基于签名支付的衍生品定价

扩充pathbXt=t、 Xt，tTX然后将是一个满足SDEdbX=u（bXt）dt+V（bXt）·dwt的扩散过程，其中W是标准布朗运动，u：R→ R、 V：R→ 由u（x，x，x）给出的罕见值：=1、XT、rx, V（x，x，x）=（0，0，σx），初始条件为bx=（0，0，x）。在本节中，我们将定义Φ（t，x）：=EQ[S（bX[0，t]）| x=x]间隔[0，t]内增广路径bX的风险中性测量下的预期签名，以初始值为条件，其中签名是在Stratonovich意义上理解的。我们的目标是确定Φ（T，X），其中X为现货价格，T>0为到期时间。那么，“签名付款”的公允价值为ZT（Φ（T，X））。结果表明，函数Φ满足抛物线偏微分方程，如【7，定理4.7】所示。定理5.1。设X为d维It^o扩散过程dxt=u（Xt）dt+V（Xt）·dwt，具有k维布朗运动和u（X）=（u（i）（X））1≤我≤d、 V（x）=（V（j）i（x））1≤我≤k、 1个≤j≤d、 假设u和V满足全局Lipschitz条件。设A为过程X的最小生成元，Φn（t，X）表示Φ（t，X）=Ex[S（X[0，t]）]∈ T（（Rd））。那么，Φn：[0，T]×Rd→（Rd）Nstatis表示以下抛物线PDE，对于每n≥ 2:(-t+A）Φn（t，x）=-dXj=1u（j）（x）ej Φn-1（t，x）-dXj=1dXj=1V（j）（x）TV（j）（x）ej xjΦn-1（t，x）-dXj，j=1V（j）（x）TV（j）（x）（x）ej ej公司 Φn-2（t，x）和Φ（t，x）满足(-t+A）Φ（t，x）=-dXj=1u（j）（x）ej.此外，对于n，Φn表示初始条件Φn（0，·）=0≥ 1，和Φ≡ 利用上述定理，我们现在可以陈述并证明一个定理，该定理给出了Black-Scholes模型预期签名的显式递归关系。定理5.2。让X遵循（3）给出的动力学，利率r和波动率σ为常数。

Considerits增广pathbX∈ Ap（[0，T]），并确定截至时间T的预期特征码和起始值x，Φ（T，x）：=E[S（bX[0，T]）；x=x]。定义En（t）：=经验nr+n（n- 1)σt型对于0≤ t型≤ 给定一个字母为{1，2，3}的单词I，让α（I）表示I中字母2或3的出现次数。然后，存在一个函数F：[0，T]→ 对于长度至少为1的每个单词I，我们有πI（Φ（T，X））=Xα（I）πI（F（T））。（4） 此外，F的一阶项由F（t）=te+X（exp（rt）给出- 1） e+Xte/T，对于n≥ 2 F的第n项具有以下特征：1。π（1，i，…，in）（F（t））=RtEα（（1，i，…，in））（s）π（i，…，in）（F（t- s） ）ds。π（2,1，i，…，in）（F（t））=（r+σα（（1，i，…，in）））RtEα（（2,1，i，…，in））（s）π（1，i，…，in）（F（t- s） ）ds。π（2,2，i，…，in）（F（t））=（r+σα（（2，i，…，in）））RtEα（（2,2，i，…，in））π（2，i，…，in）（F（t- s） ds+σRtEα（（2,2，i，…，in））（s）π（i，…，in）（F（t- s） ）ds。π（3，i，…，in）（F（t））=tπ（1，i，…，in）（F（t））。证据假设X遵循（3）中给出的动力学。那么，X的形式为xt=Xexpr-σt+σWt.因此，Xtis对数正态分布，Xt的矩由E[Xnt]=XnEn（t）精确给出。过程Bx是一个三维It^o扩散过程，漂移u（x，x，x）=（1，x/T，rx）和挥发度yv（x，x，x）=（0，0，σx）。此外，请注意，具有初始值（x，x，x）的预期签名与x和x无关。因此，根据定理5.2，Φ（t，x）满足以下n的PDE≥ 2，对于（t，x）∈ [0，T]×R：(-t+A）Φn=-（e+rxe+Xe/T） Φn-1+σxe xΦn-1+σxe e Φn-2.,和Φsaties(-t+A）Φ=-（e+rxe+Xe/T），其中A是Bx的微型发生器。此外，Φ≡ 1和Φn（0，·）=0。设置fn（t，x）=（e+rxe+Xe/t） Φn-1（t，x）+σxe xΦn-1（t，x）+σxe e Φn-2（t，x）forn≥ 2，f（t，x）=e+rxe+Xe/t。

根据费曼-卡克公式，Φn将由Φn（t，X）=ZtE[fn（t- s、 Xs）]ds。对于n=1，我们有：Φ（t，X）=ZtE[f（t- s、 Xs）]ds=Zt（e+rE（s）e+Xe/T）ds=te+X（exp（rt）- 1） 因此，对于I=（1），I=（2）或I=（3），我们有πI（Φ（T，X））=Xα（I）πI（F（T）），其中π（1）（F（T））：=T，π（2）（F（T））：=exp（rt）- 1和π（3）（F（t））：=t/t。现在假设πI（Φ（t，X））=Xα（I）πI（F（t））适用于长度严格小于n的所有单词I。我们将证明它也适用于长度为n的单词，其中n≥ 2、我们将区分四个步骤案例1：I=（1，I，…，in）。在这种情况下，π（1，i，…，In）（fn（t，x））=π（i，…，In）（Φn-1（t，x））=xα（（i，…，in））π（i，…，in）（F（t）），因此π（1，i，…，in）（Φn（t，x））=xα（（1，i，…，in）），π（1，i，…，in）（F（t））：=RtEα（（1，i，…，in））（s）π（i，…，in）（F（t- s） ）ds.o案例2：I=（2，1，I，…，in）。我们有π（2,1，i，…，in）（fn（t，x））=rxπ（1，i，…，in）（Φn-1（t，x））+σxxπ（1，i，…，in）（Φn-1（t，x））=rxα（（2,1，i，…，in））π（1，i，…，in）（F（t））+σα（（1，i，…，in））xα（（2,1，i，…，in））π（1，i，…，in）（F（t））=xα（（2,1，i，…，in））（r+σα（（1，i，…，in）））π（1，i，…，in）（F（t））。因此，π（2,1，i，…，in）（Φn（t，X））=Xα（（2,1，i，…，in））π（2,1，i，…，in）（F（t））与π（2,1，i，…，in）（F（t））：=（r+σα（（1，i，…，in）））ZtEα（（2,1，i，…，in））（s）π（1，i，…，in）（F（t- s） ）ds.o案例3：I=（2，2，I，…，in）。我们有π（2，2，i，…，in）（fn（t，x））=rxπ（2，i，…，in）（Φn-1（t，x））+σxxπ（2，i，…，in）（Φn-1（t，x））+σxπ（i，…，in）（Φn-2（t，x））=xα（（2,2，i，…，in））（r+σα（（2，i，…，in）））π（2，i，…，in）（F（t））+σxα（（2,2，i，…，in））π（i，…，in）（F（t））=xα（（2,2，i，…，in））（r+σα（（2，i，…，in）））π（2，i，…，in）（F（t））+σπ（i，…，in）（F（t））.因此，π（2,2，i，…，in）（Φn（t，X））=Xα（（2,2，i，…，in））π（2,2，i，…，in）（F（t）），带+π（2,2，i，…，in）（F（t））：=u+σα（（2，i，…）。

中兴通讯α（（2,2，i，…，in））（s）π（2，i，…，in）（F（t）- s） dsσZtEα（（2,2，i，…，in））（s）π（i，…，in）（F（t- s） ）ds.o 案例4：I=（3，I，…，in）。根据π（3，i，…，in）（S（bX））的定义，我们得到：π（3，i，…，in）（S（bX））=Z。Z0<u<<un<TdXudXiu。dXinun=XTZ。Z0<u<<un<TdXudXiu。dXinun=XTπ（1，i，…，in）（S（bX））。因此，π（3，i，…，in）（Φ（t，X））=XTπ（1，i，…，in）（Φ（t，X））=X1+α（（1，i，…，in））tπ（1，i，…，in）（F（t））=Xα（（3，i，…，in））tπ（1，i，…，in）（F（t））=tπ（1，i，…，in）（F（t））。定理5.2提供了一种明确查找预期签名的方法。因此，我们现在找到了一种在Black-Scholes模型下明确定价任何签名支付的方法。由于F中的术语可以快速迭代计算到给定的订单，因此我们可以为签名支付定价，价格低廉：推论5.3。让`∈ T（（R）*), 让我们成为到期日T>0的签名支付。然后，在具有恒定利率r和波动率σ的Black-Scholes模型下，签名支付的公允价值通过exp(-rT）`（Φ（T，X）），其中X>0是现货价格，Φ由（4）给出。示例考虑远期合同的情况，正如我们所看到的，远期合同也是带有“K”的签名付款：=-Kπ（）+π（2）+π（3）。根据前面的推论，交货价格为K的远期合约的公允价值将由exp给出(-rT）`K（Φ（T，X））=经验值(-rT）(-K+X（膨胀（rT）- 1） +X）=X- K经验值(-rT）对应于众所周知的远期合同公允价值。在本节中，我们研究了Black-Scholes模型下签名支付的公允价值，并找到了一个明确的闭合公式。一个自然的问题是，对于更复杂的模型，是否可以遵循类似的程序。

假设价格路径遵循某种差异过程，如局部波动模型，则应能够再次应用定理5.1，以获得公平价值的类似显式表达式。6个数值实验我们实施了提议的定价方法，使用签名支付来计算不同衍生产品的公平价格。我们考虑了99%的欧洲看涨期权、99%的美国看跌期权、102%的亚洲期权、20%的回望期权和方差掉期，所有这些期权均为1年到期。所有这些导数都满足定理4.2的条件。由于明显的计算原因，我们不得不截断签名，因此我们没有考虑完整签名上的线性函数，而是考虑了n阶截断签名上的线性泛函≥ 1.（a）货币性99%的欧式看涨期权。（b） 99%的美式看跌期权。（c） 货币价值102%的亚洲看涨期权。（d） 具有浮动罢工的回望看涨期权。（e） 执行20%的差额掉期。图1：使用签名近似衍生品价格的数值实验。RWA用于衡量绩效。在所有情况下，RWA均高于0.99999。在本实验中，我们固定了n=4，对于三维增广路径，该n=4产生了维度为1+3+3+3+3=121的线性函数。根据Black-Scholes模型（3），使用模拟市场条件的adataset对截断特征进行线性回归，估计线性函数。这项任务使用了100个不同市场条件的数据集，这是一个用于机器学习标准的小型数据集。然后，我们在100个市场条件的样本集中使用近似的签名支付对衍生产品进行定价，然后将我们获得的价格与相应的实际价格进行比较。

如图1所示，准确度是显著的：我们所考虑的所有衍生物的Rhigher均大于0.99999。7结论在本文中，我们介绍了签名支付（signature Payoff），这是一系列衍生品，向持有人支付的金额取决于价格过程的签名。这种对签名的依赖性由一个线性函数给出，这使得对签名进行定价相对容易–计算签名支付的公允价值的任务减少到计算预期签名的任务。正如我们所看到的，如果假设价格过程遵循特定模型，那么这种预期特征很容易计算。在第5.1节中，我们研究了Black-Scholes模型的特殊情况，但该节中显示的计算很容易扩展到其他模型。此外，可以通过适当修改路径（定义3）的定义，将框架扩展到股息支付基础的签名支付价格，以纳入有关股息的信息。可以遵循类似的方法对多资产签名支付进行定价。签名支付的力量来自签名对路径上连续函数的近似能力。在定理4.2中，我们证明了签名支付可以将任意连续函数逼近到任意精度。这使得整个衍生工具篮子的定价很快：使用精确的表示作为篮子中每个衍生工具的签名支付，可以预先计算，我们可以使用第5节通过签名支付的相应公允价值来近似篮子中每个衍生工具的公允价值。

正如我们在第6节中所看到的，这种近似结果非常准确：我们所考虑的所有支付都达到了高于0.99999的Rhigher。8免责声明和估计构成我们截至本材料日期的判断，仅供参考，如有更改，恕不另行通知。本材料并非摩根大通研究部（J.P.Morgans ResearchDepartment）的产品，因此，未按照促进研究独立性的法律要求编制，包括但不限于禁止在投资研究传播之前进行交易。本材料不作为购买或销售任何金融产品或服务的研究、建议、建议、服务或招揽，也不以任何方式用于评估参与任何交易的价值。这不是一份研究报告，也不打算这样做。过去的表现并不代表未来的结果。请咨询您自己的顾问，了解法律、税务、会计或任何其他方面，包括您特定情况下的适用性影响。J、 P.Morgan对本文件中信息的质量、准确性或完整性，以及对本文件的任何依赖或以任何方式使用，概不承担任何责任。重要信息披露请访问：www.jpmorgan。com/披露。参考文献【1】Boedihardjo，H.、Geng，X.、Lyons，T.、Yang，D.（2016）。粗糙路径的特征：唯一性。《数学进展》，293720-737。[2] Chevyrev，I.，&Lyons，T.（2016）。几何粗糙路径测度的特征函数。《概率年鉴》，44（6），4049-4082。[3] Delbaen，F.，&Schachermayer，W.（1994）。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische annalen，300（1），463-520。[4] Fawcett，T.（2002年）。

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