关于Black-Scholes价格和套期保值参数的展开式

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英文标题：
《On expansions for the Black-Scholes prices and hedge parameters》
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作者：
Jean-Philippe Aguilar
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We derive new formulas for the price of the European call and put options in the Black-Scholes model, under the form of uniformly convergent series generalizing previously known approximations. We also provide precise boundaries for the convergence speed and apply the results to the calculation of hedge parameters (Greeks).
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中文摘要：
在Black-Scholes模型中，我们导出了欧式看涨期权和看跌期权价格的新公式，其形式为一致收敛级数，推广了先前已知的近似值。我们还提供了收敛速度的精确边界，并将结果应用于对冲参数的计算（希腊语）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> On_expansions_for_the_Black-Scholes_prices_and_hedge_parameters.pdf (302.89 KB)

2022-6-10 18:33:30 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes Black 套期保值

论文o2018年12月10日（2019年3月19日修订），关于Black Scholesprices和对冲参数的扩张Jean Philippe AguilarBRED Banque Populaire，建模部，18 quai de la–pée，Paris-75012jean Philippe。aguilar@bred.frAbstractWe在Black-Scholes模型中，以一致收敛级数的形式推广先前已知的近似值，推导出欧洲看涨期权和看跌期权价格的新公式；这些系列是通过多维复杂度分析工具获得的。我们还提供了收敛速度的精确边界，并将结果应用于对冲参数的计算（希腊语）。关键词-期权定价、布莱克-斯科尔斯公式、对冲参数、风险敏感性、序列扩展、梅林变换、多维复杂分析。简介在资本市场中，衍生工具是一种金融工具，其特定性与另一种基础工具（如资产、指数或利率）相关联；市场参与者进行交易，将后一种工具的风险从一方转移到另一方【13】。在最常见的交易衍生品中，有欧洲看涨期权（resp.put），该期权赋予持有人在合同到期时以约定金额购买（resp.sell）标的物的权利，称为罢工价格（strikeprice）[20，11]。为了评估期权本身，因此有必要对基础市场的动态进行建模；从业者中最流行的解决方案是使用Black-Scholes框架[5]，其中假定基础价格的对数回报率由几何布朗运动描述。

即使从那时起引入了更为复杂和现实的模型（例如，见[12]和其中的参考文献），Black-Scholes模型仍然是交易员和金融工程师最常用的模型，因为它引入了一种分析解决方案，即Black-Scholes f公式，该公式允许以市场参数表示欧洲的买入价格。推导Black-Scholes公式的方法有多种（文献[3]中描述了八种不同的推导，教科书[21]中甚至有十种），其中最著名的是求解Black-Scholes偏微分方程（PDE）。该偏微分方程通常通过hedgingargument结合初等随机演算（这是Black和Scholes在其开创性论文[5]中使用的原始推导）获得，但也可以作为二项式模型[6]的一个限制性案例，或通过使用资本资产定价模型（C APM）（例如，参见[3，15]）。对于非PDEapproaches，让我们提及概率推导，例如鞅技术，尽管它失去了与套期保值论证的直接联系，但它提供了Black-Scholes公式在风险中性概率方面的精确解释【11，14】，或纯粹的经济方法，如Rubinstein引入的“代表投资者”【16】。在本文中，我们将记录一个新的推导，基于选项p rice作为C域上的复积分的表示（通过Black-Scholes PDE的格林函数的适当变换获得）。

这种方法是富有成效的，因为通过多维残数评估这个复积分，我们得到了看涨期权和看跌期权的priceII定价公式2的级数展开式，其结果是简单且快速收敛的；这些扩张恢复了一些非常特殊的市场配置中已知的现有ap Proximation（当资产处于-货币远期时，很容易将p和Black-Scholes公式作为市场波动率的幂级数进行换算[4]）。此外，它们是无条件且统一的，这不会是具有天真泰勒展开式的情况：正如Estrella在[8]中所注意到的那样，Black-Scholes公式混合了两种性质截然不同的成分（对数函数，其展开式收敛速度非常快，但仅适用于小范围的参数；正态分布，其展开式收敛于整个实轴，但精度较低），导致在p参数值的合理范围内，布莱克-斯科尔斯价格的泰勒级数存在分歧。本文的组织结构如下。在第2节中，我们首先将期权价格记为双倍复积分，并借助C中的剩余理论对其进行评估。这将使我们能够以简单系列（16）的形式表达看涨期权价格，该系列将被重新定义为另一个系列（39），更清楚地显示其财务含义；最后，我们证明了期权价格的指数收敛性。

在第3节中，我们对货币配置的具体情况进行了预测（39），并计算了对冲参数（称为“希腊字母”）的s系列扩展，这些参数衡量期权对市场参数变化的敏感性。在结论部分之后，为了读者的方便，我们为论文配备了一个附录，总结（无需证明）本文中使用的多维复杂分析的主要概念。二、定价公式从引入一些常见的财务符号开始。在以下所有情况中，T将是一个正实数，S将代表金融工具的市场价格（更准确地说，{St}T∈[0，T]将是过滤概率空间上的随机过程(Ohm, F、 P））。C表示S上的欧式看涨期权的价格，到期日为T，行权为K∈ R、 对于多维复杂分析符号，我们将用Cby u表示向量=uu公司,u、 u型∈ C我们还将使用标准楔形符号表示微分形式，它具有属性[10]：du∧ du=-杜邦∧ 嘟嘟∧ du=0（1），我们将表示du：=du∧杜。一、 在Black-Scholes模型中，假设在一定测度下，S的瞬时变化由漂移r的几何布朗运动驱动∈ R（无风险利率）和波动率σ>0（代表未到期资产回报的波动率）。使用It^o演算，可以证明看涨期权价格C服从具有终端条件的Black-Scholes PDE：Ct+σSCS+rSCS- rC=0吨∈ [0，T]C=最大{S- K、 0}：=[S- K] +t=t（2）I买入价格作为复积分3（2）的解可以写成热核与修改后的终端收益的卷积：C=e-rτ+∞Z-∞[Se（r-σ） τ+y-K] +σ√2πτe-y2στdy（3），其中τ=T- t。

热核的存在是因为，在变量发生可测量变化的情况下，Black-Scholes偏微分方程恢复到热方程（例如，参见[20]中的全部细节）：Wτ-σWx=0（4），其中C=e-rτW。现在让我们介绍波动率z、远期履约价格F和对数远期货币性k：z：=σ的符号√τF：=Ke-rτk：=logSF=logSK+rτ（5）对积分（3）进行基本运算，得到Black-Scholes公式，在我们的符号系统中，该公式为：C=SNkz+z- FN公司kz公司-z= FekN公司kz+z- Nkz公司-z（6） 其中N（.）是标准正态累积分布函数。我们的目的是以一个简单且快速收敛的级数的形式，为Black-Scholes公式（6）提供一个替代公式。为此，让我们首先将所有期权价格（3）表示为C.命题1中adomain的积分。让P Cbe多面体P：={t∈ C、 Re（2t+t）>2，0<Re（t）<1}。那么，对于任何c∈ P、 C=FZc+iR(-1)-t型-tΓ（t）Γ（1- t） Γ(-2+2t+t）Γ（t+）z-k2.-2吨-tz2t-1dt（2iπ）（7）证明。

使用我们的符号（5），我们可以重新写入买入价格（3）a s：C=F√2π∞Zz公司-k（ek-z+y-1） ze公司-y2zdy（8）让我们介绍Mellin-Barnes在（8）中对热核的表示（见附录（74）和[9，7]或任何关于积分变换的专著）：ze-y2z=zc+i∞Zc公司-我∞Γ（t）y2z-tdt2iπ（c>0）（9）因此我们有：c=F√2πc+i∞Zc公司-我∞tΓ（t）∞Zz公司-k（ek-z+y-1） y型-2tdy z2t-1dt2iπ（10）II剩余和4在y积分中按部分积分得到：C=F√2πc+i∞Zc公司-我∞tΓ（t）2t-1.∞Zz公司-酒桶-z+yy1-2tdy z2t-1dt2iπ（11）让我们介绍另一个Mellin-Barnes对剩余指数的表示（再次参见附录（74））：ek-z+y=c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tΓ（t）k-z+y-tdt2iπ（c>0）（12）因此调用过程为：c=F√2π×c+i∞Zc公司-我∞c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tt2t-1Γ（t）Γ（t）∞Zz公司-ky1-2吨k-z+y-tdy z2t-1dt2iπ∧dt2iπ（13）y积分是Bêta积分[1]的特例，等于：∞Zz公司-ky1-2吨k-z+y-tdy公司=z- k2.-2吨-tΓ（1- t） Γ(-2+2t+t）Γ（2t-1） （14）收敛于条件Re（t）<1和Re（2t+t）>2；插入（13），使用Gamma函数函数关系（2t- 1） Γ（2t- 1） =Γ（2t）和勒让德重复公式f或伽马函数[1]：Γ（t）Γ（2t）=21-2吨√πΓ（t+）（15）我们得到了积分（7）。二、留数求和现在我们通过多维留数求和来计算二重积分（7）。定理1。设Z：=Z√（归一化波动率）；那么欧式看涨期权的布莱克-斯科尔斯价格是：C=F∞∑n=0m=1(-1） nn！Γ（1+m-n）Z- k新西兰元-n（16）证明。设ω为复微分2形式ω：=(-1)-t型-tΓ（t）Γ（1- t） Γ(-2+2t+t）Γ（t+）z-k2.-2吨-tz2t-1dt2iπ∧dt2iπ（17）II剩余和5图1：除数D（斜线）由Γ(-2+2t+t）项，D（水平线）乘以Γ（t）项。

交叉路口开始变暗∩ D（点）位于相容的格林锥∏中，产生的余数在整个锥中的和等于积分（18）。这样我们就可以把买入价（7）写成：C=FZc+iRω（C∈ P） （18）该复积分可通过C-残数求和的方式进行，通过与残数定理有效f或这类特定积分的多维类似（见附录（90）和参考文献）。事实上，与微分形式（17）相关的特征量（见附录中的定义（82））为： =2.-11-1 + 1=（19） 允许的半平面为∏:=nt公司∈ C、 Re公司( . t） <.欧氏标量积意义下的co（20）。因此，该半平面位于直线T=-t+c+c（21）在该半平面中，圆锥体∏如图1所示，由∏定义：=nt∈ C、 Re（t）≤ 0，Re（2t+t）≤ 2o（22）包含并兼容两个除数族D=nt∈ C-2+2 t+t=-n、 n个∈ 节点=nt∈ C、 t=-n、 n个∈ Γ诱发的No（23）II残基求和6(-2+2t+t）和Γ（t）。该配置如图1所示。计算与奇异集D的每个元素相关联的剩余s∩ D、 我们改变变量：（u：=-2+2t+tu：=t-→t=（2+u- u） t=udt∧dt=du∧du（24），所以在这个新的配置中ω读ω=(-1)-uu公司-u-1Γ（u）Γ（1- u） Γ（u）Γ（1+u-u+1）z- k-uzu公司-u+1du2iπ∧du2iπ（25）对于这个新变量s，由（u，u）=(-n-m） ，n，m∈ N

根据伽马函数在奇异性（72）附近的奇异行为，我们可以写出ω~（u，u）→(-n-m）(-1)-u型(-1） n+mn！m！u-u-1Γ(1 - u） Γ（1+u）-u+1）z-k-uzu公司-u+1du2iπ（u+n）∧du2iπ（u+m）（26），因此，根据柯西公式，残基为：(- n-m） ω=(-1） nn型-m级-1.-1n！Γ（1+m-n+1）z- k新西兰元-n+1（27）根据留数定理（90），整个锥中的留数之和等于积分（18）：V=F∞∑n、 m=0(-1） nn型-m级-1.-1n！Γ（1+m-n+1）z-k新西兰元-n+1（28）我们可以通过改变指数m来进一步简化→ m+1，引入Z：=Z√=σ√τ√, 我们最终得到了系列（16）。公式（16）是欧式看涨期权Black-Scholes价格的一种新表示，可以很容易地实现，以便进行精确计算；人们可能会注意到，与Sc黑洞公式（6）相比，这个展开式出人意料地简单紧凑。在表1中，我们通过将通过常用BlackScholes公式（6）获得的价格s与系列（16）的各种截断（n=0…nmax和m=1…Mmax）给出的价格进行比较，来测试（16）的精度。人们注意到，收敛速度非常快：通常，Nmax=Mmax=10足以获得10的精度-7，而且，当期权深度流入或流出时，收敛速度略慢，但仍然非常有效（尤其是在ITM地区）。

让我们也注意到，当资产处于货币远期时（即，当S=F时，当k=0时），那么（16）恢复到幂级数：C=S∞∑n=0m=1(-1） nn！Γ（1+m-n） Zm+n（29）II残留物总和7市场配置BS公式Nmax=Mmax=5 Nmax=Mmax=10 Nmax=Mmax=20Deep OTM（S=3000）25.8385546 14.6150001 25.9147783 25.8385533OTM（S=3800）235.5135954 235.5112726 235.51359554 235.51359554 ATM forward 315.4523494 315.4501517 315.4523494 315.4523494ITM（S=4200）458.7930654 458.7883563 453 8.7930654 458.7930654深ITM（S=5000）1093.1653246 1091.35218291093.1662581 1093.1653246表1：对于各种市场配置，序列（16）与常用Blac k-Scholes公式的收敛性。在所有情况下，K=4000，r=1%，σ=20%，τ=1Y。然而，尽管公式（16）很简单，但它并不能清楚地显示Z的幂次排序和可操作的简化；例如，在幂级数（29）中，Z的所有偶数幂都为零（正如正态分布的泰勒级数所期望的那样）。因此，让我们将（16）定义为一个具有更易于处理的结构的扩展。推论1。设ДJbe为由ДJ（x）=J定义的实函数-1.∑n=0(-1） nn！Γ（1+J）- n） （1）- x） nJ=1，2。（30）然后是欧洲电话的布莱克-斯科尔斯价格isC=F∞∑J=1ZJДJkZ公司（31）证明。设J：=级数（16）中的m+n，J≥ 1、作为m≥ 1，这意味着J- n≥ 1，that是指，此新配置中n总和的上限为n≤ J- 这意味着我们沿着斜线而不是水平线或垂直线进行求和（见图2）；因此，我们可以引入第J部分和（回想一下，现在m- n=J- 2n）CJ：=FJ-1.∑n=0(-1） nn！Γ（1+J）- n） （Z）-k） nZJ公司-2n（32）=FZJJ-1.∑n=0(-1） nn！Γ（1+J）-n）1.-kZ公司n（33）和所有斜线J的求和≥ 1得出公式（31）图2：求和（16）可以在斜线（J=1，2，…）上进行。