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多分数布朗运动（5）是azero-mea连续高斯过程，满足局部渐近自相似性质[25]：在任何时间τ∈ R、 我们有Lim→0+1BH，σ（τ+t）- BH，σ（τ）Hτt型∈R= LB（Hτ，στ）（t）t型∈R, （8） 式中，L表示“的分布”，这意味着存在一个分数布朗运动，其赫斯特指数Hτ和波动率στ与多分数B布朗运动BHσ相切。这意味着它的点态H¨olderregular特性由它的Hurst expo内特决定。这里，我们假设参数函数H和σar平滑，其特征变化时间Tso为wr iteHt=HtT, σt=σtT,其中，H，σ在一阶标度上相对于其无量纲参数有变化。回顾第2.1节，我们假设我们考虑移动窗口中的数据，其中第k个窗口，k=1，N- M+1，中心时间τ和宽度Mt、 在（1）中的数据上下文中，我们将t型<< T、 然后，在分布中，我们对每日记录的对数价格记录进行建模（1）bya（k）（i）=log（P（ti+k））=Zti+k+t/2ti+k-t/2B（h，s）（t）dt，i=0，M- 1，（9）h=hτk，s=στk。也就是说，将（1）中的数据建模为过程B（h，s）（t）相对于Haar小波基的水平近似系数。B用标度谱估计幂律。我们解释了如何从（1）中的对数价格数据估计局部幂律参数的细节，这些数据如（9）中所示建模。输入参数是整数ji<je，用于确定在约束条件下的标度范围、惯性范围和窗口大小M，窗口大小M是计算局部光谱的移动时间窗口的大小。我们必须有1个≤ ji<je≤ 米/2. （10） 我们的工作如下：1。

计算尺度谱S（k）=（S（k）j）jej=jia S小波系数的局部均方：S（k）j=NjNj-1Xi=0d（k）j（i）, （11） 其中nj=M- 2j+1，（12）d（k）j（i）=√2jj公司-1Xl=0a（k）（l+i）- a（k）（l+i+j）。(13)2. 确定（je-ji+1）-维向量Y（k）和（je-ji+1）×2维矩阵X asY（k）=log（S（k）ji），···，log（S（k）je）T、 （14）X=1对数（2ji）1对数（2（ji+1））。。。。。。1个日志（2je）, （15） 对于a（je- ji+1）×（je- ji+1）-维度权重矩阵R计算回归参数^b（k）=（^c（k），^p（k））Tde，由^b（k）=（XTR）确定-1X）-1XTR-1Y（k）。（16） 在（16）中，矩阵X是设计矩阵，R是最小二乘加权矩阵，Y（k）是广义最小二乘问题的数据向量，该问题允许识别局部幂律参数。计算局部赫斯特指数和波动率估计值asbH（τk；R）=^p（k）- 1，（17）bσ（τk；R）=^c（k）/2qh（bH（τk；R））。（18） 在（18）中，标度系数标度函数h由（3）定义。对于形式为（q>0）的对角加权矩阵，Rqjj=jqj（j），j，j∈ {ji，…，je}，计算机（k）=argmaxR∈{R，R}bH（τk；R）,并通过bH（τk）=bH（τk；R（k）），（19）bσ（τk）=bσ（τk；R（k））获得ro总线t参数估计。（20） 我们注意到，在（17）中，我们可以用min（max（bH（τk；R），0.05），0.95）作为估计的阈值，以避免任何奇异行为。还要注意的是，为了获得鲁棒估计量，我们使用了两个对角加权矩阵的组合，有关此过程的鲁棒性和精度的讨论，请参见[28]。C多重分形的局部度量[2]作者使用多重分形去趋势函数分析（MF-DFA[3]）来检测多重分形。对于给定的持续时间s，这等于将时间序列划分为持续时间s的相等子段，并从时间序列中减去每个子段的m阶多项式。

然后，计算每个分段的去趋势数据方差。如果总数据长度为，则每个小节中去渲染数据的方差用f（s，v）表示，v=1，Ns=不适用.对于一般力矩q>0，比例谱的模拟形式为Fq（s）=（NsNsXv=1F（s，v）q/2）1/q。根据modellog（Fq（s））=log（a）+H（q）log（s）进行线性回归，以获得广义赫斯特指数H（q）。在单分形情况下，广义赫斯特指数H（q）应与q无关（因为F（s，v）应与v无关），且应等于实际赫斯特指数。在[2]中，作者对每一个低价和高价时期（2013年2月之前和之后）的比特币价格和收益进行了这样的分析。他们发现，第一个时期的多重分形程度更高，这反映在广义赫斯特指数的更高离散度上。回报和价格都是如此，此外，作者（通过随机抽样方法）确定，在低价格和高价格时期（即2013年2月前后），厚尾是多重分形的主要来源。在此，我们使用修改后的广义赫斯特指数进行相关分析。首先，我们要跟踪实际的多重分形特征，即赫斯特世博会期间的变化，这就是为什么我们使用移动窗口而不是“全局”分析的原因。其次，我们要查看所有标度的标度结构，因此不要减去合适的趋势多项式。为了检测每个窗口内的剩余多重分形，我们通过j（q）=nNjNj形成广义尺度谱-1Xi=0 | dj（i）| qo2/q，（21），其中我们抑制了对窗口的依赖（中心点τk）。

当基本过程是具有赫斯特指数Hwe have的分数布朗运动时（提供Nj>> 1使Sj（q）≈ E[| dj（1）| q]2/q）：日志Sj（q）≈qlog第二季度√πΓq+1+ log（σh（h））+j（2H+1）。（22）对于一个二进制过程，我们通过对该模型的线性回归得到了一个广义的赫斯特指数H（q）：logSj（q）= 对数（A）+j（2H（q）+1）。由（22）可知，当基本过程为单分形布朗运动时，该广义指数与q无关。在图9中，我们将比特币数据的H（q；τk）表示为窗口中心点τk的函数。我们可以看到2013年初第一个高赫斯特指数时期出现了一定程度的窗口内多重分形，此外，就在Mt.Gox被入侵之后，出现了相当高的窗口内多重分形。然而，一般而言，窗内多重分形的程度相对较低。我们注意到，对于有限的窗口宽度，一般化的Hurst分量估计中存在q依赖性偏差（如分数布朗运动的直接计算所示），因此为了检验多重分形变量的稳定性并消除这种偏差，我们将曲线与q=2的曲线平均值相关。D尾部和边缘效应在本附录中，我们表明赫斯特指数中的波动，作为多重分形的度量，不是由于尾部或边缘非高斯效应。原始原木价格差异如图10所示。直方图显示出严重的尾部分布。我们通过对数价格差异的高斯边际变换进行正则化。注意，原木价格是不同的，然后进行转换（见图11），正则化原木价格是通过积分创建的（见图12），随后在多尺度分析中使用，如前所述。

我们可以在图13中看到，幂律参数本质上是原始数据和正则化（高斯化）数据的参数。唯一的微小变化是，与直接处理原始数据的ca se相比，应用于正则化数据的程序似乎稍微高估了较大的H值。其他调节方法（如正负两个标准差的收敛）给出了相同的结果。2012 2014 2016 2018年0.20.30.40.50.60.70.80.9Hurst指数RegulationizeDraw-0.5 0 0.5回报值0.050.10.150.2经验价值分布图10：比特币存在整个时期的对数价格差异和柱状图（右）。关于混沌行为，我们可以在嵌入维1的线性齐次系统的最简单情况下，将混沌系统视为xn+1=aXn+σn，X=X，具有独立且相同分布的标准高斯噪声项的序列。关联的李雅普诺夫指数为λ=对数（a）。

如果λ>0，则我们有一个混沌系统和指数增长：St.Dev[Xn]=σse2λn- 1e2λ- 1.2012 2014 2016 2018年-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050.050.10.150.2调整后的原木价格差异-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3回报值0.010.020.030.040.050.060.070.08调整后的价值分布图11：整个比特币存在期间的调整后的原木价格差异（左）和柱状图（右）。2012年2014年2016年2018年2月原始和正规化原木定价数据正规化绘图图12：原始（红色）和正规化（蓝色）原木价格。2012 2014 2016 2018年0.20.30.40.50.60.70.80.9Hurst指数RegulationizeDraw2010 2012 2016 2018 2020yearvolatibility in%per dayRegulationizeDraw图13：原始收益率（红色）和正则化收益率（蓝色）的Hurst指数（左）和日波动率（右）。如上所述，我们从全局谱（见图4）中发现，高斯情况下的有效回程应建模为F r作用布朗运动的增量，Hurst指数H=。6、在连续限制中，我们可以对价格过程建模byP（nt） =pexpσBH（nt）,我们有。偏差【P（nt） ]=pexpσ| nt | 2H1.- 经验值- σ| nt | 2H1/2.因此，价格过程，H=。6、以超指数增长或“超混沌”。在H<1/2的反持久性情况下，价格过程以次持久速率增长。还要注意的是，返回过程本身是分数高斯噪声，因此显示出长程相关性，然而，它是静态的，不会抑制混沌行为。