关于Black-Scholes价格和套期保值参数的展开式

)而不是垂直线m=1，2。或水平线n=0，1。II剩余求和8命题2。对于任意整数j≥ 1，Z2jД2jkZ公司=kjj！（34）证明。通过定义Д2j，我们得到了Д2jkZ公司=2j-1.∑n=0(-1） nn！Γ（j+1- n）1.-kZ公司n（35）由于分母中的伽马函数对于负整数是有限的，因此n=j之后的所有项都会消失，因此总和c可以写为：Д2jkZ公司=j∑n=0(-1） nn！Γ（j+1- n）1.-kZ公司n（36）=j∑n=0n！（j）- n） 哦！kZ公司-1.n（37）=j！kjZ2j（38）根据二项式定理。定理2。欧式看涨期权的B-Lack-Scholes价格为：C=（S- F） +F∑j≥0n≤2jZ2j+1(-1） nn！Γ（+j-n）1.-kZ公司n（39）证明。让我们写下C=F“∞∑j=1Z2jД2jkZ公司+∞∑j=0Z2j+1х2j+1kZ公司#（40）=F“（ek-1) +∞∑j=0Z2j+1х2j+1kZ公司#（41）其中，我们使用命题2来计算第一笔金额。回顾ek=SfandSimplifingyields公式（39），公式（3-9）不如公式（16）紧凑，但可能更适合实际应用。值得注意的是，它紧跟着调用put奇偶校验C- P=S- F，Black-Scholes put由以下公式得出：P=（F- S） +F∑j≥0n≤2jZ2j+1(-1） nn！Γ（+j- n）1.-kZ公司n（42）II剩余和9In（43）我们将展开式（3 9）记为Z阶：C=（S- F） （43）+F“ZΓ（）+ZΓ（）-Γ()1.-kZ公司+2Γ()1.-kZ公司!+ ZΓ（）-Γ()1.-kZ公司+2Γ()1.-kZ公司-6Γ()1.-kZ公司+24Γ(-)1.-kZ公司!+ ···注意，（39）中涉及的伽马函数值实际上是分析已知的，这是函数关系Γ的结果+ j- n=+ j- nΓ+ j-n（44）和伽马函数的p值的t半整数[1]：Γ+ j- n=（2（j- n） ）！j- n（j- n） 哦！√π（j- n≥ 0)(-4） | j-n | | j- n |！（2 | j-n |）！√π（j- n<0）（45）因此，这些术语的评估恢复到fa c torial的计算，无需复杂的工具即可轻松完成。

此外，如图3和下一小节中确定的边界所示，只需要序列（39）中的几个项就可以获得布莱克-斯科尔斯公式（6）的非常精确的近似值。图3：通过Black-Scholes公式（6）和系列公式（39）得出的价格之间的比较，在K=4000、r=1%、σ=20%和τ=1Y时，jmax=5（左图）或jmax=10（右图）截断d。可以观察到，对于各种各样的价格（app roximatelyS∈ [2500，650 0]），将序列（39）截断为jmax=5，以复制BlackScholes公式是足够的。将条款数量增加到jmax=10，将收敛范围扩大到更深入的资金内外情况。III收敛速度10III。收敛速度建议3。设α：=最大值1.1.-kZ公司. 然后，级数（39）的一般项有界（在n中一致）为Z2j+1(-1） nn！Γ（+j-n）1.-kZ公司n≤Z√π（αZ）2j(j+ 1)!（46）证明。设Rj，n：=(-1） nn！Γ（+j-n） 。我们有：Z2j+1(-1） nn！Γ（+j- n）1.-kZ公司n≤ Z2j+1Rj，nα2j（47）关于n的导数，很容易看出Rj，nis在n=j+ 1:Rj，n≤Rj，j+1.=(j+ 1)!Γ（+j- j)（48）As x→ Γ（+x）在x>0时增长，我们有Γ+ j-j≥ Γ=√π结束了证明。因此，如果我们希望在s系列表示法（39）中获得精确度为的tta，我们只需要找到整数j，如z√π（αZ）2j(j + 1)!< （49）在每条j线上，有（2j+1）项需要求和，因此，为达到所需精度，需要考虑的项总数为：j∑j=0（2j+1）=（j+1）（50）在表2中，我们将Mj定义为（49）的l.h.s.，并定义了一组典型的市场参数（s=4200，K=4000，σ=20%，r=1%，τ=1Y）。

我们计算j的Mj值≥ 2并推导出达到的精度以及达到多少项后的精度。jMj获得精度（）术语总数（j+1）2 0.0002258 10-23 0.0000170 10-34 4.27 ×10-7.-65 3.21 ×10-8.-76 6.03 ×10-10-97 4.54 ×10-11-10Ta b le 2：确定界限Mj（参数选择：S=380 0，K=4000，r=1%，σ=20%，τ=1Y）。只有16个任期才能获得10个任期-3，10为64-10精度。在表3中，我们以下三角（j，n）-矩阵的形式绘制了序列表示（39）的第一项（矩阵的第一项是（S- F） 一组类似的参数。III近似值和对冲参数11（j，n）条款0 1 2 3 4 5 6 7119.9000 315.978 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4.213 12.257 5.943 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 4.213价格119.900 440.2125 452.546 458.73 458.81 458.792 458.792 458.792 458.792 458.792Ta b le 3：包含期权价格系列（39）中（j，n）项的数值（S=4200，K=4000，r=1%，σ=20%，τ=1Y）。认购价格收敛到的精度为-3在对级数中的极少数项求和之后。三、 近似值和对冲参数。按货币价格，如果S=F（因此k=0），则称资产为货币远期。在这种情况下，系列（39）变为ScatMF=S∑j≥0n≤2j(-1） nn！Γ（+j-n） Z2j+1（51）这个级数现在是Z的正幂级数。它从n=0，m=1开始，如下所示：CATMF=SΓ（）Z+O（Z）（52），回顾Z=σ√τ√还有那个Γ（）=√π[1]，我们得到catmf=S√2πσ√τ+O（（σ√τ） ）（53）作为：√2π 0.399 因此，我们恢复了著名的Brenner-Subrahmanyam近似值[4]：CATMF 0.4 Sσ√τ（55）II。