行权率优化的美式期权定价

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英文标题：
《Pricing American Options by Exercise Rate Optimization》
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作者：
Christian Bayer, Ra\\\'ul Tempone, S\\\"oren Wolfers
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We present a novel method for the numerical pricing of American options based on Monte Carlo simulation and the optimization of exercise strategies. Previous solutions to this problem either explicitly or implicitly determine so-called optimal exercise regions, which consist of points in time and space at which a given option is exercised. In contrast, our method determines the exercise rates of randomized exercise strategies. We show that the supremum of the corresponding stochastic optimization problem provides the correct option price. By integrating analytically over the random exercise decision, we obtain an objective function that is differentiable with respect to perturbations of the exercise rate even for finitely many sample paths. The global optimum of this function can be approached gradually when starting from a constant exercise rate.   Numerical experiments on vanilla put options in the multivariate Black-Scholes model and a preliminary theoretical analysis underline the efficiency of our method, both with respect to the number of time-discretization steps and the required number of degrees of freedom in the parametrization of the exercise rates. Finally, we demonstrate the flexibility of our method through numerical experiments on max call options in the classical Black-Scholes model, and vanilla put options in both the Heston model and the non-Markovian rough Bergomi model.
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中文摘要：
我们提出了一种基于蒙特卡罗模拟和行权策略优化的美式期权数值定价新方法。该问题的先前解决方案可以显式或隐式地确定所谓的最佳行使区域，该区域由行使给定期权的时间点和空间点组成。相反，我们的方法决定了随机运动策略的运动率。我们证明了相应随机优化问题的上确界提供了正确的期权价格。通过对随机运动决策进行解析积分，我们得到了一个目标函数，即使对于有限多个样本路径，该函数对于运动速率的扰动也是可微的。从恒定运动速率开始，该函数的全局最优值可以逐渐逼近。在多元Black-Scholes模型中对香草看跌期权进行的数值实验和初步的理论分析表明，我们的方法在时间离散化步骤数量和运动率参数化所需的自由度数量方面都是有效的。最后，我们通过经典Black-Scholes模型中的最大看涨期权和Heston模型和非马尔可夫粗糙Bergomi模型中的香草看跌期权的数值实验，证明了我们方法的灵活性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_American_Options_by_Exercise_Rate_Optimization.pdf (942.33 KB)

2022-6-10 18:53:22 上传

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关键词：美式期权 期权定价 Optimization Quantitative Applications

按行使率优化定价美国期权Christian Bayera、Raúl Temponeb、c、S"oren Wolfersc、，*aWeierstrass应用分析与随机研究所（WIAS），柏林，德国亚琛大学，德国阿卜杜拉科技大学（KAUST），沙特阿拉伯图瓦勒2019-08-13 AbstractSimulation and the optimization of exercise Strategy。以前对这个问题的解决方案要么显式地或隐式地确定所谓的最佳练习区域，该区域由执行给定选项的时间点和空间点组成。相反，我们的方法决定了随机运动策略的运动率。我们证明了相应随机优化问题的SUPREUM提供了正确的期权价格。通过对随机运动决策进行积分分析，我们获得了一个目标函数，该函数对于运动速率的扰动是可区分的，即使对于非常多的样本路径也是如此。从恒定运动速率开始，该函数的全局最优值可以逐渐逼近。多元Black-Scholes模型中香草看跌期权的数值实验和初步理论分析强调了我们方法的有效性，即运动率的参数化。最后，我们通过对经典Black-Scholes模型中的最大看涨期权以及Hestonl模型和非马尔可夫粗糙Bergomi模型中的香草看跌期权的数值实验，证明了我们方法的可行性。关键词计算金融、美式期权定价、随机优化问题、蒙特卡罗、多变量近似、粗略波动性2010年数学主题分类91G60、91G20、49M20、90C90、65K10、65C051简介≥StS1，t。

，Sd，ttT∈ R+，∞gt，STP先前约定的函数g:[0，T]×Rd+→ R+。如果标的市场是马尔可夫市场，且有利率大于0的证券，则在风险中性措施下，美式期权的无套利价值仅由当前资产价值确定。值函数V:Rd+→ R+满意度V（s）=supτ∈序号[Yτ∧T | S=S]，S∈ Rd+，（1）其中Yt：=exp(-rt）g（t，St），t≥0是贴现支付过程，并记录（St）0生成的过滤相关的所有停止时间集≤t型≤T[，定理5.3]。在这项工作的其余部分中，所有预期都是针对相同的风险中性度量值Q，并用E表示。美式期权定价的最先进方法，包括Longsta off的所有变体-Schwartz[]，*通讯作者。电子邮件地址：soeren。wolfers@kaust.edu.saarXiv：1809.07300v2【q-fin.CP】2019年8月10日问题[，]，策略迭代[]，或（准）分析解决方案[，]。许多方法的计算成本与维数成指数增长，因此对于许多基础资产的期权来说，它们的成本高得令人望而却步。这种现象被称为维度诅咒[29，7]。在这项工作中，我们提出了一种基于方程式（1）的以下变化的方法，该方法指出，优化可能仅限于命中时间，而不是一般停车时间：V（s）=supE∈B（[0，T]×Rd+）E[YτE∧T | S=S]，S∈ Rd+。（2） E类, T×Rd+τEinf{T≥t、 St公司∈ E} Yt0年≤t型≤TSt0≤t型≤Tsuch条件保持并限制了我们对方程（2）解的关注。期权定价。在[]中，为美亚选项的每个运动日期确定单独的运动区域。运动区域的参数化只允许两个参数。

在[，]中，临时参数化在不应用向后迭代的情况下对空间进行优化。如何在多维设置中，甚至在一维设置中，对可能的运动区域进行参数化如何找到全局最优值并不明显[，]。事实上，当用经验平均值代替方程式（2）中的期望值以对预期收益进行数值近似时，最大化的数量在行使区域上非常不规则（见图1b）。此外，即使使用大量的采样路径来减少小尺度振荡行为，所得表面仍可能是非凹面，并表现出孤立的局部最优解，如【17】所述。E, T×Rd+f：，T×Rd+→ R+随机行使策略，其中期权行使的概率非常小，取决于当前的T×Rdmaximum作为原始优化问题，而不是确定性策略，但具有不同的优势，即使在计算中使用了非常多的样本路径，也能获得平滑的目标函数。从在时间和空间上具有恒定非零值的运动速率开始优化，并让他们轻松讨论我们方法的准确性如何取决于各种离散化参数。特别是，我们提供了满足随机运动策略所需的运动率自由度的启发式界限。这些边界是以最佳练习边界的光滑度作为流形给出的，而不是时间的函数。最后，第3节介绍了各种市场模型和期权的数值实验。在第3.1节和第3.2节中，我们考虑了经典Black-Scholes模型中的香草看跌期权。

对于单一标的，美式看跌期权的行使边界，其支付函数由g（t，s）：=g（s）：=（K）给出- s） +对于一些罢工者，在首次提交本手稿后，他们被告知之前从理论角度对随机停止进行了研究[，]。然而，这些参考文献并不包含由此产生的随机优化问题的数值解的讨论。K>0，可以写成具有渐近行为（t）的时间函数≈ K-Cp（T- t） 日志（t- t） 对于某些C>t→ T、 stK- Cp（T- t） Rc与二次多项式f（t，s）的零水平集（与x<K相交）：=（K-s）-C（T-t） 因此，其标量倍数构成了接近最佳运动速率的运动。虽然我们解决了非凹最大化问题，但我们能够从恒定的收益率开始找到全局最优解。此外，在第3.2节中，我们展示了我们的算法优于Longstaff–Schwartz算法。基础资产的数量很大。在第3.3节中，我们考虑了大量标的资产的最大认购权，g（s）=maxdi=1（si）-K） +。此类最大看涨期权定价的数值算法之前在[，]中讨论过。最大呼叫选项对直接确定运动区域提出了挑战，因为最佳运动区域已断开连接[]。

尽管如此，我们的结果表明，尽管最优运动区域的拓扑结构是非对称的，但低阶多项式仍然能够获得高精度的估计。接近最佳性能。2运动率优化我们让T：=[0，T]，并假设整个（St）T∈以S=S定义2.1为条件。f:T×Rd+→ 在时间τf时的R+fexercise：=inf{t≥ 0:Ztλudu≥ 十} ，（3）式中λt：=f（t，St），t∈ X是一个独立于（St）T的标准指数随机变量∈T、 τfλtt∈TFI在最小时间间隔dt内执行。考虑到方程（2），我们对早期运动时间τf的随机运动策略下的预期收益感兴趣，我们用ψ（f）表示：=E[Yτf∧T] 。（4） SinceRtλudu是t之前资产路径的确定函数，X独立于（Su）u∈T、 我们有p（τf≥ t |（Su）u∈T） =P（X>Ztλudu |（Su）u∈T） =经验值-Ztλudu=: UTADP（τf∈ dt |（Su）u∈T） =-dUt=λtUtdt。因此，我们得到φ（f，（Su）u∈T） ：=E[Yτf∧T |（Su）u∈T] =ZTYtλtUtdt+YTUT。由于所涉及的所有随机变量都是非负的，所以我们可以应用总期望定律，根据该定律，我们得出公式ψ（f）=E[φ（f，（Su）u∈T） ]=E“ZTYtλtUtdt+YTUT#。（5）λUtt-[21]中定理2.2的特例。提案2.2。我们有V（s）=supf：[0，T]×Rd+→R+ψ（f）。（6） 证明。

对于任何E∈ B（T×Rd+），我们可以正式插入指示函数fe（T，s）：=(+∞, （t，s）∈ E0，（t，s）6∈ EτfEτE∞∞Fatou引理，我们可以从方程（2）中得出上确界，即supf:[0，T]×Rd+→R+ψ（f）≥五（s）。相反，总期望定律显示，对于任何f：[0，T]×Rd+→ R+，即ψ（f）=E[Yτf∧T] =EhEYτf∧T | Xi、 τfXStt∈TXE公司Yτf∧T | X≤ V（s）几乎可以肯定；因此，ψ（f）≤ 五（s）。2.1数值算法为了数值确定最佳运动速率，我们（i）Stt∈TN<∞步骤，如Euler-Maruyama计划；（ii）用平均overM<∞固定样本路径（S（m）n）1≤n≤N、 1个≤m级≤M（iii）引入B维，B<∞ 参数化RB3 c 7→ 运动率空间的Fc；（iv）最大化代理函数ψ：RB→ Rc 7→MMXm=1φ（fc，（S（m）t）1≤n≤N） 。参数化XILOGSI1≤ 我≤ dFP：=fp（t，x）：=1g（t，s）>0exp（p（t，x））p∈ PPT×RDP参数化C 7→ fc。在本手稿的其余部分中，我们研究了阶数小于或等于tok的spacesPkof多项式≥0个ind+1个变量，我们对时空样本（tn，xn，m：=log（Smn））诱导的内积kfk=NMPNn=1PMm=1f（tn，xn，m）使用正交基1≤n≤N、 1个≤m级≤M、 为了计算φ，我们在时间离散格式的N个节点之间使用分段常数插值。优化关于第（iv）步，目前尚不清楚全局最优系数（甚至可能位于内部）是否表现良好，从恒定运动速率开始时是否不会陷入局部极大值，即Python的SciPy库中实现的ψ拟牛顿L-BFGS-B算法[]。图1显示了运动率优化相对于运动区域优化的优势。

偶aψc（0,0）p（0,0）≡图1b所示的功能可能来自确定性运动区域的优化，需要使用有限差分随机梯度算法。-10-5 0 5 10c（0,0）（a）ψ：R→ R与P的常数函数空间50 60 70 80 90 100s（b）s 7→MPMm=1[Y（m）τEs∧T] Es：=[0，T]×[0，s]图1：和带KSTR的一维美式看跌期权确定性策略（b）的单参数优化。σ.M=100个采样路径，N=100个时间步。φ、ψ和ψ相对于时间的可微性很容易显示出来。利用λtUtdt=-dUt，我们得到了简单的梯度公式fφ（f，（St）t∈T） ，高=-ZTYtdh公司fUt，hi+hfUT，hiYT，h:T×Rd+→ R、 其中fUt，hi=-UtZth（u，Su）du，t∈ T图2显示了在两种基础证券上搜索最大看涨期权最佳行使率的四个快照。准确度ymnumber of time steps，N，优化例程的迭代次数，`，以及多项式次数k.paths，M，以蒙特卡罗速率M渐近出现-1/2. 在渐近之前，蒙特卡罗样本数必须大于一个阈值，这取决于多项式子空间的维数，以避免过度拟合，见下一段。对于固定、平稳的行使率，预期收益收敛于离散化的弱收敛速度n-1.https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/optimize.minimize-lbfgsb.html（a） 第10次迭代（b）第20次迭代（c）第30次迭代（d）第40次迭代图2：运动速率att=T/2）。高颜色强度表示高运动率。

左下方{g}T/中的白色区域以蓝色显示。运动速度越来越快，接近最佳确定性运动区域，弱收敛速度-1/2（见第3.1节）。在所有其他条件不变的情况下，我们希望根据所使用的确定性优化例程的类型，指数或更快地收敛到“”。第3节中的图4提供了使用L-BFGS-B算法进行指数收敛的数值证据。在简化假设下，刻画关于Tok的最优运动速度的收敛性=∞andN公司=∞, 我们注意到，对于任何多项式，0=pk∈ PK具有练习率的随机运动策略FL：=经验值（Lpk）∈ FK收敛到具有早期训练区域的确定性策略K：={pk≥}asL公司→ ∞.因此，有必要研究最佳运动区域的可逼近性*通过多项式超水平集，以及方程（2）右侧的预期支付对E扰动的敏感性*E*坐标测量机≥2，of（0，T）×{g>}，则存在多项式pk序列，使得边界bk：=相应运动区域的Ek：={pk≥ 0}满意度bk={（t，s）+Θ（t，s）：（t，s）∈ B*} （7） 对于某些Θ：B*→ R1+D这样的thatsup（t，s）∈B*|Θ（t，s）|<Ck-m、 这源于多维Jackson定理[]与统一划分和元素几何的结合。

关于预期收益的敏感性，[]在假设（0，s）6的情况下，在空间方向上运动区域的扰动方面表现出差异性∈ E*Payoff函数位于inC1，αα>需要关于域的一般时空扰动的界（如方程（7）所示）和仅为Lipschitz的ForPayoff函数。对各种离散化相互作用的严格分析将是未来工作的主题；下文第3.1节给出了一些数值结果。过度安装B候选锻炼率增加了计算成本和过度匹配风险。这意味着ψ（c）的值*) 在优化的系数下*可能高估真值ψ（fc*) 除非使用了相应的较大的采样路径。数值实验表明m（B）≈ CBC对于某些C>0，但我们无法证明这样的公式。实际上，我们可以简单地计算ψ（fc）的无偏估计*) 使用一组新的采样路径（▄S（m）t）t∈T、 1个≤ m级≤ M在基于回归的经典方法ψfc中使用了类似的技术*优化的每个步骤的测试值，并在测试值减少时立即终止。请注意，与Longstaff–Schwartz算法一样，测试值偏低，即是期权价格下限的蒙特卡罗估计值。3数值实验在本节中，我们使用初始系数为c的L-BFGS-B算法≡ 0最大化ψ。3.1关于离散化参数的收敛性在本小节中，我们研究了我们的方法关于离散化参数sm，N，k，`KTσ的收敛性。r、 salgorithm具有50000个级别（即50000个时间步和50000个空间离散化节点atT=1），我们获得参考值V*= 9.8701.