保险定价的扭曲原则：财产，

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英文标题：
《The distortion principle for insurance pricing: properties,
  identification and robustness》
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作者：
Daniela Escobar and Georg Pflug
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Distortion (Denneberg 1990) is a well known premium calculation principle for insurance contracts. In this paper, we study sensitivity properties of distortion functionals w.r.t. the assumptions for risk aversion as well as robustness w.r.t. ambiguity of the loss distribution. Ambiguity is measured by the Wasserstein distance. We study variances of distances for probability models and identify some worst case distributions. In addition to the direct problem we also investigate the inverse problem, that is how to identify the distortion density on the basis of observations of insurance premia.
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中文摘要：
扭曲（Denneberg 1990）是保险合同中众所周知的保费计算原则。在本文中，我们研究了失真泛函w.r.t.的敏感性性质、风险规避假设以及损失分布的鲁棒性w.r.t.模糊性。模糊度由瓦瑟斯坦距离来衡量。我们研究了概率模型的距离方差，并确定了一些最坏情况分布。除了直接问题外，我们还研究了逆问题，即如何根据保险费的观测值识别畸变密度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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PDF下载：
--> The_distortion_principle_for_insurance_pricing:_properties,_identification_and_r.pdf (535.41 KB)

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关键词：distribution R statistics Quantitative observations Applications

Noname手稿编号（将由编辑插入）保险定价的扭曲原则：属性、识别和稳健性Daniela Escobar·Georg Ch.P flugreceived:2018年2月27日/已接受：dateAbstract扭曲（Denneberg 1990）是保险合同的著名保费计算原则。在本文中，我们研究了失真泛函的灵敏度性质w.r.t.风险厌恶的假设以及损失分布的鲁棒性w.r.t.模糊性。模糊度由瓦瑟斯坦距离来衡量。我们研究了概率模型的距离方差，并确定了一些最坏情况分布。除了直接问题之外，我们还研究了逆问题，即如何根据保费的观测值来识别畸变密度。关键词歧义·扭曲保费·双重代表·保费原则·风险度量·瓦塞尔斯坦距离1简介保险业务的功能是承担客户损失的风险，金额固定，称为保费。保险费必须比预期损失大，否则保险公司就有可能破产。保费与预期之间的差异称为风险保费。有几个原则，从中可以根据损失分布计算保险费。设X为（非负）随机损失变量。传统上，保险费是一个函数，π：{X≥ 0定义日期(Ohm, F、 P）}→ R≥我们是维也纳大学的Daniela EscobarunUniversity。澳大利亚维也纳奥斯卡莫尔根斯坦广场1号统计与运筹学部（ISOR），邮编：1090，邮编：daniela。escobar@univie.ac.atGeorgCh.P Flugisor和国际应用系统分析研究所（IIASA），奥地利拉森堡。电子邮件：georg。p层ug@univie.ac.at2Daniela Escobar，Georg Ch。

与仅依赖于损失随机变量分布的泛函（有时称为定律不变性或版本独立性，Young 2014【33】）进行比较。如果X具有分布函数F，我们使用符号π（F）表示相关的保险费，E（F）表示F的期望值。我们也可以分别使用符号π（F）或π（X）。E（F）或E（X），如果更方便。在本文的范围内，对于保费的特定情况，使用了更具体的符号。我们考虑以下基本定价原则：–失真原则（Denneberg 1990[3]）确定性等效原则（v Neumann和Morgenstern 1947【25】）。-歧义原则（Gilboa和Schmeidler 1989【7】）。-之前的组合（例如Luan 2001[15]）。畸变原理。变形原理与应力测试的理念有关。原始分布函数F被修改（扭曲），保费是修改后分布的期望值。如果g：[0，1]→R是一个凹单调递增函数，其性质为g（0）=0，g（1）=1，则扭曲分布fg由fg（x）=1给出-g（1- F（x））。函数g称为畸变函数，h（v）=g（1-v） ，g是g的导数，是畸变密度。注意，h是[0，1]中的腺苷酸。我们用H（u）='uh（v）dv表示畸变分布。因为假设意味着g（x）≥ x代表0≤ x个≤ 1，前景≤ F，即Fgis一阶随机大于F。畸变溢价是Fgπh（F）=^的期望值∞g（1-F（x））dx≥^∞(1 -F（x））dx=E（x）。通过一个简单的积分变换，可以很容易地看到，溢价可以等效地写为πh（F）=^F-1（v）h（v）dv=^V@Rv（F）h（v）dv，（1）其中V@Rv（F）=F-1（v），分位数函数。注意，这种形式的函数称为L-估计（Huber 2011【11】）。

如果随机变量凹函数的导数是a.e.定义的，即使它不是处处可微的。一阶随机大于Fif F（x）≤ F（x）对于所有x。由于长度3X取负值过多，所有权被抑制，我们通常可以将溢价定义为阿乔奎特积分πh（F）=^-∞g（1-F（x））- 1 dx+^∞g（1-F（x））dx。（2） 原则上，任何单调且满足g（u）的畸变函数≥u是畸变函数的有效基础。然而，g的凹度保证了相关畸变密度h的增加，这在保险应用中反映了这样一个事实，即风险分布的分位数越高，搁置风险资本的成本就越高。非减量畸变函数导致非负畸变密度，其结果是πh（F）≤ πh（F）当nver Fis随机大于F时。放松g的单调性假设通常会违反单调性w.r.t.第一随机阶。失真函数示例。广泛使用的畸变函数gresp。相关的畸变密度h是指指数为s的功率畸变。如果0<s<1，则g（s）（v）=vs，h（s）（v）=s（1）-v） s-1.（3）保费称为比例风险变换（Wang 1995[27]），计算公式为πh（s）（F）=^∞1.-F（x）sdx=s^F-1（v）（1）-v） s-1伏。（4） 如果s≥ 1，那么我们取g（s）（v）=1-(1 - v） s，h（s）（v）=svs-1.（5）保费为πh（s）（F）=^∞1.-(1 - F（x））sdx=s^F-1（v）vs-1伏。（6） 如果我们考虑整数指数，保费有一个特殊的表示。命题1设X（i），i=1，n是随机变量X的独立副本，则具有整数次幂s的功率失真溢价具有πh（s）（X）=E最大{X（1），…，X（s）}.证明设F为X的分布。

整数次幂s的功率失真溢价由（5）中的g（s）和定义πh（s）（F）=^计算得出∞g（s）（1）-F（x））=^∞1.-F（x）sdx。该断言源自随机变量max{X（1），…，X（s）}的分布函数为F（X）s这一事实。4 Daniela Escobar，Georg Ch.P flugfinally，请注意，畸变密度为s≥ 1，但对于0<s<1，则为无界Wang畸变或Wang变换（Wang 2000[26]）g（v）=ΦΦ-1（v）+λ, h（v）=φ（Φ-1(1 -v） +λ）φ（Φ-1(1 -v） ），λ>0，其中Φ是标准正态分布，φ是其密度这个AV@R（平均风险值）畸变函数和密度aregα（v）=minv1-α, 1, hα（v）=1-αv≥α、 （7）其中0≤ α < 1. 相关保费有不同的名称，如条件尾部预期（CTE），CV@R（条件风险价值）矿石（预期短缺）（Embrechts等人，1997年[4]）。溢价为πhα（F）=^∞最小值1.-F（x）1-α, 1dx=1-α^αF-1（v）dv。（8） –分段恒定畸变密度。保险业也使用了不断增加的畸变函数。例如，大型再保险公司使用以下失真函数。v h（v）v h（v）[0,0.85]0.8443[0.988,0.992）3.6462[0.85,0.947）1.1731[0.992,0.993）4.0572[0.947,0.965）1.4121[0.993,0.996）6.5378[0.965,0.975）1.7335[0.996,0.996）12.7020[0.975,0.988）2.4806[0.996,1]14.9436页。有关h的不同选择以及不同分布族的更多示例，请参见Wang 1996【28】和Furmann and Zitikis 2008【6】。确定性等效。设V是一个凸的严格单调二效用函数。确定性等价保费是V（π）=E（V（X））的解，即通过将保费的非效用与损失的预期非效用相等而获得。保险费如下所示πV（F）=V-1（E（V（X）））=V-1.^VF-1（v）dv.由Jensen不等式πV（F）≥ E（F）。

不可用性V的示例是s的电源实用程序V（x）=XS≥ 1或指数效用V（x）=exp（x）。纽曼/摩根斯特恩（Neumann/Morgenstern）提出的效用函数的最初概念是一个单调的U，这样决策者就可以最大化一个利润变量Y的期望E（U（Y））。通过设置v（u）=-U型(-u） 。由于与该溢价相关的长度5过长，所有权被抑制，可以只考虑预期值并计算预期的非效用（Borch 1961[2]），获得π（F）=E（V（X））。（9） 关于CEQ溢价的推广，请参见Vinel和Krokhmal 2017【24】。歧义原则。设F为一系列分布，其中包含“最可能”损失分布F。模糊保险费为πF（F）=sup{E（G）：G∈ F} 。F称为模糊集。在另一种等效符号中，歧义溢价由πQ（X）=max{EQ（X）：Q给出∈ Q} ，（10）其中Q是一系列包含基线模型P的概率模型。最大化中的函数不需要是期望值，但可以是一般的，参见Wozabal 2012【30】、Wozabal 2014【31】、Gilboa and Schmeidler 1989【7】和我们的第6节。备注1在1989年的开创性论文中，Gilboa和Schmeidler[7]给出了扩展效用函数的公理化方法{EQ（U（Y））：Q∈ Q} ，其中U是一个效用函数，Y是一个利润变量。

对于保险案例，U应替换为双效用函数V，Y应替换为损失变量X，从而得出等效表达式max{EQ（V（X））：Q∈ Q} 。到（10）的链接是显而易见的，可以将其视为expecteddisutility（9）和歧义的组合。备注2回顾金融市场中衍生工具的基本定价公式，该公式指出，可以通过最大估计的预期收益来获得价格，其中最大值是在所有概率度量中获得的，这使得基础的贴现价格成为鞅。这可以看作是一个模棱两可的价格。歧义溢价的特点是选择歧义集F。原则上，这个集合可以任意给定，只要它包含F。凸Premium泛函有一个对偶表示，它也是一个模糊泛函的形式。对于畸变泛函，这将在下一节中进行说明。模糊度溢价价格的其他重要示例可以通过概率分布的距离来确定。设D为此类距离，则模糊集由F={G:D（F，G）给出≤ },6 Daniela Escobar，Georg Ch.P flugwith fulligence premiumπD（F）=最大值{E（G）：D（F，G）≤ }.我们打电话 模糊半径。这个半径不仅量化了风险溢价，还量化了模型的不确定性，因为实际分布通常不确切，我们只有一个基线模型F。在我们的第6节中，基于Wasserstein距离W D的webase模糊度模型。组合模型。

Luan 2001【15】通过定义根据fg和设置πVh（F）=V分布的变量W，引入了扭曲和确定性等价溢价的组合-1（E[V（W）]）=V-1.^VF-1（v）h（v）dv.请注意（Fg）-1（v）=F-1(1 -g级-1(1 -v） ）。更一般地，还可以对模型添加歧义并设置πV，h（F）=sup五、-1.^VG-1（v）h（v）dv: D（F，G）≤ . （11） 请注意，（11）通过设置以下一些参数sh（v）=1，v（v）=v，包含所有以前的定义， = 如果所有参数都是这样设置的，我们将恢复预期。我们还可以考虑预期的无用度溢价（9），并将其与畸变溢价结合起来，即^V（F-1（v））h（v）dv=E[v（W）]。第6节将专门研究扭曲和模糊溢价的组合。至于表示法，我们用lp表示所有随机变量的空间，所有p的p-范数都是有限的≥ 1kXkp=[E（| X | p）]1/p，分别为。kXk公司∞= ess sup（| X |），基本上确界。对于[0，1]上的任何实值函数，都使用相同的符号，如果1/p+1/q=1，p和q是共轭的。标题因篇幅过长而被抑制72失真溢价和概括对失真溢价的表征和再现进行了详尽的研究。在一些最经典的贡献中，我们提到了Yaari 1987年的对偶理论[32]；Wang等人1997年[29]提出的thispremium的公理表征，其中0<s<1的功率失真也以独特的方式表征。下文将概述其他知识介绍和该保费的新概括。回想一下，任何映射X 7→ π（X）是一种风险度量，它是单调的、凸的和全翻译等变量。此外，如果π也是正均质性、单调w.r.t.第一个随机顺序和次加性，则它是一个一致的风险度量（Artzner等人，1999年[1]）。

畸变溢价充分体现了所有这些属性，因此由Fenchel Moreau RockefellarTheorem设计，具有双重代表性。定理1（见P flug 2006[19]）畸变溢价与畸变密度h的对偶表示由πh（X）=sup{E（X·Z）：Z=h（U）给出，其中U均匀分布在[0，1]}。注意，定理1中所有可容许的Z都是[0,1]上的密度，因为h≥ 0和E（h（U））=1。不同的是，如果X定义为(Ohm, F、 P）和letQ是(Ohm, F） 这样密度dqdphas分布函数H，畸变分布，然后πH（X）=sup{EQ（X）：Q∈ Q} 。因此，每个失真溢价都可以看作是以Q为模糊集的模糊溢价。让我们更详细地了解AV@R保险费在这种情况下，对偶表示专门用于πhα（X）=sup{E（X·Z）：0≤ Z≤1.-α; E（Z）=1}。从前面的表示中，我们可以看到AV@R-畸变强度hα是所有畸变密度凸集的极值。这一事实意味着任何失真溢价都可以表示为混合物ofAV@R年代，这种表述被称为Kusuoka表述（Kusuoka2001【14】，Jouini等人，2006【12】）。一致风险的Kusuoka表示形式为π（F）=supK∈K^AV@Rα（F）dK（α），其中K是[0,1]中概率测度的集合。特别是，对于畸变溢价，我们有以下结果（P flug/R–omisch 2007[18]）。如果π（X+c）=π（X）+c，对于c，π具有平移等变性∈ R、 如果π（X+Y），则溢价π称为次可加的≤ π（X）+π（Y）。次可加性和正齐性意味着凸性。8 Daniela Escobar，Georg Ch。

P flu定理2任何畸变溢价都可以写成πh（F）=^AV@Rα（X）dK（α）。混合物分布K由h如何表示为AV@R-畸变密度，即h（v）=^v1-αdK（α）。纯洁的AV@R通过设置K（α）=Δβ，β处的Diracmeasure，β包含在此类中。此外，对AV@R对于K（α）=α，获得’s，并定义为^AV@Rα（F）dα=^F-1（v）[-日志（1- v） ]dv，如果存在积分。备注3 Greselin和Zitikis 2018【10】研究了畸变溢价的其他一些推广，其中他们考虑了一类泛函(AV@Rα（X），AV@R（十） ）dα，其中ν（·，·）是一个可积函数，表明基尼指数和邦费罗指数都属于这一类。这些推广导致了不平等度量，而不是风险度量。作为畸变溢价的相关推广，可以考虑r（X）=^ν(AV@Rα（X））k（α）dα，（12）对于[0,1]上的一些凸单调Lipschitz函数ν和一些非负函数k。很明显，R（X）是凸的和单调的，但在一般情况下既不是正齐次的，也不是平移等变的，除非ν是它们的同一性（参见附录中的证明）。据我们所知，形式（12）的函数不用于保险部门。关于这一点和其他一些概括，请参见Goovaerts et al.2004【8】和Furman and Zitikis2008【6】的论文。3溢价的连续性w.r.t.瓦瑟斯坦距离在本节中，我们研究了畸变溢价相对于基础分布的敏感性特性。本节中的一些结果与thosein Pichler 2013【21】、P flug and Pichler 2014【17】和Kiesel et al.2016【13】有关。Furman等人研究了可变性度量连续性的类似结果。2017 [5].