Ornstein-Uhlenbeck价差的最优投资和消费

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英文标题：
《Optimal investment and consumption for Ornstein-Uhlenbeck spread
  financial markets with logarithmic utility》
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作者：
Sahar Albosaily and Serguei Pergamenshchikov
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider a spread financial market defined by the multidimensional Ornstein--Uhlenbeck (OU) process. We study the optimal consumption/investment problem for logarithmic utility functions in the base of stochastic dynamical programming method. We show a special Verification Theorem for this case. We find the solution to the Hamilton--Jacobi--Bellman (HJB) equation in explicit form and as a consequence we construct the optimal financial strategies. Moreover, we study the constructed strategy by numerical simulations.
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中文摘要：
我们考虑由多维Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程定义的利差金融市场。在随机动态规划方法的基础上，研究了对数效用函数的最优消费/投资问题。对于这种情况，我们给出了一个特殊的验证定理。我们以显式形式找到了Hamilton—Jacobi—Bellman（HJB）方程的解，从而构建了最优财务策略。此外，我们还通过数值模拟研究了所构造的策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Optimal_investment_and_consumption_for_Ornstein-Uhlenbeck_spread_financial_marke.pdf (1.21 MB)

2022-6-10 19:18:10 上传

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关键词：Uhlenbeck Ornstein Stein Beck TEI

对数效用下Ornstein-Uhlenbeck利差金融市场的最优投资和消费*Sahar Albosaily+andSerguei Pergamenschikov摘要我们考虑了多维Ornstein–Uhlenbeck（OU）过程定义的分散金融市场。在随机动态规划方法的基础上，研究了对数效用函数的最优消费/投资问题。对于这种情况，我们给出了一个特殊的验证定理。我们以显式形式找到了Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程的解，并以序列的形式构建了最优财务策略。此外，我们还通过数值模拟研究了所构造的策略。关键词最优性、Feynman–Kac映射、Hamilton–Jacobi–Bellman方程、It^o公式、布朗运动、Ornstein–Uhlenbeck过程、随机过程、金融市场、利差市场。AMS主题分类主要62P05，次要60G051简介本文研究了由风险利差资产产生的金融市场在固定时间间隔[0，T]内的最优投资/消费问题，风险利差资产通过一般多维Ornstein-Uhlenbeck（OU）定义*这项工作得到了RSF拨款17-11-01049（托马斯克州立大学国家研究所）的支持。+Raphael Salem数学实验室，UMR 6085 CNRS-法国德鲁昂大学和沙特阿拉伯海尔大学，ORCID iD:0000-0002-5714-7834，电子邮件：sahar。albosaily@etu.univ-鲁昂。frLaphael Salem数学实验室，UMR 6085 CNRS-法国诺曼底大学和托木斯克国立研究大学随机过程和定量金融统计国际实验室，电子邮件：Serge。Pergamenshchikov@univ-鲁昂。FRProcess（例如，请参见[3]和[1]）。

利差市场的想法可以追溯到20世纪80年代，当时摩根士丹利的Nunzio Tartaglia团队提出了成对交易的想法，以利用市场的错误定价获得收益[6]。一些研究已经使用价差的概念来检验金融市场的行为。例如，对于贵金属价差，参考文献[12]对黄金期货市场和国债期货市场的价差进行了研究。此外，还对石油市场进行了研究，如【7】研究了原油和取暖油未来价格之间的长期价格关系。配对交易的思想被广泛使用，但学术界对其的研究仍然很少。在本文中，我们关注的是配对交易的时间序列方法。[6]中提出了均值回复高斯马尔可夫链模型，[13]讨论了荷兰皇家和贝类成双交易的经典研究。此外，在其他行业，如航空业的微结构水平（例如，见[14]），许多对冲基金也知道这一点。此外，许多论文都考虑了Black-Scholes（Bl-Sch）市场和随机效用市场的这些问题（参见示例[8]、[9]、[5]和[2]）。然而，遗憾的是，由于HJB方程中与风险资产相对应的额外变量，我们无法使用[5]和[10]中提出的金融市场一般框架中使用的一系列方法。因此，在本文中，我们研究了在整个投资区间[0，T]内，对数效用函数无约束或无交易费用的最优投资/消费问题。利用随机动态规划方法求解这类问题，我们得到了显式形式的所有最优解。

为此，我们研究了Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程，并以显式形式找到其解。我们为这种情况展示了一个特殊的新验证定理，并利用该定理构造了最优策略。该模型与Black-Scholes模型的主要区别在于，在该模型中，我们在HJB方程中获得了与O-U过程相对应的额外多变量读取变量。基于这些原因，我们需要为这个优化问题开发一种新的分析工具方法。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们阐述了问题，并定义了第3节中Ornstein-Uhlencek模型的价格过程，我们编写了HJB方程。在第4节中，我们陈述了本文的主要结果。第5节给出了数值模拟。第6节阐述了相应的验证定理。附录中给出了一些辅助结果。2市场模型(Ohm, 英尺，（英尺）0≤t型≤T、 P）是（Ft）为0的标准过滤概率空间≤t型≤t自适应维纳过程W=（Wt）0≤t型≤T∈ Rm。我们的金融市场由一种无风险债券（St）0组成≤t型≤Tand风险价差股票（St）0≤t型≤t由以下等式覆盖：（dˇSt=rˇStdt，ˇS=1，dSt=AStdt+σdWt，S>0，（2.1），其中r≥ 0是无风险资产的利率，d向量风险资产ST=（S（t），S（t），S（t），标准布朗运动（Wt）0≤t型≤t对于Rm中的值，波动率σ是一个d×m矩阵，因此（σσ）-1存在，且d×d均值回复矩阵A由A给出=aa。a1daa。a2d。。。。。。ad1ad2。添加, （2.2）具有负实特征值，即Reλi（A）<0。现在让αt为无风险资产的数量，αt=（α（t），α（t），αd（t））∈ Rdbe目前的风险资产数量0≤ t型≤ T，消耗率由非负积分函数（ct）0给出≤t型≤T【8】。

因此，财富过程x=αtˇSt+αtStis由dxt=αtdˇS+αtdSt给出- ctdt，可写为DXT=（rXt- αtbS- ct）dt+αtσdWt，（2.3），其中bS=AS=（bS，…，bSd）∈ RDA=rId- A、 素数表示换位。注意，在这种情况下，矩阵Ais是可逆的，即存在-1、在本文中，我们使用对数效用函数，即我们需要对容许策略进行以下定义。定义2.1。策略ν=（νt）0≤t型≤如果方程（2.3）具有唯一的正强解，且下列条件成立，则称为可容许ZT（ln ct）-dt公司< +∞ 和E sup0≤t型≤Tln（Xνt）-< +∞ .我们用V表示所有可容许策略的集合。现在对于任何∈ V和=（X，S）∈ RN，其中N=d+1，我们将目标函数定义为jjj（，ν）：=EZT（ln cu）du+$ln（XДT）,其中，E是条件==（x，s）下的期望值。我们在本文中的目标是最大化这个函数，即JJJ*（） ：=支持∈VJJJ（，Д）。（2.4）为了研究这个问题，我们使用了随机动态规划方法。为此，我们需要研究值函数（JJJ*（，t））0≤t型≤Tde定义为asJJJ*（，t）=supД∈V，tZTt（ln cu）du+$ln（XДT）,其中$>0和E，是条件==（x，s）下的期望值。因此，我们需要研究下一节中给出的HJB方程。3 Hamilton–Jacobi–Bellman方程表示为t=（Xt，St）∈ r其中n=d+1，我们可以将公式（2.1）和（2.3）中给出的财富和股票方程分别改写为以下形式dt=ˇa（t，Дt）dt+ˇb（t，Дt）dWt，=，（3.1），其中∈ RNandˇb是N×m函数的矩阵，对于任何=（x，s）∈ RNˇa（，u）=接收- αAs- cAs和ˇb（，u）=ασσ,使用控制变量u=（α，c）和α∈ RDC>0。现在，对于anyqq=（qqq。

，qqqN）∈ RNand N×N对称矩阵MMM=（MMMij）1≤i、 j≤N、 weset Hamilton函数asH（，qqq，MMM）：=supu∈ΘH（，qqq，MMM，u），Θ∈ Rd×R+，（3.2），其中h（，qqq，MMM，u）：=ˇa（，u）qqq+tr[ˇb（，u）MMM]+ln c。为了研究问题（2.4），我们需要求解HJB方程，该方程由zt（，t）+H（，z（，t），z（，t））=0，t∈ [0，T]，z（，T）=$ln x，∈ RN，（3.3）其中z（，t）=（zx，zs，…，zsd）∈ RNand公司z（，t）=zxxzxszxs。zxsdzxszsszss。zssd。。。。。。ZXSDZSDSDSDS。zsdsdN×N.要计算汉密尔顿函数（3.2），请注意h（，qqq，MMM，ν）=（rx- αbs- c） qqq+dXi=1esiqqq1+i+α∑∑αMMM+2dXi=1<∑∑∑α>iMMM1,1+i+dXk，i=1<∑∑>kimm1+k，1+i+ ln c，其中es=As=（es，…，esd）∈ Rd.符号ID表示向量X的ITH元素，<Y>IJ表示矩阵Y的（i，j）元素。注意，由于（3.2），如果MMM≥ 0或qqq≤ 0则哈密顿函数H（，qqq，MMM）=+∞. 因此，我们在MMM＜0和qqq＞0的条件下，使α和c上的函数H（，qqq，MMM，ν）最大化。我们得到这个最大化问题的最优值由α（s，qqq，MMM）=（σσ）给出-1τMMMand c（s，qqq，MMM）=qqq，（3.4），其中τ=qqqbs- σσu和u=（MMM1,1+1，…，MMM1,1+d）。现在我们将αIandc替换为Hto以获得Hamilton函数，因此我们得到h（，qqq，MMM）=rxqqq- lnqqq+τ（σσ）-1τ2 | MMM |+dXi=1esiqqq1+i+dXk，i=1<σ>kimm1+i，1+k- 1.根据前面的Hamilton函数和HJB方程（3.3），我们得到了zt+rxzx+τ（σσ）-1τ2 | zxx|- 1.- ln zx+dXi=1esizesi+dXk，i=1<∑σ>kizisk=0，（3.5），其中z（，T）=ln x表示任何∈ R+×Rd。要写出这个方程的解，我们需要引入d×d矩阵g=（gij）1≤i、 j≤D是以下微分方程的解˙g+ρ（t）A（σσ）-1A级- A（g+g）=0，g（T）=0。（3.6）此处，点“·”表示导数。

此外，我们设置f（t）=dXk，i=1<∑σ>ki（egki（v）+egik（v））+f（t），（3.7），其中eg（t）=RTtg（v）dv，f（t）=rt型-2t（T+1）+T（T+2）+ρ（t）lnρ（t）和ρ（t）=t-t+1。我们证明方程（3.5）具有以下解z（x，s，t）=ρ（t）ln x+sg（t）s+f（t）。（3.8）备注3.1。正如我们在HJB方程中看到的，附加变量s∈ RDI是与Bl Sch市场的主要区别。4主要结果首先，我们必须研究HJB方程（3.5）来计算值函数（2.4）。定理4.1。函数（3.8）满足HJB方程（3.3）。此外，为了构造最优策略，我们设置了ˇα、 t型= α(, zz） =-(σσ)-1bsx和ˇc（，t）=c（，zz） =xρ（t）。回想一下，bs=As=（bs，…，bsd）∈ Rd.利用这些函数，我们确定了最佳策略*= (α*, c*) asα*（t） =ˇα（*t、 t）=（σσ）-1bStX*接地c*（t） =ˇc（*t、 t）=X*tρ（t）。（4.1）此处*t=（X*t、 St）和X*这是由以下随机微分方程dx定义的最优财富过程*t=X*助教*（t） dt+X*t（b*（t） ）载重吨，X*= x，（4.2）其中*（t） =r- bst（σσ）-1bst公司-ρ（t）和b*（t） =σ-第1节。现在，我们证明这些过程是问题的最优解（2.4）。定理4.2。过程（4.1）和（4.2）是问题（2.4）和j的最优策略*（x，s，t）=z（x，s，t）=ρ（t）lnx+sg（t）s+f（t），（4.3），其中ρ，g和f在（3.6）中给出。示例1。对于一维情况，无风险资产和风险资产分别由（dˇSt=rˇStdt，S=1，dSt=-κStdt+σdWt，S>0，（4.4），其中r≥ 0是无风险资产的利率，κ>0和σ分别是风险资产的平均回复速度和波动率。

因此，当κ=κ+r>0时，最优策略和HJB方程由α给出*（t） =ˇα（*t、 t）=-κStX*tσ和c*（t） =ˇc（*t、 t）=X*tρ（t）。此外，本例中的差异财富过程由DX给出*t=X*助教*（t） dt+X*tb*（t） dWt，何处*（t） =ˇa（St，t）=r+κSt/σ- 1/ρ（t）和b*（t） =ˇb（St，t）=κSt/σ。示例2。对于多维情况，市场资产由（dˇSt=rˇStdt，S=1，dSt=AStdt+σdWt，S>0）给出，（4.5），其中r是无风险资产的利率，Stis a d-风险资产的维度向量St=（S（t），S（t），S（t），Sd（t））∈ Rd，（Wt）是标准布朗运动，值为Rd，市场波动矩阵σ=diag（σ，σ，…，σd），均值回复矩阵A由A给出=aa。a1daa。a2d。。。。。。ad1ad2。添加,具有负实特征值，即Reλi（A）<0。最优财富过程（X*t） 0个≤t型≤由以下随机方程dx确定*t=X*助教*（t） dt+X*t（b*（t） ）载重吨，X*= x，何处*（t） =r+dXi=1bSi（t）σi-ρ（t），b*（t） =（b*（t） ，b*d（t））和b*i（t）=bSi（t）σi。使用前面的随机微分方程，最优策略ν*= (α*, c*) 对于所有0≤ t型≤ T的形式为：α*i（t）=ˋαi（*t、 t）=-bSi（t）X*tσi和c*（t） =ˇc（*t、 t）=X*tρ（t），（4.6）式中，α是无风险资产的数量，αt=（α（t），α（t），αd（t））∈Rdbe目前的风险资产数量S 0≤ t型≤ T备注4.1。应该注意的是，这些最优策略的行为由转换后的传播过程BST=ASt描述。在scalarcase中，这与St相同。然而，在一般多维情况下，我们需要考虑扩散过程的所有组成部分。图1：value函数。5 1的数值模拟-尺寸大小写。图1显示了等式给出的值函数z（，t）。(3.8).

使用了以下参数：T=1，r=0.01，κ=0.1，σ=0.5，初始禀赋x=100。现在，我们模拟最优策略α*接地c*t根据等式（4.1）得出最优财富过程x*t、 在以下图表中，我们使用不同的参数来显示具有不同R、κ和σ值的策略行为。如下图所示，当k值较大时，财富过程的行为会不断增加（见图3a和图5a）。然而，很明显，如图2a和图4a所示，当κ的值非常小时，财富过程正在减少。此外，我们还发现，投资过程中的波动性随分数κ/σ的增加和减少而增加。因此，图中的波动范围（图2b、图3b和图4b）小于图5b，图5b跃升至4000点。这是因为我们从分数中得到的数字更高，接近50。（a） 财富过程X*t、 （b）最优投资α*t、 （c）最佳消耗量c*t、 图2：σ=1、r=0.01和κ=0.5时，参数α和c的财富过程。（a） 财富过程X*t、 （b）最优投资α*t、 （c）最佳消耗量c*t、 图3：当σ=5、r=4和κ=5时，财富过程的参数为α和c。（a） 财富流程X*t（b）最优投资α*t、 （c）最佳消耗量c*t、 图4：当σ=20，r=0.01，k=0.5，n=1000时，财富过程的参数为α和c。（a） 财富过程X*t、 （b）最优投资α*t、 （c）最佳消耗量c*t、 图5：当σ=0.1，r=0.01，k=5，n=1000.6验证理论时，财富过程的参数为α和c。现在，我们对[2]中的验证定理进行了一些修正。

考虑区间[0，T]，N给出的随机控制过程-维数t^o过程（dУt=a（Уt，t，Д）dt+'b（t，Уt，Д）dWt，t≥ 0，Д=x∈ RN，（6.1），其中（Wt）0≤t型≤Tis a标准m-多维布朗运动。我们假设控制过程ν取某个集合Θ中的值。此外，我们假设系数a和b满足以下条件：V）对于所有t∈ [0，T]，函数ˇa（，T，.）和ˇb（，，t，，，）在rn×Θ上是连续的；其中Θ∈ R×R+。五） 对于每个确定性向量ν∈ Θ，随机微分方程dУt=a（Уt，t，Д）dt+b（Уt，t，Д）dWt，（6.2）具有唯一的强解。现在，我们介绍方程（6.1）的容许控制过程。定义6.1。我们设置ft=σ{Wu，0≤ u≤ t} ，对于任何0<t≤ T、 其中，随机控制过程ν=（νT）T≥0=（αt，ct）t≥对于方程式（6.1），如果0为（Ft）0，则称为[0，T]可容许≤t型≤t可通过Θ中的值进行测量，等式（6.1）具有唯一的强a.s.连续解（νt）0≤t型≤Tsuch thatEZT（fff（u，u，νu））-dt<+∞ , E sup0≤t型≤T（hhh（ИT））-< +∞ , （6.3）和ZT（| a（Дu，u，Дu）+|b（Дu，u，νu）|）dt+ZT | fff（u，u，Дu）| du<∞ a、 s。（6.4）我们用V表示关于方程式（6.1）的所有容许控制过程集。此外，设fff:Rm×[0，T]×Θ→ [0, ∞) 和hhh:Rm→ [0, ∞) becontinuous效用函数。我们通过jjj（x，t，ν）=Ex，t来定义成本函数ZTtfff（，u，Дu）du+hhhИT, 0≤ t型≤ T、 式中，Ex是以νT=x为条件的期望运算符。我们的目标是解决JJJ给出的优化问题（2.4）*（x，t）：=supД∈VJJJ（x，t，ν）。为此，我们引入了哈密顿函数，即。