Ornstein-Uhlenbeck价差的最优投资和消费

对于任何和0≤ t型≤ T，带qqq∈ RNand对称N×N矩阵MMM we setH（，t，qqq，MMM）：=supθ∈ΘH（，t，qqq，MMM，θ），（6.5），其中H（，t，qqq，MMM，θ）：=_a（，t，θ）qqq+tr[_b（，t，θ）MMM]+fff（，t，θ）。为了找到方程（2.4）的解，我们研究了HJB方程（zt（，t）+H（，t，z（，t），z（，t））=0，t∈ [0，T]，z（，T）=hhh（），∈ 注册护士。（6.6）这里，zt表示z对t的偏导数，z（，t）r中关于的梯度向量，z（，t）表示对称矩阵，即关于的二阶偏导数的矩阵。我们假设以下条件成立：H）存在一个函数z来自C2,1RN×[0，T], t型自RN×[0，T]→ (0, ∞) 这符合HJB方程。H） 存在一个可测函数θ*: RN×[0，T]→ Θ∈ RNand 0≤ t型≤ T，H（，T，z（，T），z（，T））=H（，T，z（，T），z（，T），θ*（，t））。H） 假设对于任何ν∈ 五、 任何0≤ t型≤ T和x，Ex，tsupt≤u≤Tz（XИu，u）-< +∞ .H） It^o方程D存在唯一的强解*t=ˇa（*t、 t）dt+ˇb（*, t） dWt，*= x、 t型≥ 0，其中ˇa（.，t）=ˇa（.，t，θ*（，t））和ˇb（，t）=ˇb（，t，θ*（，t））。此外，最优控制过程ν*t=θ*(υ*t、 t）对于0≤ t型≤ T属于V和supt≤u≤T | z（x*u、 u）|<+∞ .定理6.2。假设条件H）-H）保持不变=> υ*t=（ν*t） 0个≤t型≤T、 是这个问题的解决方案。证据对于ν∈ 五、 设Xν为初始值Xν=X的相关财富过程。定义停止时间τn=infs≥ t:Zst||y b（Иu，u）z（Иu，u）| du≥ n∧ T注意，条件（6.4）表示τn→ T作为n→ ∞ a、 s。。通过z（，.）的连续性和（Иt）0≤t型≤Twe获得→∞z（Иτn，τn）=z（УT，T）=hhh（УT）a.s。（6.7）为了简化，我们使用符号71at=a（t，Дt，t）和71bt=b（t，Дt，t）。

那么byIt^o formuladz（t，t）=zt（t，t）dt+NXi=1iz（t，t）di+NXi，j=1ijz（t，t）d<i，j>k.（6.8）通过使用d的定义，该方程变为z（t，t）=zt（t，t）+(z（t，t））ˇaДtdt+trˇbДt（ˇbДt）z（t，t）dt公司+z（t，t）ˇbДtdWt。采取双方的整合，我们得到了z（T，T）- z（t，t）=ZTt祖（u，u）+(z（u，u））ˇaДu+trˇbДu（ˇbДu）z（u，u）+ZTt公司z（u，u）ˇbИtdWu。加减rttfff（，u）du，让z（T，T）=hhh（）我们得到z（T，T）=hhh（）-ZTt公司z（u，u）ˇbИtdWu+zttff（u，u）du（6.9）-ZTt公司祖（u，u）+(z（u，u））ˇaДu+trˇbДu（ˇbДu）z（u，u）+fff（u，u）.在和t下取双方的期望值，注意E，tz（t，t）=z（t，t）z（t，t）=E，thhh（νt）- E，tZTt（b（u，Дu，u））z（u，u）| du+E，tZTtfff（，u）du- E，tZTt祖（u，u）+(z（u，u））ˇaДu+trˇbДu（ˇbДu）z（u，u）+fff（u，u）杜。根据jjj（，Д，t）=E，t的条件ZTtfff（u，Дu，u）du+hhh（T）, （6.10）和h（t，Γ，q，M）=a（t，νt，t）qqq+tr[bb（t，νt，t）MMM]+fff（，Д，t），（6.11），其中qqq=（qqq，…，qqn）∈ r和对称N×N矩阵MMM=（MMMij）1≤i、 j≤N、 那么我们有zt（，t）=JJJ（t，νt，t）- E，tZTt（zu（u，u）+H（u，u，qqq，MMM，ν））du.我们给出了第一项asZτntfff（u，u，νu）du=Zτnt（fff（u，u，νu））+du-Zτnt（fff（u，u，νu））-杜。考虑到EZT（fff（u，u，νu））-du<+∞ .我们通过单调收敛定理得到→∞EZτnfff（u，u，Дu）du=EZTtfff（u，u，Дu）du。根据以下条件：zt（，t）+H（，t，qqq，MMM）=0，（6.12）和汉密尔顿函数H（，t，qqq，MMM）=supД∈ΘH（，t，qqq，MMM，Д）。

（6.13）然后z（，.）becomesz（t，t）=JJJ（t，νt，t）+E，tZTt（H（，u，qqq，MMM）- H（，u，qqq，MMM，ν））du.此外，考虑到这一点，tsupn≥1（z（Иτn，τn））-≤ E，tsup0≤t型≤T（z（ИT，T））-≤ +∞ .由此，我们得到了Fatou引理→∞E，tz（Иτn，τn）≥ E，tlimn→∞z（Иτn，τn）=E，tz（ИT，T）=E，thhh（T）。最后，我们得到了thatz（，t）≥ E，tZTtfff（Иu，u，Дu）du+hhh（T）= J（，t，Д）。z（，t）≥ JJJ（，Д，t）。因此，z（，t）≥ J*（，t）对于所有0≤ t型≤ T同样，将（6.9）中的Д替换为Д*由H定义- Hwe obtainz（，t）=E，tZτntfff（Дu，u，Дu）du+E，tZ（*τn，τn）。条件Himplies the sequence（z（*τn，τn））n∈Nis一致可积。因此，由（6.7）limn→∞E，tz（*τn，τn）=E，tlimn→∞z（*τn，τn）=Ez（T，T）=E，thhh（*T） ，我们得到z（，T）=limn→∞E，tZτntfff（*u、 u，ν*u） du+limn→∞E，tz（*τn，τn）=E，tZTtfff（*u、 u，ν*u） du+hhh（*T）= J（，t，Д）*) .我们到达z（，t）=J*（，t）。这证明了定理6.2。备注6.1。定理6.2与[2]验证理论的不同之处在于，函数fff和hhh为正，但从对数效用来看，这些函数为负。因此，我们不能直接使用[2]中的验证定理。7证明7.1定理4.1的证明现在，通过取（3.8）中定义的z（，t）对t和的导数，并将其应用到方程（3.5）中，我们得到了˙g（t）s+˙f（t）+rρ（t）+dXk，i=1（<σ>ki（gki+gik））- lnρ（t）- 1+dXj=1dXl=1Ajlsl<（g+g）s>j+ρ（t）bs（σσ）-1bs=0，其中点“·”表示一阶导数，g表示d×d矩阵定义（3.6）。

那么这就可以写成蠢货了˙g（t）+ρ（t）A（σσ）-1A级- A（克+克）s+˙f（t）+dXk，i=1<σ>ki（gki+gik））- 1.- lnρ（t）+rρ（t）=0。经过计算，我们得到s∈ Rd，f（t）=dXk，i=1<∑σ>ki（egki（v）+egik（v））+f（t），and˙g（t）+ρ（t）A（σσ）-1A级- A（克+克）s=0，g（T）=0，其中eg（T）=ZTtg（v）dv，f（T）=rt型-2t（T+1）+T（T+2）+ρ（t）lnρ（t）。上式中的最后一项可以写成ij=dXl=1<A>il（glj+gjl），=dXl=1< A>liglj+<A>ligjl.让我们用H=（hij）1表示≤i、 j≤d、 式中，h=向量（h）一个rm中的向量，其中h=（h，h，…，hm），其中h（j-1） d+i=<H>i，jand Z（t）=vect（g（t）），其中Z（j-1） d+i=gij。因此，最后一个方程变成<A（g+g）>ij=dXl=1<A>liZ（j-1） d+l+Z（l-1） d+j,=dXl=1<A>liZ（j-1） d+l+dXl=1<A>liZ（l-1） d+j，=dXl=1dXk=1< A>li{k=j}Z（k-1） d+l+<A>ki{l=j}Z（k-1） d+l.这可以用以下形式表示：vect（A（g+g））=ΓZ，其中Γ=（γs，t）和bγs，t=<A>li{k=j}+<A>ki{l=j}，其中s=（j- 1） d+i和t=（k- 1） 因此，对于所有m×m矩阵，m=d，<A（g+g）>ij=<ΓZ>ij，其中Γ=（bγs，t）1≤s、 t型≤m、 因此，方程式（3.6）可以写成˙Z- ΓZ+ρ（t）eb=0，Z（t）=0，其中eb=向量（A（σσ）-1A）∈ Rm。因此，Z（t）的解为nbyz（t）=ebZTtρ（v）eΓ（v-t） dv。（7.1）这证明了定理4.1。7.2定理4.2的证明我们将验证定理6.2应用于随机控制微分方程（2.3）的问题（2.4）。对于固定u=（α，c），其中α∈ Rdandc公司∈ [0, ∞), 模型（6.1）中的系数定义为ˇa（，u）=接收- αbs- cAs,ˇb（，u）=ασσ, hhh（x）=ln x。这意味着立即出现条件H）。此外，根据定义（6.1），系数是连续的，因此（6.4）适用于美国∈ 五、 检查h）- H） 我们计算了问题（2.4）的哈密顿函数（6.4）。

WehaveH（，qqq，MMM）=supu∈Rd×R+H（，qqq，MMM，u），其中H（，qqq，MMM，u）=ˇa（t，，u）qqq+trtrtrtr[ˇb（t，，u）MMM]+u（c）。As<ˇbˇb>1+k，1+j=mXl=1ˇb1+k，lˇb1+j，l=mXl=1σklσjl=<σσ>kj，和trˇbˇbMMM= α∑∑∑αMMM+2dXj=1<∑∑∑α>jMMM1,1+j+dXk，j=1<∑∑>kjMMM1+k，1+j。因此，hC可以写成灰（，qqq，MMM，u）=rxqq+dXj=1esjqqqq1+j+dXk，j=1<σ∑>kjMMM1+k，1+j-Cqq+ln c+J（α），其中J（α）=ασσαMMM+dXj=1<σσα>jMMM1,1+J- αbsqqq。现在为了找到哈密顿函数，我们必须最大化H，maxαJ（α）=τ（σσ）-1τ2 | MMM |，其中τ=σσu- qqbs和u=（MMM1,1+1，…，MMM1,1+d）。因此，H（，qqq，MMM）=rxqq+dXj=1esjqqq1+j+dXk，j=1<σ>kjmm1+j，1+k-1.-lnqqq+τ（σσ）-1τ2 | MMM |。因此，HJB方程可以写成zt+rxzx+dXj=1esjzsj+dXk，j=1<∑σ>kjzsjsk- 1.- ln zx+τ（σσ）-1τ2 | zxx |=0，其中τ=τ（，t），τj=Pdl=1<σ>ilzxsl- zxbsj。取Z（x，s，t）=（t- t+1）lnx+sg（t）s+f（t），其中g和f在（3.6）中给出，我们得到˙g（t）s+˙f（t）+rρ（t）+sA（g+g）s+tr（σ（g+g））-1.-lnρ（t）+ρ（t）bs（σσ）-1bs=0。（3.8）中给出的z（，t）是HJB方程（3.3）的解。可以直接检查策略νin和（4.1）中的最优策略是否满足条件H）- H） 。现在检查条件H）我们必须验证SUP0≤t型≤TE| z（*t、 t）|<+∞ .因此，asz（，t）=（t- t+1）lnx+sg（t）s+f（t），as g（t）和f（t）是有界函数，x*由byX提供*t=x expZt公司ˇa*（u）-ˇb*（u）/2.du+Ztˇb*（u） dWu公司,然后我们必须证明SUPτ∈MtE公司| ln（X*τ） |+SτXt=x，St=s< +∞ .此外，注意sτ=e-κ（T-t） s+ξt，τ和ξt，τ=σe-κτZτteκudWu。自| Sτ|≤ |s |+|ξt，τ|，需要检查SUP0≤t型≤TE公司ln（X*t） +ξt< +∞ .根据方程式（4.2），我们得到| |a*（t） |≤ c（1+St）和| y b*（t） |≤ c | St |。因此，通过OU过程，ERT | |b*（t） | mdu≤ +∞, 这意味着ZTˇb*（u） dWu公司= EZT| |b*（u） | du≤ c因此，E | ln X*t |≤ EZT公司|ˇa*（u） |+ˇb*（u）du+sEZTˇb*（u） 杜邦< +∞ .这证明了定理4.2。

8附录R模拟代码：##定义变量ST=1r=0.01kappa=0.1kappa 1=kappa+rsigma=0.5x=100s<-seq（-10,10，length=30）t<-seq（0,1，by=.1）##函数gg<-函数（t）（-kappa1^2/2*σ^2）*（-2*kappa*exp（2*kappa*（t-t））+t-t-1+exp（2*kappa*）（t-t））-1）/（4*kappa^2））##函数ff<-函数（t）sigma^2*g（t）+t-t-（t-t+1）*log（t-t+1）##函数ZZvarsigma<-函数（s，t）log（T-T+1）+s^2*g（T）+f（T）###绘图###z<-外部（s，T，Zvarsigma）射流。颜色<-colorRampPalette（c（“蓝色”、“绿色”））nbcol<-100color<-jet。colors（nbcol）nrz<-nrow（z）ncz<-ncol（z）zfacet<-z[-1，-1]+z[-1，-ncz]+z[-nrz，-1]+z[-nrz，-ncz]facetcol<-cut（zfacet，nbcol）persp（s，t，z，col=color[FACETCCOL]，phi=30，θ=-30，xlab=“s”，ylab=“t”，zlab=“z”，ticktype=“detailed”）\\35tickType——提供每个变量的数字或值的详细信息#策略##rho<-t-t+1astar<-r+（kappa1*s^2/sigma^2）-1/rhobstar<--kappa1*s/sigmaxstar<-seq（0.1100）alphastar<-s*xstar/sigma2persp（s，xstar，alphastar，xlab=“s”，ylab=“xstar”，zlab=“alpha ^*”）cstar<-xstar/（T-T+1）persp（xstar，T，cstar，xlab=“xstar”，ylab=“T”，zlab=“c ^*”）参考文献[1]s.Albosaily&s.Pergamenschikov（2017年12月8日），Ornstein Uhlenbeck的最佳投资和消费通过电力公用事业扩展金融市场，（1712.04333v1）。arXiv，康奈尔大学图书馆，纽约州伊萨卡。[2] B.Berdjane&S.M.Pergamenchchikov（2013），《随机系数市场的最优消费与投资，金融与随机》，17，（2），第419-446页[3]M.Boguslavsky&E.Boguslavkaya（2004），《权力下的套利，风险》。[4] J.Caldeira&G.Moura（2013），《基于对的oncointegration投资组合的选择：统计套利策略》，SSRN提供http://ssrn.com/abstract=2196391.[5] D.杜菲、D.菲利波维奇和W。

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