比特币市场的混乱与秩序

实际上，从下面的图4可以看出，第一尺度点相对于拟合模型略有增强。如果观测值符合常数指数H和波动率σ的函数布朗运动，则我们有S（k）j= σh（h）2j（2H+1），（2）对于h（h）=（1- 2.-2H）（2H+2）（2H+1），（3）因此S（k）j= log（σh（h））+j（2H+1）。然后，我们可以通过对数（S（k）j）的最小二乘法（线性回归）获得赫斯特指数^H（τk）和波动率^σ（τk）的估计值，如图b所示。我们注意到，估计的波动率是t时间刻度。时间尺度上的局部波动率τ=mt是bσ（τk）mbH（τk）。2.2比特币多尺度结构在图1中，左图以美元为单位显示了每日比特币价格（对数尺度），即P（tn），n=1，N、 t为2010年11月5日，t为2019年1月23日，N=3000。每年的每一天都有价格观察。数据来自网站www.coindesk。com/价格/比特币作为每日结算价格。我们看到，比特币在推出后经历了非常快速的增长，大约两年后有所缓和。然而，2014年初左右，随着Mt.Gox交易所遭到黑客攻击，g增长停滞，直到2017年初左右，一段强劲的增长期在2018年初达到最高价格。图1中的右图显示了返回值，即arrn=P（tn）- P（tn-1） P（tn-1).从图中可以看出，波动性在最初阶段是最高的，近年来有所反弹。我们通过观察下一步估计的局部幂律参数来仔细检查这些定性观察结果。在图2中，我们在左图中显示了估计的局部赫斯特指数^H（τk），在右图中显示了估计的局部波动率^σ（τk）。

这些估计值如前一节所述，窗口宽度为一年，用于计算局部尺度谱。我们看到赫斯特指数有很大的变化。在比特币2012、2014、2016、2018年原始定价数据的早期阶段，比特币2012、2014、2016、2018年-0.50.5原始收益数据比特币图1：对数标度的每日原始比特币价格（左）和相关收益，或相对价格变化（右）。2014年初Mt.Gox被黑客入侵后，波动率和Hurs t指数较高，但有所下降。在过去几年中，赫斯特指数再次上升，也可以看出，在此期间，价格波动更大。请注意，黑客事件发生后的最低价格时期大约发生在2015年年中，这是一个价格漂移相对较小的ep och。该历元大致对应于最小赫斯特指数估计。就在赫斯特指数最低、反放牧行为强烈的Mt.Gox黑客入侵事件发生后不久，检测到一个特殊事件，但其持续时间短于一年的窗口宽度。在图3中，我们在右图中显示了年度s c ale的波动率（如图2的右图所示），在左图中显示了日标度的波动率。这说明，赫斯特指数的变化是年度规模波动的主要驱动因素。

从财务角度来看，很明显，赫斯特指数的变化是最重要的，因为它在很大程度上推动了年度规模波动，这是风险的基本衡量标准。特别是，它表明，基于收益均方的波动率估计，即经验二次变化，可能有很大的偏差。图4显示了全局幂律，即当我们使用图1中所示的所有数据来计算标度谱时的情况。我们可以观察到有效参数H=的幂律。6，σ=年标度的178%。我们已经看到，比特币价格的光谱特征表现出时间变化，而且，当它们在比特币存在的整个时期内都存在时，它们会聚集在一起形成一个很好的幂律。然后很自然地会问，如何最好地进行部分聚合，将比特币价格自然地分割成幂律与每一节近似相同的节，我们将在下一节中讨论这一点。2012年2014年2016年2018年0.20.30.40.50.60.70.8赫斯特指数比特币2012年2016年2018年波动率百分比比特币图2：左图显示赫斯特指数作为估计中使用的窗中心时间的函数（因此，第一个数据点是第一次价格观察时间后半年，窗宽为一年）。右图显示了相应的估计年尺度波动率。2012年、2014年、2016年、2018年波动率（以%为单位）比特币2012年、2016年、2018年波动率（以%为单位）比特币图3：左图显示了日标度上的估计波动率，右图显示了年标度上的估计波动率-2-1年尺度-4-2价格幂律图4：全数据集估计的全球尺度谱（蓝色实线）。估计参数为H=。60, σ = 17 3%.

红色虚线是具有估计参数的幂律谱。3分段和状态切换检测考虑将完整数据集划分为宽度为MQ的Q个不相交段t、 q=1，Q（我们有pqq=1Mq=N）。我们将B中描述的估计过程应用于each段。我们用S（q）j，j表示每个窗口中估计的尺度谱∈ {j（q）i，…，j（q）e}，其中{j（q）i，…，j（q）e}是兴趣惯性范围t（我们取j（q）i=2，je=Mq/2). 我们还用估计参数（波动率σ（q）和赫斯特指数H（q））表示建模的幂律SCALE谱，参数为（q）j，j=j（q）i，j（q）e（见（2））。n我们通过（M，…，MQ）=QXq=1j（q）eXj=j（q）ij定义总光谱残差日志S（q）j- 日志S（q）j. （4） 注意：1）光谱残差的权重相对于窗口是一致的，这有助于惩罚相对较短的窗口；2） 权重与倒数标度j成正比-1，这反映了朗格销售光谱数据的较大方差。最后，我们通过一个穷举搜索（函数R的凸性未知）将R相对于竞争（M，…，MQ）最小化来估计最优分割。在图5中，我们显示了当Q=4时的分段过程的结果，我们实施了两级搜索，粗网格大小为半层，细网格大小为五天。四段H=的估计幂律参数为。58, .49, .59, .40和σ=225%、62%、145%、62%。第一个变化点（2014年1月16日）对应于MtGox的黑客攻击，而第二个变化点（2017年4月23日）对应于比特币价格第二个强劲增长期的开始阶段，大约在比特币价格达到之前的最大值时。

最终变化点（2017年12月5日）对应着比特币价格下降阶段的开始。在图6中，我们显示了与2010年、2012年、2014年、2016年、2018年、2020Year-1定价数据区域相对应的标度谱图5：将价格时间序列划分为四个时期。垂直线表示线段之间的更改点。在四个部分中。我们注意到，使用四个以上的片段不会进一步降低剩余R。值得注意的是，局部光谱具有不同的幂律行为，同时全局光谱具有als o幂律行为（图4）。Hurstestimates的精度可以通过分数布朗运动获得的精度来评估。对于图6中四个窗口对应的数据的窗口大小，这给出了赫斯特指数的相对标准偏差，前两段的相对标准偏差约为7%，后两段的相对标准偏差约为10%。此外，前两段的偏差可以忽略不计，而后两段的偏差大约为-.03、估计值近似高斯分布，因此，可以说H的第一、第三和第四个估计值与H=1/2.4加密货币多尺度相关性存在显著差异。我们接下来考虑比特币价格与其他一些加密货币的相关性。考虑的其他两种加密货币是以太坊和Ripple。我们在图7中显示了2016年1月1日至2018年12月29日期间存在的三种货币（主要对数价格）。我们考虑了分别对应于2016年、2017年和2018年的三个时期。

在前一节中估计的比特币价格制度的背景下，这分别对应于（i）相对效率和小持续性（ii）强持续性和增长刺激（iii）强反持续性和显著价格下跌的时代。我们首先计算对数价格时间序列近似系数的相关系数，这是第2-1年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-3年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-2年的平均值-1年的平均值-6年的平均值：四个估计时期的平均值（蓝色实线）。估计参数适用于四个时期H=。58, .49, .59, .40和σ=225%、62%、145%、62%。j=0，…时，长度2jj区间的原木价格s，近似系数给出了不同尺度下的价格水平变化，二元尺度介于1天和1 6天之间。我们注意到，在一年的日常观测中，这相当于相对精度约为5%到20%。案例j=0对应于时间序列相关性的经典度量。结果显示在图8的顶部子图中。相对效率的第一个时期与较小的加密货币相关性相关。此外，比特币与以太坊的相关性始终强于与Ripple的相关性，并且随着规模的变化，相关性稳定。底部的子图显示了差异系数的相关系数，即（13）中j=1，4、j=1的情况大致相当于每日收益，而其他量表给出了较长量表的收益衡量指标。

在一般情况下，差异系数的相关系数小于近似系数的相关系数，且与标度相关的变量更高。事实上，与相对效率相对应的第一个时期的相关系数很小。总体而言，比特币与其他两种货币在强持久性或反持久性时期的相关性与resp-ct-toscale的相关性增强，而以太坊和Ripple之间的相关性与s c ale相比，几乎没有明显的系统变化。2016 2016.5 2017 2017.5 2018 2018.5 2019-2TheriumRippleBitConfigure 7：考虑的三种货币的价格；顶部（橙色）线：比特币；中间（蓝色）线：以太坊；底部（红色）线：涟漪。垂直轴处于对数刻度，但直线移动到一个共同的平均水平。5比特币多重分形我们简要评论了比特币价格的局部多重分形测度，并在C中对此进行了更详细的讨论。我们将（11）中的sc ale谱推广到（21）中定义的q矩sca le谱Sj（q）。

然后我们就可以，就像前面的情况，q=2，通过线性回归估计赫斯特指数，以天为单位-0.20.20.40.60.8相关比特币以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太天-0.20.20.40.60.8相关比特币以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪以太涟漪图8：上图显示了近似系数的相关系数在2016年、2017年和2018年这三年（从左到右），底部图显示了差异系数的相关系数。（re d）交叉是以太坊和Ripple之间的相关系数，以太坊和比特币之间的（蓝色）星，Ripple和比特币之间的（黑色）钻石。关于对数标度谱的标度。在下面的过程是分数布朗运动并且我们有一个很长的数据集的情况下，这个估计独立于q，而强q依赖性是多重分形的度量。我们给出了图9中q的各种值的赫斯特指数估计的结果。我们注意到，与戈克斯山相关的时代与高度的多重分形性有关。

因此，该度量确定了与黑客相关的特殊时期，该时期不仅通过赫斯特指数的变化来区分自己，而且还短暂偏离了“纯”分数尺度结构，甚至局部偏离。2012 2014 2016 2018年0.20.30.40.50.60.70.80.9Hurst指数图9：q∈ {1/4, 1/2, 3/4, 1, 2, 3, 4}.6结论我们对比特币货币进行了基于尺度的分析，并给出了多尺度相关性的相关度量。根据这种相关性和“超混沌”行为，可以理解暗电流中强烈的生长刺激。我们已经证明，我们观察到的分数或异常差异行为可以归因于固有的时间相关结构，而不是非高斯边缘特征。该分析是使用基于Haar小波的方法进行的，该方法可以跟踪价格相关特性的局部变化。我们发现，价格相关性结构的变化可用于估计价格演变中相对结构稳定性的特征时期。我们使用scalespectrum及其在波动率和赫斯特指数方面的参数化（我们称之为市场羊群指数）作为工具来确定价格演变的四个主要时期。大约有两个赫斯特指数大的时代。这是由相对较大的价格波动所决定的，其间大约有一个赫斯特指数时期。其特点是价格水平相对稳定。最后，有一个相对性强的反persis itence或负相关的re-returns时代，与最近的价格衰退时代相对应。相对效率的第二个时代是在exchange平台Mt遭到黑客攻击之后开始的。

Gox，持续约3.5年。我们分析的一个主要结果是，在比特币存在的整个时期（大约七年），标度谱符合赫斯特定律的均匀幂律。6这比考虑股票市场[23]或经典货币市场[24]时获得的典型值要大。我们还引入了多重分形的度量，在与Mt.Gox hack相关的时代，这种度量确实相对较强。此外，我们还引入了一种基于尺度的相关性度量，并利用该度量来分析比特币与其他两种加密货币之间的相关性。我们特别注意到，比特币和Ripple之间基于规模的回报率的相关性表明，在高效市场中，一致性随着规模的增加而增加。我们最后重申，关注比特币的日内价格也很有意义。在这里，我们重点关注每日价格的光谱特征，当兴趣时间范围为多天时，这一特征非常重要。人们可以预期会有额外的高频日内光谱特征，这些特征可能与常见货币和电子公平市场的n有所不同。我们不考虑日内影响，但我们注意到，本文所述的数据分析工具也可用于考虑此类日常特殊特征。致谢这项工作部分得到了ul Lusenn、中心古诺、基金古诺、巴黎萨克莱大学（chaire D\'Alembert）的支持。参考文献[1]S.Nakamoto，《比特币：对等电子现金系统》，https://bitcoin.org/en/bitcoin-paper (2008).[2] S.Lahmiria，S.Bekiros，《比特币市场中的混沌、随机性和多重分形》，混沌、孤子和分形106（2018）28–34。[3] J.W.Kantelhardt，S.A.Zschiegner，E.Koscielny Bunde，S.Havlind，A.Bunde，H.E。