保险定价的扭曲原则：财产，

5： s=0.8，3的真实畸变密度h（s）及其相应的估计样条曲线畸变，l=8，13样条曲线基尺寸。下表显示了所有情况下优化问题的最优值。AV@Rα=0.9α=0.95步骤l=8 7.3248 107.1562步骤l=10 0 58.4835样条曲线l=8 0.0322 13.0785样条曲线l=13 0.0154 0.0502功率s=0.8 s=3步骤l=8 0.0012 1.1466e-04步骤l=10 0 5.1772e-05样条曲线l=8 3.6976e-04 0样条曲线l=13 1.3251e-04 0表1：问题（P）和（P）的最佳值theAV@R-失真和功率失真。20 Daniela Escobar，Georg Ch.P flug6歧义在本节中，我们将失真溢价与歧义原则相结合。这种方法允许我们将模型不确定性纳入到Premium中。回想一下，通过将失真密度设置为h=1，我们将仅使用模糊性原则进行定价。如第1节所述，距离可用于定义歧义集。这里，闭合的Wasserstein球将用作歧义集。这些集合将以F为中心，这是一个初始分布，我们称之为基线模型。定义2（Wasserstein-ballswith d下的稳健失真溢价）设F为基线损失分布，h为失真密度。订单r价格扭曲≥ 1是πh、 r，d（F）=sup{πh（G）：G∈ Br，d（F，)}, （P-r）式中，Br，d（F，) = {G:W Dr，d（G，F）≤ }. 我们称之为最坏情况分布，并用F表示*如果F*∈ Br，d（F，) 就是πh、 r，d（F）=πh（F*).备注8注意，对于r≤ rW Dr，d≤ W Dr，d，（30）因此Br，d Br，d。如果我们选择r=P，我们可以说更多关于（P-r）的值和解。我们从有界畸变密度开始，即。

对于p=1和q=∞.命题7（R的最坏情况分布特征≥ p=1）让基线分布F有其第一时刻的定义。（i） 如果h是无界的，则r=1的（P-r）是无界的。（ii）如果h以supvh（v）=khk为界∞, 那么（P-r）对于所有r都有界≥ 1、如果r=1，（P-r）的最佳值为πh、 1，d（F）=πh（F）+ · khk公司∞.我们解释附加术语 · khk公司∞作为歧义溢价。对于最坏情况分布，如果h（v）=khk∞对于v≥ 1.- η和0<η≤ 1，则最高值为atF*η（x）=F（x）x<F-1(1 -η),1 -ηF-1(1 -η) ≤ x<F-1(1 -η) + /η、 F（x-/η） x个≥ F-1(1 -η) + /η.– 否则，无法获得上确界，但可以用序列F来近似*1/n（x），n∈ N、 标题因长度过长而被抑制21Proof（i）鉴于h是递增且无边界的，递增序列kN=h（1-1/n），即limn→∞Kn=∞. 适用于所有n∈ 我们确定了分配，以便-1n（v）=F-1（v）+ · n 1[1-1/n，1]。B1、d（F、，) πh（Gn）=πh（F）+ · n^1-1/nh（v）dv≥ πh（F）+ 千牛。因此，（P-r）对于r=1是无界的。（ii）由于B1，d，证明（P-r）对于r=1有界是足够的 Br、D适用于所有r≥ 1（见备注8）。r=1的任何可容许G都可以写成G-1（v）=F-1（v）+G-1（v），其中G-1（v）dv≤ . 由于F有其第一阶矩定义，因此以下上界是有限的：πh（G）=πh（F）+^G-1（v）h（v）dv≤ πh（F）+ · khk公司∞.

（31）分配F*命题中给出的η（x）具有逆（F*η)-1（v）=F-1（v）+η[1-η,1].因此，F*η在B1，d（F，) 和πh（F*η) =^F-1（v）+η[1-η,1]h（v）dv=πh（F）+η^1-ηh（v）dv。如果h（v）=khk∞对于v≥ 1.- η、 然后是F*η达到（31）中的上限。否则，F*1/n从下方移动到最大值，因为（F*1/n）-1（v）=F-1（v）+ · n1[1-1/n，1]和πh（F*1/n）=πh（F）+ · n^1-1/nh（v）dv↑ πh（F）+ · khk公司∞.备注9解决方案F*命题7中的η不是唯一的。任何分布▄Fη，使得▄F-1η（v）=F-1（v）+η·k（v）1[1-η、 1]，η·k（v）1[1-η、 1]密度[0，1]达到最大值。作为示例，我们说明了AV@R保险费22 Daniela Escobar，Georg Ch.P flugfig。6： 最坏情况分布F*α=0.9的hα的η是通过将F从xα，a长度/η、 其中xα=F-1（α）和η=1- α.如果h是无界的，我们可以如下描述（P-r）的解。命题8（R的最坏情况分布特征≥ p>1）让基线分布F有明确的p-时刻。如果h∈ Lq，则（P-r）对r有界≥ p、 如果r=p，（p-r）的最佳值为πh、 p，d（F）=πh（F）+ · KHKQ。在这种情况下，术语 · khkqqis被解释为歧义溢价。此外，最坏情况分布F*对于r=P，of（P-r）等于f*-1（v）=F-1（v）+ ·h（v）| | h | | q证明我们证明（p-r）对于r=p有界，并且通过备注8我们对于所有r都有界≥ p

注意，对于所有可容许的G，如果r=p，我们有^G-1（v）h（v）dv≤^F-1（v）h（v）dv+^| G-1.- F-1 | h（v）dv≤ πh（F）+^| G-1.- F-1 | pdv1/p | | h | | q≤ πh（F）+ · ||h | | q.F*是可容许的，因为它位于Bp，d（F，)W Dp，d（F，F*) =^p·h（v）| | h | | qqdv公司1/p=,和F*达到上界πh（F*) -πh（F）=^ ·h（v）| | h | | qq/ph（v）dv= ·^h（v）q | | h | | q-1qdv= · ||h | | q。在h上的某些条件下，我们还可以在h不在Lq的情况下，证明r>P>1的（P-r）的无界性，其中q是P的共轭，F的有限矩。标题因篇幅过长而被抑制23提案9（r>p>1的无界性）让基线分布F具有有限的p-时刻，让h/∈ Lq，对于p，q共轭和r>1的r，s共轭。如果存在s<s，则h（v）sdv=∞ 和h∈ Lt，对于所有t<s，则（P-r）对于所有r>P是无界的。证明定义ψη（v）=h（v）s-1[1-η,1]. 自ψη起∈ r>1时的LR（注意r（s- 1） <s），存在0<η<1，使得^ψη（v）rdv=^1-ηh（v）r（s-1） dv<.因此，分布Gη使得G-1η（v）=F-1+ψη（v）在Br，d（F，).其溢价为无界πh（Gη）=πh（F）+ψη（v）h（v）dv=πh（F）+^1-ηh（v）s>∞.备注10如果不考虑指标dwe，而考虑dp（x，y）=xp- yp |作为瓦塞尔斯坦距离的一个基本度量，我们可以定义模糊性原则πh、 1，dp（F）=sup{πh（G）：G∈ B1，dp（F，)}, （P-dp），其中Br，dp（F，) = {G:W Dr，dp（G，F）≤ }. 很容易看出，如果F搭扣-球的矩约束使得所有容许分布也具有p-因此，对于命题3，如果h∈ Lq，则（P-dp）有界。此外，关于此Wasserstein距离的连续性意味着我们在第3.7节结论中的连续性结果在介绍了一般溢价原则后，我们提出了畸变溢价的推广。

此外，我们还详细研究了失真溢价的三种函数关系——溢价函数F 7→ πh（F），即π的性质有一个前提原则，即直接函数h 7→ πh（F），即对畸变密度的依赖性，逆函数πh（F）7→ h、 平滑特性对于鲁棒性方面很重要，但众所周知，非常平滑的直接函数会使逆问题变得困难。然而，我们证明了反问题是可识别的，我们给出了一个简单的二次优化问题来根据经验数据进行估计。我们在模拟研究中成功地说明了这一点，实际数据的应用有待进一步研究。我们还将Wasserstein balls的模糊前提确定为模糊集，在某些情况下，模糊集提供了最坏情况分布的特定公式。事实证明，多义性的额外前提24 Daniela Escobar，Georg Ch.P flug取决于畸变函数h，并以乘法方式取决于多义性半径, 但并不是关于损失分布本身。Thusit对于所有合同都是一样的，可以单独计算。最后，通过使用不同的距离作为Wassersteinball的基本度量，因此，对于模糊集，我们可以找到robustpremium总是有界的界限。参考文献1。Artzner，P.和Delbaen，F.和Eber，J.M.和Heath，D.，《一致性风险度量，数学金融》，9，3203–228，威利在线图书馆，（1999）2。Borch，K.，《应用于保险理论的效用概念》，ASTIN Bulletin:TheJournal of The IAA，1，5245–255，剑桥大学出版社（1961）3。Denneberg，D.，《保费计算：为什么标准偏差应该被绝对偏差取代》，ASTIN公告，20，2，181190，（1990）4。

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最后，根据次微分，我们得到一个双重代表r（X）=supY∈L{E（X·ZY）-^[ν（AV@Rα（Y））AV@Rα（Y）- ν（AV@Rα（Y））]k（α）dα}，其中zy由（33）给出。众所周知（见P flug和R¨omisch 2007[18]），只有当^[ν（AV@Rα（Y））AV@Rα（Y）时，R才是正均一的- ν（AV@Rα（Y））]k（α）dα=0，当其为有限时。这意味着对于某些γ>0的情况，ν（x）=γ·x。R是平移等效变量，如果另外，对偶乘法器zy的期望值为1，则仅当'γk（α）dα=1时才会发生。关于瓦瑟斯坦距离的不同基本指标。R上有一系列距离，它们是x，y的d集的推广≥ 0，dp（x，y）=xp-yp |。1阶Wasserstein距离，距离dpisW D1，dp（F，G）=^|（F-1（v））p- （G）-1（v））p | dv。引理1注意，对于p≥ 1W Dp，d（F，G）≤ [W D1，dp（F，G）]1/p。用x 7的次可加性证明→ xpon R≥0一个有| x-y | p≤ |xp系统-yp |及其前Dp、d（F、G）=^∞|F-1（v）-G-1（v）| pdv1/p≤ [W D1，dp（F，G）]1/p。备注11该论点还表明，如果F有明确的p-力矩和ifW D1，dp（F，G）<∞ （如果WDp，d（F，G）<∞), 那么G也有明确的p-时刻。另一方面，如果F和G都有明确的p-力矩，然后D1，dp（F，G）≤ p·W Dp，d（F，G）（1+kF-1公里-1便士+千克-1公里-1p）（见引理2.19 in【17】）。因此，对W D1、dpor、W Dp、dleads施加条件的结果非常相似。