最优统计套利中的止损和杠杆

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英文标题：
《Stop-loss and Leverage in optimal Statistical Arbitrage with an
  application to Energy market》
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作者：
Roberto Baviera and Tommaso Santagostino Baldi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we develop a statistical arbitrage trading strategy with two key elements in hi-frequency trading: stop-loss and leverage. We consider, as in Bertram (2009), a mean-reverting process for the security price with proportional transaction costs; we show how to introduce stop-loss and leverage in an optimal trading strategy.   We focus on repeated strategies using a self-financing portfolio. For every given stop-loss level we derive analytically the optimal investment strategy consisting of optimal leverage and market entry/exit levels.   First we show that the optimal strategy a\' la Bertram depends on the probabilities to reach entry/exit levels, on expected First-Passage-Times and on expected First-Exit-Times from an interval. Then, when the underlying log-price follows an Ornstein-Uhlenbeck process, we deduce analytical expressions for expected First-Exit-Times and we derive the long-run return of the strategy as an elementary function of the stop-loss.   Following industry practice of pairs trading we consider an example of pair in the energy futures\' market, reporting in detail the analysis for a spread on Heating-Oil and Gas-Oil futures in one year sample of half-an-hour market prices.
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中文摘要：
本文提出了一种统计套利交易策略，该策略在高频交易中包含两个关键要素：止损和杠杆。我们认为，正如Bertram（2009）所述，证券价格的均值回复过程具有比例交易成本；我们展示了如何在最佳交易策略中引入止损和杠杆。我们关注使用自筹资金投资组合的重复策略。对于每个给定的止损水平，我们通过分析得出最优投资策略，包括最优杠杆率和市场进入/退出水平。首先，我们证明了最佳策略a’la Bertram取决于达到进入/退出水平的概率、预期的首次通过时间和预期的间隔首次退出时间。然后，当基础原木价格遵循Ornstein-Uhlenbeck过程时，我们推导出预期首次退出时间的解析表达式，并将该策略的长期回报作为止损的基本函数。按照配对交易的行业惯例，我们考虑了能源期货市场中的一个配对例子，详细报告了在一年半小时市场价格样本中对取暖油和天然气油期货价差的分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Stop-loss_and_Leverage_in_optimal_Statistical_Arbitrage_with_an_application_to_E.pdf (467.21 KB)

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关键词：统计套利 Optimization Quantitative proportional Statistical

止损和杠杆最佳统计套利，能源市场应用Roberto Baviera+和Tommaso Santagostino Baldi2017年6月22日（+）Politecnico di Milano，数学系，32 p.zza L.da Vinci，I-20133 Milano（）J.p.Morgan Chase Bank，25 Bank St.，Canary Wharf，伦敦E14 5JP摘要本文提出了一种统计套利交易策略，该策略在高频交易中包含两个关键要素：止损和杠杆。我们认为，正如Bertram（2009）所述，证券价格的均值回复过程具有比例交易成本；我们将展示如何在最佳交易策略中引入顶部损失和杠杆。我们关注使用自我融资投资组合的重复策略。对于每个给定的止损水平，我们通过分析得出最优投资策略，包括最优杠杆率和市场进入/退出水平。首先，我们表明，最优策略“a la Bertram”取决于达到尝试/退出水平的概率、预期的第一次通过时间和间隔的预期第一次退出时间。然后，当基础原木价格遵循Ornstein-Uhlenbeck过程时，我们推导了预期首次退出时间的解析表达式，并将该策略的长期回报作为止损的基本函数。按照配对交易的行业惯例，我们以能源期货市场中的配对交易为例，详细报告了在一年半小时市场价格样本中对取暖油和天然气油期货价差的分析。关键词：均值回归交易、止损、首次退出时间。通信地址：米兰数学事务所Roberto BavieraDepartment of MathematicsPolitecnico di Milano32 p.zza Leonardo da VinciI-20133 Milano，ItalyTel+39-02-2399 4630传真。

+39-02-2399 4621roberto。baviera@polimi.itThe这里表达的观点是作者的观点，不一定是世行的观点。最佳统计套利中的止损和杠杆作用在能源市场的应用1简介统计套利交易利用证券价格动态中的一些统计规律，通常采用重复策略；通过这种方式，它能够以很高的概率获得比无风险回报更大的回报。这些策略在对冲基金中很普遍。投资者的兴趣量为单位时间内的策略回报（以下简称回报）ut：=tlnWtW，其中WT为投资者在时间t投资于策略的财富。我们特别考虑投资者有可能重复策略无限次的情况：这是统计套利技术中的常见假设。在无限期重复博弈的情况下，一个有意义的目标函数是最大化几乎可以确定的长期回报（见Kelly 1956）。Taksar et al.（1988）首先解决了这个问题，他考虑了一个具有两种资产且成本成比例的投资组合，其风险证券遵循几何布朗运动。这项研究和随后的文献（参见Guasoni和Muhle Karbe 2013年的回顾）明确了投资者面临的两个相关问题：i）何时需要重新平衡其投资组合，以及ii）应将多少财富投资于风险证券。在实际情况下，这种为风险证券选择的动态似乎过于简单，均值回归是一个相关的程式化事实，尤其是在成对交易中不可忽视（参见Elliott等人2005年、Gatev等人2006年、Vidyamurthy 2004年）。

最近，Bertram（2009）考虑了风险资产的对数价格遵循Ornstein-Uhlenbeck过程（以下简称OU）且交易成本与证券价格成比例的情况。他考虑了选择最佳长期策略的安萨茨法，确定了投资者必须分别购买和出售一个证券单位的两个交易区间。如康明斯和布卡（2012）所示，安萨茨中的最佳选择策略可以在能源市场的商品对交易中产生显著回报；他们表明，即使考虑到每日收盘价，也可以实现这些结果。不幸的是，当考虑真实的统计套利策略时，即使这种方法也太简单了。统计套利策略总是需要止损，即投资者关闭亏损头寸（负面情景）以限制最大损失的水平。在实践中应用这些策略时，止损的存在至关重要：事实上，人们永远无法确定，对于agiven安全来说，过去观察到的统计描述是否会在未来继续存在。此外，对冲基金有可能利用其头寸，例如从其主要经纪人或其他贷款人处借款。在本文中，我们对这个问题进行建模，提供封闭形式的解决方案。本文对现有统计套利文献的主要贡献有两个方面。第一个贡献是，对于任何给定的止损水平，通过分析解决一个风险的问题，即一个贝特伦风险集，有可能以固定利率r借款：我们确定了最佳带宽和最佳杠杆率。

这种方法还表明，长期回报率仅取决于达到交易区间的可能性和策略中两次交易之间的预期时间间隔，时间间隔是第一次通过时间（以下简称FPT）和第一次退出时间（FET）的简单函数。其次，我们通过初等函数从区间推导出OU预期FET的解析表达式。这允许快速计算任何给定停止损失水平的最佳策略，因为到达区间端点的概率和预期FPT的分析表达式在文献中已经已知（参见Borodin和Salminen 1996，Nobile et al.1985）。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了拟议策略中的关键要素，并通过风险证券的连续价格过程，推导出长期回报作为止损、交易区间和杠杆的函数；我们还展示了这个数量是如何与与最优分配问题相关的Kullback-Leibler散度（Kullback和Leibler 1956）联系在一起的。在第3节中，对于OU，我们从一个区间推导出预期第一个退出时间的分析表达式，并在这种情况下指定长期返回的分析表达式。在第4节中，我们将交易策略应用于半小时时间序列的能源市场中的一对，给出了一些数值结果。我们通过样本内最大似然法校准OU参数，详细讨论估计数量的统计意义，计算不同杠杆水平的最佳交易区间，然后在样本外测量观察到的回报。

第5节结束。2存在止损和杠杆的统计套利我们认为投资者可以包括支付利率r的无风险资产和风险证券。正如Bertram（2009）所述，风险证券的对数价格动态遵循OU，即pt=eXtwheredXt=κ（η- Xt）dt+σdBt（1），具有Bta一维布朗运动，而κ，σ∈ <+和η∈ < 是常数参数：σ是瞬时标准偏差，κ是回复率，η是平均回复值。正如inBertram（2009）所述，交易成本与风险证券的价格成比例，c正恒量建模与交易相关的总交易成本。该模型以一种简单的方式描述了成对交易中经过充分研究的情况，从而产生了通常被称为“反转统计套利”的策略。与Bertram（2009）的第一个不同之处在于，我们考虑了投资组合中的无风险资产和优化配置的可能性，而不是只允许对风险资产进行投资。交易策略是在连续时间随机过程（1）上执行的一系列单个交易。特别是，我们关注的是能够在这两种资产之间以自我融资策略进行投资多元化的投资者；与Bertram一样，我们考虑重复策略并最大化策略的长期回报u：=limt→∞ut。我们表明，这种方法允许以基本方式引入杠杆。定义1（杠杆率）杠杆率定义为在时间t投资于风险资产的金额与投资者总财富Wt之间的比率。特别是我们考虑交易发生时的杠杆率。

w.r.t.Bertram策略的另一个不同之处是，我们引入了止损。定义2（止损）止损定义为风险证券原价的L级，当达到该水平时，交易策略在任何情况下都会中断，导致损失。在进入交易之前，投资者确定止损水平。这种方法模仿了在统计套利策略实践中经常观察到的行为：投资者在开始交易策略之前预先确定止损水平L。给定具有时间无关参数的动力学（1），止损水平L的合理选择是在整个策略中考虑一个恒定值。一旦L确定，投资者必须在这种约束条件下选择最佳策略。这项技术与Leung和Li（2015）中介绍的技术相同，其中止损是作为战略约束引入的；它们展示了当证券价格为OU时，如何确定单一交易预期收益的最佳区间。不幸的是，将他们的技术推广到非线性目标函数并不容易。备注1在不失去任何一般性的情况下，我们可以考虑零利率r和零漂移项η。选择r=0并不具有限制性，事实上，通过修改风险证券动力学中的漂移项η并将r添加到财富增长率中，可以恢复r 6=0的情况（参见Cartea et al.2015）。此外，我们可以选择η=0：漂移η不等于零的情况可以通过简单转换过程Xt来恢复。然后，该问题相当于为投资者选择最佳交易策略，该投资者有可能选择投资于等于1的无风险资产和对数价格为xt=-κXtdt+σdBt。

（2） 让我们首先考虑一种交易策略，投资者可以在风险资产中持有多头头寸。当原木价格达到出售风险资产的L级（本例中低于零）时，停止损失被激活。这是对冲基金在反向统计套利策略中实际考虑的典型情况：当风险证券的给定百分比下降到平均水平时，多头头寸被平仓。一旦止损L确定，选择交易策略的安萨茨由入口带D和出口带U确定，如Bertram（2009）所述。在进入D级时，投资者购买证券，然后在退出U级时出售。入门级D低于零，即Xtin（2）的平均回复值，因为投资者押注于原木价格的平均回复，而D必须大于止损L。一旦选择了L，交易策略将通过以下步骤定义，这些步骤将Bertram（2009）中的一个推广到止损情况：1。当进程到达D时打开该位置，购买证券；2、如果该过程到达U之前未达到止损L，则该头寸在U中以利润收盘（积极情景）。然后投资者必须等待Xttoreturn到D的过程来重新打开头寸；3、如果该过程在到达U之前到达L，投资者将被迫以亏损结束头寸inL（负面情景）。然后，同样在这种情况下，他将等待进程返回到D以重新打开该位置。交易长度是两次后续交易之间的时间间隔。图1：交易区间和止损策略示意图。投资者在D中打开多头头寸（1），在U或L（连续蓝线）中关闭多头头寸（0）。他必须等待进程XT返回D以重新打开位置（虚线）。

交易长度是两次交易之间的时间。图1显示了交易区间和止损之间的关系。每次交易从等于D的原木价格开始，到X第一次退出渠道（L，U）结束。由于与交易策略相关的许多数量（例如回报）取决于策略中两次后续交易之间的时间，让我们仔细定义它们。定义3（第一次退出时间和第一次通过时间）从D开始的通道（L，U）的第一次退出时间，L<D<U，是定义为τe：=inf{t:Xt的随机变量/∈ （L，U）| X=D}（3），而τ+e（τ-e） 表示正（负）情况下的FETτ+e：=inf{t:Xt/∈ （L，U），Xt≥ U | X=D}τ-e： =inf{t:Xt/∈ （L，U），Xt≤ L | X=D}。（4） 此外，首次通过时间在交易长度中也起着相关作用，因为必须同时包括等待再次进入新交易的时间。它们可以定义为τp（U D）：=inf{t:Xt≤ D | X=U}τp（L D）：=inf{t:Xt≥ D | X=L}。在上述两种情况下，对于连续流程Xt，交易长度为τ+：=τ+e+τp（U D）τ-:= τ-e+τp（L D）（5），其中τ+（τ-) 表示正（负）情景下的交易长度。正如引言中已经提到的，投资策略不是一次性实现的，而是使用自我融资的投资组合反复制定的。在时间ti，对应于ithtrade，投资者将其全部可用财富分散在这两项资产中，并将其部分财富投资在风险资产中。在这种交易策略中，如果价格动态是连续的，则第一笔交易和下一笔交易之间的财富通过Wti+1=Wti[1+fiv]（6）进行关联，其中v是一个可以假设两个值的随机变量v+：=欧盟-D-c- 1伏-:= 埃尔-D-c- 1概率为+：=PXτ+e=U | X=Dp-:= PXτ-e=L | X=D, （7） 其中，我们考虑了与每笔交易相关的总交易成本c。

分数fi为正值，因为我们考虑的是一个进入多头头寸的投资者；当fi>1时，投资者利用其投资借入更多资本。数量fimodels充分利用了时间ti。由于证券动力学参数和进入/退出区间与时间无关，在投资者的决策不取决于其总财富的情况下，每次过程达到D时，投资者都会选择将相同的f分配给风险证券的策略。综上所述，应满足以下条件，以便为利益交易策略提出一个合理的财务问题：i）U- D>c ii）D- L>0 iii）f≥ 0。（8） 第一个条件相当于避免交易成本内的交易；这相当于v+>0的状态。第二个条件规定止损L始终低于入门级D：这意味着v-< 0.另一个条件表明，我们正在考虑在天空安全方面的长期立场。我们现在可以陈述这项研究的两个主要结果，它们适用于一般的连续价格动力学。命题1如果价格动态是连续的，对于给定的止损水平L，作为杠杆f和交易区间D和U函数的长期回报为：u（f，D，U | L）=p+ln（1+fv+）+p-ln（1+fv-)p+E[τ+]+p-E[τ-]（9） 证明。见附录A让我们观察一下，（9）的分母是预期交易长度。特别是，如下一节所示，当Xtis OU（2）时，数量p+、E[τ+]和E[τ-] 是D、U和L的分析函数。命题2如果交易长度的前两个矩是有限的，当t变为完整时，收益的方差V【ut】为O（1/t）。证据见附录A上述主张表明，对于所述战略，回报率在有限的范围内几乎是确定的数量。