9]。命题5（畸变溢价的连续性w.r.t.畸变密度h）设F为一个分布，并考虑两个不同的畸变密度h，h。

如果F有明确的p-力矩和h，h∈ Lq，然后|πh（F）-πh（F）|≤ ||F-1 | | p·| | h- h | | q，其中p和q是共轭的。这里的选项p=1，q=∞ 和p=∞,包括q=1。标题因过长而被抑制13证明使用H¨older不等式，结果是直接的。我们可以得出这样的结论，如果手兔收盘，那么溢价也会收盘。然而，h总是可以通过以下命题来识别。命题6如果πh（F）=所有分布函数F的πh（F）（值∞ 不排除），则h（v）=h（v）a.s.证明让Fabe分布取概率为a的值0和概率为1的值1- a、 对于一些a∈ （0，1），则其逆f-1是间隔的指示器功能[a，1]。因此，πh（Fa）=^[a，1]（v）h（v）dv=^ah（v）dv=πh（Fa）=^ah（v）dv。因此，畸变分布相等，因此h=halmost said。备注6注意，如果溢价重合的分布族包含所有伯努利变量，则前面的命题是正确的。也可以比较[29]中的定理2。备注7另一个具有该族溢价以独特方式确定畸变特性的族是[0，1]上形式为Fγ（u）=uγ的功率分布族，更一般的形式为Fγ，β（u）=β-γuγ在[0，β]上。该族的畸变溢价为^βv1/γh（v）dv，由于β=limγ，因此得到了h和β的唯一性→∞βv1/γh（v）dv，以及梅林变换的反演公式（见Zwillinger 2002[34]）。5通过观察估计失真密度保险公司计算保费的方式通常不会向客户透露。请注意，风险溢价不仅出现在保险业务中，参见inNguyen等人2012年的《保险费价格与资产定价的联系》[16]。风险溢价出现在其他领域，如电力期货市场。

未来的合同将确定今天的价格，以便稍后交付能源。从现在到交付期间，存在价格变动的风险。因此，此类合同具有保险性质，定价原则也适用，尽管价格是在交易所市场（如电力期货市场）中找到的。14 Daniela Escobar，Georg Ch.P flug–奇异选项。虽然标准期权是通过复制策略（replicationstrategy）参数定价的，但该参数不适用于其他类型的期权，这些期权具有保险合同的特征。此类合同的定价通常是在场外进行的，但定价原则也没有向交易对手透露信贷衍生品。这些合同还具有保险性质，可以根据保险价格原则进行定价。在本节中，我们假设我们知道M合同的畸变溢价，这些合同都是用相同的畸变密度h定价的。对于每个合同j，我们还有一个样本x（j），x（j）nof大小n从本合同的损失分配中提取，由我方处置。为简单起见，我们假设所有合同的nis都是相同的，但这并不重要。本节的目的是展示如何从保险价格的观察中获得扭曲密度h，这将帮助我们更清楚地了解合同对手的价格形成。请注意，我们的目的不是像Gourieroux和Liu 2006年[9]或Tsukahara 2013年[22]所做的那样，根据经验数据估计扭曲溢价。模拟示例。作为一个例子，我们考虑m种不同的损失分布，均为伽马型。从每个分布中，我们获得一个大小为n的样本。对于每个样本，我们计算AV@R和功率畸变溢价。根据获得的价格和我们的样品，我们的目标是恢复畸变密度h。

我们用x（j）[1]，…，表示第j个损失分布中的有序样本，x（j）[n]。畸变溢价，每个样品的畸变密度h=1，m、 isπ（j）=nXi=1x（j）[i]^ini-1nh（v）dv=nXi=1x（j）[一]H在里面- H我-1n. （16） 在以下情况下，我们针对以下特定情况开发（16）：AV@R每个样本的功率失真溢价j=1，m。AV@R失真溢价。（7）中定义的hα的价格为π（j）=n（1-α） ·nXi=iax（j）[i]，（17），其中1<iα<n s.t.iα-1n≤ α<iαn。功率失真溢价。由（3）中定义的功率畸变h（s）给出的价格为π（j）=nXi=1x（j）[i]·1.-我-1ns-1.-在里面s, （18） 由于篇幅过长15和（5）中定义的h（s）给出的价格加上s，所有权被抑制≥ 1是π（j）=nXi=1x（j）[i]·在里面s-我-1ns. （19） 反问题包括根据观测价格估计畸变密度h。回想一下，在我们介绍的常见畸变密度示例中，我们有阶跃函数和连续函数，因此我们将使用阶跃函数和样条函数来估计h。我们对（17）、（18）和（19）中获得的价格进行了估计。5.1使用阶跃函数估计畸变密度畸变密度作为阶跃函数。让我们注意由l个等尺寸步长组成的步长函数，定义为bhl（v）=lXk=1λk·I[l·k-1n，L·kn）（v）=lXk=1λk·I[k-1l，kl）（v），（20），其中L=n/L，λs∈ R表示k=1，l和l表示阶函数空间的维数。我们还施加^bhl（v）dv=lXk=1^klk-1lλkdv=l·lXk=1λk=1，（21）带0≤ λ≤ ··· ≤ λl。通过这种方式，bhlful定义了密度约束以及非递减约束。具有阶跃功能的价格。对于每个样品j=1，m、 价格是指bλbπ（j）=nXi=1x（j）[i]·ini-1nbhl（v）dv=lXk=1L·kXi=kx（j）[i]·^ini-1nλkdv=lXk=1λkn·L·kXi=kx（j）[i]，（22）估计。

为了估计Bhlw，我们将最小化由畸变函数h获得的价格与由Bhlin（22）获得的价格之间的差异平方。我们将使用（17）、（18）和（19）中计算的给定价格π（j）来测试我们的结果。我们求解，minλmXj=1（^π（j）- π（j））s.t.l·lXi=1λi=10≤ λ≤ ··· ≤ λl.（P）16 Daniela Escobar，Georg Ch.P flug5.2使用三次单调样条构造估计畸变密度。出于我们的目的，我们将定义区间[0，1]上的样条线。任何B样条都是B样条基函数的线性组合。B样条基函数的阶数都是相同的，我们选择在等间距节点tk=k/L，对于k=0，五十、 因此，Lsubintervals。此基的函数表示为Bk，带按照递归公式构造。度为0的B样条基函数表示和定义为bk，0（v）=（1 tk≤ v≤ tk+10，否则。作为Bk，B之间的插值得到B，Bk，bare阶的B样条基函数-1和Bk+1，b-1，遵循递归公式bk，b（v）=v- tktk+b- tkBk，b-1（v）+tk+b+1- vtk+b+1- 塔卡+1Bk+1，b-1（v）。在递归中，我们需要定义假结t-k=0，tL+k=1 fork=1，b、 在我们的例子中，我们考虑b=2次的样条曲线。如果我们将[0，1]除以L个大小相等的区间，则基有L+2个函数{B-2,2，B-1,2，B0,2，B1,2，基本法-1,2}. （23）请注意，通过平移在第一个b+2=4节上定义的b样条基函数B0,2，可以获得基的所有元素。为了得到递增单调三次样条的基，我们对（23）的函数进行积分，得到一个新的基{S-2，S-1，S，SL公司-1} ，（24）其中Sk（v）='vBk，2（w）dw表示所有k=-2.L-我们对（23）的函数进行缩放，使（24）中的样条曲线是分布函数。

注意，由于（24）的构造，没有（24）的线性组合为我们提供一个常量函数。因此，我们的基需要一个元素，比如SL（v）=c，因此{S-2，S-1，S，SL公司-1，SL}，（25）是l=l+3个元素的最终基数，其中l表示其尺寸。作为一个例子，我们说明了L=5时得到的基数。从b0开始，2定义为t=0，t=1/5，t=2/5，t=3/5，精确为0,2（v）=·v[t，t）+（v（t- v） +（t- v） （五）- t） ）1[t，t）+（t- v） [t，t）我们用B0,2的分布表示，并通过平移S得到其余的单调三次样条。图1所示，维数l=8的三次单调样条的基表示为{S-2，S-1，S，S、 S}，（26），其中Sk（v）=S（v- k=-2.4和S（v）=c。由于长度过长，标题被抑制17图。1： 三次递增单调基函数。（26）定义为一个增函数和正函数的样条曲线的正标量的任何线性组合。样条曲线的畸变密度。Letbhl（v）表示单调递增密度，定义为（25）bhl（v）=LXk中l=l+3条样条线的线性组合=-2λk·Sk（v），（27），其中λk≥ 0表示所有k=-2.五十、 请注意，通过将标量设置为benon负值，bhlis将增加。然而，bhl必须在[0，1]上积分为1，因此^bhl（v）dv=LXk=-2λk·^Sk（v）dv=LXk=-2λk·nXi=1Aik=LXk公司=-2λk·ak=1，其中ik=^ini-1nSk（v）dv，ak=nXi=1Aik。（28）带样条曲线的价格。对于每个样品j=1，m、 bhlarebπ（j）=nXi=1x（j）[i]·ini的价格-1nbhl（v）dv=nXi=1x（j）[i]·LXk=-2λkAik！。（29）估算。给定按（17）、（18）或（19）计算的价格π（j），以及按（29）计算的每个样本j=1的价格，m、 我们求解最小λmXj=1（^π（j）- π（j））s.t.LXk=-2λk·ak=1λk≥ 0，k=-2.五十、 （P）18 Daniela Escobar，Georg Ch。

（28）中定义了P flu。通过求解（P）和（P）得到的估计如下所示。AV@R失真溢价。我们考虑α=0.9，0.95时hα的特殊情况。我们使用两个不同的阶跃函数（分别对应于l=8、10阶跃）和两个维度为l=8、13的不同样条线基函数来估计每种情况下的畸变密度。步骤功能。l=8，10的估计阶跃畸变BHLF通过求解（P）获得，如下所示。图2：α=0.9、0.95的真实失真密度hα以及l=8步和l=10步的各自阶跃函数估值器。样条曲线。l=8，13的估计样条曲线畸变BHLF通过求解（P）获得，如下所示。图3：α=0.9、0.95的真实畸变密度hα以及l=8和l=13样条基维数的各自样条估计量。功率失真溢价。对于这种情况，我们考虑s=0.8，3时的h（s）。我们使用与之前相同的步骤数和样条函数数来求解（P）和（P）。步骤功能。l=8，10的估计阶跃畸变BHLF通过求解（P）获得，如下所示。标题因过长而被抑制19图。4： s=0.8，3时的真实畸变密度h（s）及其相应的估计阶跃畸变（l=8，10阶）。样条曲线。l=8，13的估计样条曲线畸变BHLF通过求解（P）获得，如下所示。无花果