行权率优化的美式期权定价

图3a和3b显示，通过多项式degreek=2和mn=200×n时间步长nn=2的样本路径的行使率优化发现的价格收敛于该参考值asn→ ∞. 特别是，我们的最大化并没有陷入ψ的局部最优。此外，图3a将以下曲线图限制在试验值范围内，这构成了对给定运动率质量的无偏估计。在图3b的对数刻度中，我们可以看到近似值以大约2的速率收敛到参考值-n=O（n-1牛+米-1/2n）。尽管仅使用二次多项式进行运动边界近似，但我们获得了大约四个重要数字的精度。这证实了运动边界A和3d的奇点显示结果∈ {，}，即对于恒定运动率和仅线性依赖的运动率0 2 4 69.5nTest value训练值参考值（a）k=20 2 4 6-3.-2n个-n（b）测试值的相对误差，k=20 1 2 3 4 5 6测试值训练值参考值（c）k=10 2 4 69.29.49.69.8测试值训练值参考值（d）k=0图3：≤ k≤Mn×nNnn≤ n≤σ.r、 Ks=100，T=1。kk。karound值为9.35，大致相当于具有相同参数的欧洲期权的价格。MNK的评估显著减少。实际上，对于n=4和k=2，当`=20时，ψ（c`）和最终值之间的相对误差已经低于0.1%（图4）。因此，我们将迭代次数限制在20.0 5 10 15 20 25 30 35 40以下-7.-6.-5.-4.-3.-2.-1 `图4：在使用L-BFGS-B算法的美式看跌期权行使率优化的训练步骤中，关于函数评估数量的收敛性，`。3.2与Longstaff–Schwartz算法的比较在本小节中，我们考虑D∈ {，}基础资产。

此类期权的支付函数由g（s）：=（K）给出- c·s）+叉>0和c∈ Rd.在我们的实验中，我们使用K：=100，ci：=1/d，1≤ 我≤ d、 衍生定价软件Premia的。与我们的方法一样，Longstaff–Schwartz算法需要控制值函数近似精度的规范。为简单起见，我们将此部分的模拟限制为toN=8个时间步。为了防止我们的比较被这两种算法使用的事实所扭曲。×r.ij。δij≤ i、 j≤ s=（100，…，100）的D模型。五、*.五、*.kEROford=2和D=5。图5显示Longsta Off–Schwartz算法收敛到这些值→ ∞k≈这两种方法之间的差异可以用随机抽样误差来解释。https://www.rocq.inria.fr/mathfi/Premia02 4 6 86.56.526.54kLSLSERO（a）d=20 1 2 3 4 5 63.623.633.643.653.66kLSLSERO（b）d=5图5：{，}将多项式度数增加到通过运动率优化（ERO）计算的参考值，多项式度数kERO=2，95%置信区间（虚线）。运行时比较两种算法的实现，我们在12核Intel Xeon X5650 CPU上运行。然而，如上所述，后者需要更大的多项式次数才能获得准确的结果。由于该领域的ratiokk>，在高维示例中，运动速度优化比Longstaff–Schwartz算法更快地返回准确结果。d、 k.k.k.×运动样本。3.3最大看涨期权在本小节中，我们考虑两项标的资产的最大看涨期权，其中g（s）：=最大{（s-K） +，（s-K） +}。这些最大看涨期权对我们的方法提出了一个有趣的挑战，因为在到期之前的任何时候，最佳行使区域都有两个相连的组成部分[]。

Black-Scholes模型中期权价格的上下限，r=0.05，∑ij=0。δij、K=100、N=8和股息δ=0.1取自[]，并在表1中给出了我们方法fork的结果∈ {，，}和m=1 000 000。K的最佳运动速度∈ {，}如图6所示。正如预期的那样，它们几乎是确定性的，这意味着它们在运动率为0.001和1000的水平集上表现出陡峭的坡度。本小节中的结果是使用最多20个优化步骤获得的。执行更多步骤将进一步缩短这些水平集之间的距离，而不使用arate几乎是轴对称的，即使我们不强制执行这种对称。对断开连接的注册表进行建模时ionshttps://pypi.org/project/pryce/k95%CI1 2 390[8.053,8.082]7.126 8.009 8.039s100[13.892,13.934]12.311 13.821 13.865110[21.316，21.359]19.133 21.220 21.256表1：最大看涨期权价格。95%置信区间（CI）取自【3】。80 100 120 140{f<0.001}{f≥ 1000}{f≥ 1000}图6：k=2（虚线）和k=3（实线）的最大看涨期权的最佳行使率水平集。当对数线性运动率为fork=1时，不可能实现，当K=2时，双曲二次曲线可以提供令人满意的近似值。3.4随机波动性在本小节中，我们将我们的方法应用于随机波动性模型中的定价。为此，我们考虑[]中所述的基本赫斯顿模型，该模型使用随机微分方程耦合系统XT=uXtdt对单一基础资产XT及其瞬时方差VT的演变进行建模+√vtXtdWXt，（8）dvt=κ（θ- vt）dt+ξ√vtdWvt，（9）其中u>、κ>0、θ>0、ξ>0和2κθ>ξ，以及wxtandwvt是具有相关性的维纳过程-≤ ρ ≤1.StXt、vtt∈ Tvolatility模型。为了获得风险中性度量，我们将u替换为方程式（8）中的无风险率=0.05。

我们选择κθ。ξ.ρ-.vKss=（100、.15）和25个不同的删除值∈[90,150]. 为此，我们使用degreek多项式∈ {0，1，2}和M=100000个样本，N=32个时间步。为了进行比较，我们还显示了在Premia中实现的有限差分法fD\\u Hout\\u hestoniment的结果，如图7所示。两种方法之间的最大相对差异为1%，发生在K左右*= 130.K-K≥ K*80 90 100 110 120 130 140 kDero（k=2）ERO（k=1）ERO（k=0）European图7：优化（ERO）和有限差分法（FD）。预计，由于初始点（100、.15）位于最佳运动区域内，因此可立即行使期权。图8显示了k在t=0.5时的数值优化运动率（k=2）∈ {100, 110}.70 80 90 100 110 120 1300.050.10.1510000.001xv（a）K=100 70 80 90 100 110 120 1300.050.10.1510000.001xv（b）K=110图8：赫斯顿模型中看跌期权t=0.5时的最佳行使率水平集。最后，我们考虑一个10维投资组合，其中每个基础（Xit）t∈T≤ 我≤10遵循等式（8），具有相同的波动过程（vt）t∈T（和一维情况下相同的参数值），但不同的是∈T≤ 我≤WXt，WXt，wvt协方差矩阵∑=1. 0.2 0.2 0.35 0.2 0.25 0.2 0.2 0.3 0.2 -0.50.2 1. 0.2 0.2 0.2 0.125 0.45 0.2 0.2 0.45 -0.50.2 0.2 1. 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.45 0.2 -0.50.35 0.2 0.2 1. 0.2 0.2 0.2 0.2 0.425 0.2 -0.50.2 0.2 0.2 0.2 1. 0.1 0.2 0.2 0.5 0.2 -0.50.25 0.125 0.2 0.2 0.1 1. 0.2 0.2 0.35 0.2 -0.50.2 0.45 0.2 0.2 0.2 0.2 1. 0.2 0.2 0.2 -0.50.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 1. 0.2-0.1-0.50.3 0.2 0.45 0.425 0.5 0.35 0.2 0.2 1. 0.2-0.50.2 0.45 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 -0.1 0.2 1.

-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-0.5-零点五一图9显示了美国篮子看跌期权价值的估计值（带有系数≡/10） 这是通过对相应的11维过程ST进行运动率优化得到的：=（Xt，…，Xt，vt），使用与之前相同的分离参数。90 100 110 120 130KERO（k=2）ERO（k=1）ERO（k=0）EuropeanFigure 9：10维Heston模型中一揽子看跌期权价格对履约的依赖性。3.5粗挥发性为了说明我们方法的广泛适用性，我们在本节中总结了非马尔可夫粗BergomiEuropean期权[]。在非马尔可夫模型中，方程（2）不成立，因为最佳运动策略可能不会∈TXtt公司∈Tas以及波动率（vt）t∈T、 因此，我们考虑有限维马尔可夫延拓St：=（Su）u∈[0，t]，t∈ T，其中方程（2）形式上成立，子集ofT×Rd+替换为子集ofT×Γ，其中Γ：=St∈T{s:[0，T]→ Rd+}。为了进行数值计算，我们对St的实现情况进行了子样本分析（按照St:=Sfort<0的约定），并确定了St:=（St，St-, . . . , St公司-J）∈ Rdeff：=R2×（1+J），t∈ t某些方面<∞和0<< ··· <J、 我们将第2.1节中描述的算法应用于由此产生的问题，即在扩展空间T×rdeff上查找运动率。根据【6，第4节】，我们从DXT=rXtdt+Xt引起的风险中性度量中生成样本√vtdWXt，X=X，（10）vt：=vEη√2HZt（t- u） 1/2-HdWvu, （11） 呃。r、 η。具有相关ρ的wxwv过程=-.由于资产价格过程X是一个连续的局部鞅，即使VT不是半鞅，标准的无轨理论也适用。表2显示了X=100、v=0.09、T=1和不同罢工的美式期权价格，我们计算了100 000 NKJJ/≤ j≤ 林俊杰∈ {，，，}比较，我们包括通过简单蒙特卡罗模拟计算的欧洲价格。

J=0和J=7的估计值之间的差异并不总是大于蒙特卡罗抽样误差，这表明对非马尔可夫特征的开发不会产生显著的运动策略改进。然而，这并不是说非马尔可夫模型和马尔可夫模型中的美式期权价格是相似的。（St）t样本的非马尔可夫性∈tp在任何给定战略的评估中都发挥着重要作用，即使该战略仅取决于即期价值。K70 80 90 100 110 120 130 140欧元。1.83 3.13 5.06 7.98 12.21 17.99 25.35 33.880 1.88 3.23 5.32 8.51 13.24 20 401 1.88 3.23 5.31 8.50 13.22 20 30 40J3 1.88 3.21 5.31 8.50 13.22 20 30 30 407 1.88 3.22 5.30 8.50 13.23 20 40表2：粗略Bergomi模型中的看跌期权价格。对于J=0和K，t=0.5时的数值优化运动速率∈ {100，110}如图10.4所示，结论是确定性运动区域被概率运动率所取代。基于二次多项式的方法有助于获得非常精确的价格估计，并且只需几次迭代即可使结果的非凹目标函数全局最大化。由于市场模型仅出现在样本路径的模拟中，因此我们的方法非常灵活且易于实现。我们证明了它在单变量和多变量Black-Scholes、Heston和rough Bergomi模型中的实用性。多项式可能大得令人望而却步。在这种情况下，多项式子空间应设计为对坐标s敏感的各向异性c：=c·s。

对于无法避免大型多项式子空间的情况，需要进行严格的显著过度拟合；在[9，32]中建立了类似但不可直接转移的结果。为了加速数值实现，多级蒙特卡罗方法[]可用于评估预期收益及其梯度。70 80 90 100 110 120 1300.050.10.1510000.001xv（a）K=100 70 80 90 100 110 120 1300.050.10.1510000.001xv（b）K=110图10：t.kJ=0）。期权价格[]的可计算上界是否也可以使用行使率来构造，这是一个悬而未决的问题。致谢这项工作得到了KAUST赞助研究办公室（OSR，奖项URF/1/2584-0101）、德国研究基金会（DFG，grant BA5484/1）和亚历山大·冯·洪堡基金会的支持。R、 Tempone和。Wolfers是KAUST SRI计算科学与工程不确定性量化中心的成员。参考文献[1]Yves Achdou和Olivier Pironeau。期权定价的计算方法。暹罗，2005年。[2] 型号。《计算金融杂志》，3:5–32，1999年。[3] 选项。《管理科学》，50（9）：1222–12342004。[4] 近似值，18（4）：5692002年12月。[5] 《金融杂志》，42（2）：301–3201987年。[6] 克里斯蒂安·拜尔、彼得·弗里兹和吉姆·盖瑟尔。粗略波动下的定价。《定量金融》，16（6）：887–9042016年。[7] 理查德·贝尔曼。自适应控制过程：导览。（兰德公司研究报告）。普林斯顿大学出版社，1961年。[8] 丹尼斯·贝洛梅斯特尼。基于仿真的最优停止问题优化算法的收敛速度。安。应用程序。概率。，21(1):215–239, 02 2011.[9] Denis Belomestny等人，关于基于仿真的优化算法的收敛速度，用于优化停止问题。

《应用概率年鉴》，21（1）：215–2392011。[10] 应用概率，23（5）：1988–2019，2013。[11] 控制：应用于金融。Springer，2018年。[12] 《金融》，7（3）：241–2861997年。[13] 马克·布罗迪和保罗·格拉斯曼。利用模拟为美式证券定价。《经济动力学与控制杂志》，21（8）：1323-13521997。[14] 约束优化。暹罗科学计算杂志，16（5）：1190–12081995。[15] 克里斯蒂娜·科斯坦蒂尼、艾曼纽尔·戈贝特和妮可·埃尔·卡鲁伊。时间依赖域内扩散过程的边界敏感性。应用程序。数学优化。，54(2):159–187, 2006.[16] 《金融经济学》，7（3）：229–2631979年。[17] 行使规则。《经济动力与控制杂志》，27（10）：1855–18792003。[18] 西蒙·杰姆里奇。美式期权的多级蒙特卡罗方法。牛津大学硕士论文，2012年。[19] 迈克尔·贾尔斯。多层蒙特卡罗方法。《数字学报》，24:259–3282015。[20] 德怀特·格兰特、乔塔姆·沃拉和大卫·威克斯。路径相关选项：扩展蒙特卡罗模拟方法。《管理科学》，43（11）：1589–16021997。[21]István Gyngy"ongy和DavidSiska。随机停止。伯努利，14（2）：352–3612008年。【22】货币期权。《金融研究回顾》，6（2）：327–3431993年。【23】最佳运动前沿。《金融与定量分析杂志》，39（2）：253–275，2004年。[24]Ioannis Karatzas和Steven E.Shreve。数学融资方法。斯普林格，1998年。[25]2008.【26】数学金融，5（2）：107–116，1998年。【27】弗朗西斯·A·朗斯塔夫和爱德华多·S·施瓦茨。通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法。《金融研究回顾》，14（1）：113–1472001年。【28】计算金融，22（1）：37–772018。【29】定价问题。暹罗科学计算杂志，29（1）：440–4582007。[30]伦纳德·C·G·罗杰斯。美式期权的蒙特卡罗估值。

《数学金融》，12（3）：271–2862002。[31]Albert N.Shiryaev。最佳停车规则，第8卷。施普林格科学与商业媒体，2007年。【32】依赖样本数据。《数学金融》，28（1）：447–4792018。