基于大数据的数学及格率优化方法

随机生成一个组分配矩阵G。上面描述的随机设置总结在伪代码7中。我们结束本节d显示树表。表9包含随机变量NS分段数的置信区间。容量分布向量SF以及XGPAare的置信区间如表1 0所示，仅适用于微分微积分课程；由于GPA范围的长度，表格被拆分为五行以适应页面格式。最后，表1和表2给出了由算法75.2生成的组分配矩阵G的示例。方法和概率空间的规范化为了衡量所提出方法的增强，现在需要对结果进行规范化，如第4节等式（8）中算法的历史评估，其中，学术表现变量的改善被分为当前学期的历史表现。在蒙特卡罗模拟的情况下，“历史表现”的概念根本不适用，因为学生和/或讲座的分配实际上没有发生。我们通过两种不同的方式来处理这一事实定义5（标准化方法）。我们介绍以下规范化方法。（a） 随机归一化。

根据方法IA或SA，针对随机分配的教员或学生进行规范化。数据：NE随机变量分布，XGPArandom变量分布，n随机变量分布，平均部分频率，变量分析过程：DC，IC。。。，纳米。TEN n u red讲师名单结果：随机分组分配矩阵G.初始化；计算NE的实现和XGPA的实现；计算GPA，输入：（NE，XGPA）；调用RandInputAlgorithm 1，输入：（GPA列表）；计算NS的实数；计算S，输入：（NS，sf，分析课程）；解决问题em 16输入输出：（S，NE）；如果df（1）>0，则运行增加/减少节数贪婪算法5；如果df（2）>0，则运行增加/减少capa城市算法6；S←x（3）K，i:i∈ [s（2）K]，K∈ 我;返回选择←x（3）K，i:i∈ [s（2）K]，K∈ 我;返回发件人←x（3）K，i:i∈ [s（1）K]，K∈ 我;return sendcute随机分组矩阵赋值G，输入：（S，GPA）；算法7：随机设置算法（b）期望归一化。根据各自的方法IA或SA，对教师或学生的预期分配进行规范化。在第一种情况下，计算标准化很简单，在第二种情况下，需要用其他术语说明ExpectedAssignation的概念。为此，我们需要给出一些中间数学结果和定义定理2。让K∈Nbe固定出租T（i，k）：i，k∈ [K]做一个矩阵。

确定随机变量：SK→R、 XIA（σ）def=Xk∈ [K] T型k、 σ（k）.然后，E夏=KXi，k∈ [K] T（K，i）=Ksum（T），（19），其中sum（T）def=P（K，i）∈[K] ×[K]T（K，i）=Pk∈ [K] Pi∈[K] T（K，i）。参数SCOURSEDC IC VC VAG LA ODE BM NM上限20 11 5 17 10 7 7 3下限16 0 0 2 0 0 0.0000 0.0133 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0064 0.0000[31，45]0.0030 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0712 0.0000[46，60]0.0403 0.0310 0.0000 0.0044 0.0000 0.0609 0.0000[61，75]0.3802 0.0330 0.0000 0.710 12 0.0572 0.0222 0.6125 0.0667[76，90]0.1155 0.0048 0.0000 0.11340.0083 0.0000 0.2056 0.0000[91，105]0.1034 0.0588 0.0133 0.0675 0.0763 0.0095 0.0300 0 0.0333[106，120]0.1640 0.2115 0.0300 0.1035 0.2939 0.0429 0.0133 0.0333[121，135]0.0629 0.3417 0.2600 0.0000 0.1791 0.3937 0.0000 0.2889[135，150]0.1104 0.3193 0.6833 0.0000 0.3852 0.5317 0.0000 0.5778表9：截面随机变量数NS和容量分布向量sf，课程：全部。

所有课程均显示可变节数NS的上限和下限以及置信区间。间隙GPA0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0上限0.0021 0.0027 0.0031 0.0031 0.0035 0.0031 0.0044 0.0040 0.0047 0.0046下限0.0012 0.0013 0.0017 0.0017 0.0024 0.0016 0.0031 0.0021 0 0 0 0.0028间隙GPA1.1 1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0上限0.0047 0.0045 0.0055 0.0053 0.0055 0.0056 0.0051 0.0073 0.0082 0.0084下限0.0026 0.0025 0.0032 0.0028 0.00310.0038 0.0033 0.0049 0.0058 0.0056间隔GPA2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0上限0.0114 0.0119 0.0147 0.0191 0.0208 0.0277 0.0328 0.0348 0.0420 0.0858下限0.0077 0.0076 0.0105 0.0142 0.0165 0.0210 0.0250 0.0287 0.0332 0.0672间隔GPA3.1 3.2 3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0上限0.0571 0.0566 0.0671 0.0668 0.0630 0.0668 0.0625 0.0527 0.0496 0.0421下限0.0506 0.0489 0.0565 0.0594 0.0558 0.0549 0.0526 0.0440 0.0404 0.0357间隔GPA4.1 4.2 4.3 4.4 4 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0上限0.0373 0.0255 0.0209 0.0161 0.0136 0.0081 0.0055 0.0029 0.0011 0.0002下限0.0282 0.0201 0.0160 0.0115 0.0088 0.0032 0.0014 0.0002 0.000表10：随机变量：XGPA，课程：不同的课程。显示了微分微积分课程的分布能力向量sf和XGPA的置信区间。证据考虑以下计算夏=KXσ∈ SKXIA（σ）=K！Xσ∈ SKXk公司∈ [K] T型k、 σ（k）=KXk公司∈ [K] Xσ∈ SKT公司k、 σ（k）=KXk公司∈ [K] Xi∈ [K] Xσ∈ SKσ（k）=iTk、 σ（k）=KXk公司∈ [K] Xi∈ [K] T型k、 我Xσ∈ SKσ（k）=i1=（k- 1)!KXk公司∈ [K] Xi∈ [K] T型k、 我.从这里开始，方程式（19）遵循琐事。备注12。

请注意，在位置2中，以下情况成立（i）可以理解，概率空间是Ohm ≡ 所有结果的可能性相同。（ii）假设给定了一个学期的设置，即：具有能力的部分的数量、部分的构造和一组教授该课程的结构。然后，T=CAPV，J是分段数，e（XIA）是将讲师随机分配给指定学生的可用分段时的预期表现，即IA方法。我们的下一步是，在指定讲师将学生随机分配到可用部分时，能够计算出一个组的预期表现。由于搜索空间的丰富性，这项任务更加复杂。我们开始介绍一些符号。定义6。让N，L，J∈N、 p=（p，…，pL）∈NL，g=（g，…，gJ）∈定义1中的NJbe。（i） 让c：[N]→ [五十] 是每个学生i的分类函数。e、 ，对于每个学生n∈ [N] 它指定标签c（N）∈ [五十] 描述他/她所属的公司。（ii）定义学生分配概率空间Ohmdef=nω：[n]→ [J] :ω-1（j）= gj，所有j∈ [J] o.（20）（iii）对于固定元件ω∈ Ohm, 确定矩阵Gω∈RL×J，其条目由gω给出(l, j）=n∈ [N] ：c（N）=l, ω（n）=j=c-1(l) ∩ ω-1（j）, l ∈ [五十] ，j∈ [J] 。备注13。在定义6中，请注意以下（i）学生分类函数满足以下条件：ldef公司=c-1(l)对于所有人l ∈ [五十] 。（ii）学生分配空间的一个元素ω是这样的：每个人被分配到一个部分，每个部分都是满的（回忆一下求和条件（3））。（iii）在我们的研究中，N名注册学生的名单完整地描述了分类函数c：[N]→ [五十] 和一个截面赋值函数ω∈ Ohm1, 2, . . . , N、 c（1），c（2），c（N），ω（1），ω（2）。

，ω（N）。第一行表示身份，第二行表示文件分类。因此，只有thir-drow才能像在该模型中那样进行决策或随机化。（iv）对于每个ω∈ Ohm 矩阵Gω显然是定义2中介绍的组分配矩阵。提案3。让N，L，J∈N、 p=（p，…，pL）∈NL，g=（g，…，gJ）∈定义1中的NJbe。然后跟踪TAPVGω=JXj=1TAPVGωj、 j=Xn公司∈ [N] TAPV公司ω（n），c（n）, 总而言之ω∈ Ohm. （21）证明。考虑以下标识xn∈ [N] 抽头Vω（n），c（n）=X个(l,j）∈ [五十] ×[J]NXn=1c（n）=l, ω（n）=jTAP Vω（n），c（n）=Xj公司∈[J] X个l ∈ [五十] 抽头VjlNXn=1c（n）=l, ω（n）=j=Xj∈[J] X个l ∈ [五十] 抽头VjlGω(l, j） =Xj∈【J】抽头VGωj、 j,i、 e.结果成立。备注14。如果假设为所有j分配给j部分的教员TJI∈ J、 即讲师分配函数π∈ SJof Pro b lem 2是恒等式，那么前面的结果表明TAPVGω=JXj=1TAPVGωj、 π（j）=Xn公司∈ [N] TAPV公司ω（n），c（n）, （22）对于每个ω∈ Ohm. 因为中间的表达衡量了集团的整体表现，所以右边的表现也一样。因此，将decl作为随机变量放在上面表达式的左侧是有意义的。定义7。让N，L，J∈N、 p=（p，…，pL）∈NL，g=（g，…，gJ）∈NJbe定义1和le tT∈RJ×L=T（j，l) : k∈ [J] ，则，l ∈ [左], 成为固定矩阵。定义学生作业绩效变量XSA：Ohm →R、 XSA（ω）def=Xn∈ [N] T型ω（n），c（n）. （23）在计算随机变量X的期望值之前，需要使用组合数学的一些结果。备注15（定义7）。定义7中的绩效矩阵为每个讲师在给定细分的每个要素中的绩效提供了衡量标准，如定义2所述。

一个可能的性能矩阵由第3.3节中算法2的预期性能矩阵输出给出。理想的绩效矩阵T应包括分析5中提到的关于教师的更具体信息（例如，同侪评分、自我评估、校友评分、教学奖和其他）。引理4。（i） 学生作业空间的基数为|Ohm| = NJYj=1gj！。（24）（ii）让n∈ [N] ，j∈ [J] 固定并定义集合Ohmn、 jdef=ω ∈ Ohm : ω（n）=j.那么|Ohmn、 j |=（n- 1)!（gj- 1)!气∈ [K] i 6=jgi！证据（i） 设ω为Ohm 并用扩展的方式写，即ω（1），ω（2），ω（N），1，2，N、 显然，ω是多重集的置换1, 1, . . . , 1 |{z}g次，2，2，2 |{z}g次，J、 J，J{z}gJ次=1克，2克。J·gJ. （25）从初等组合学可知，多重集（25）的置换数由表达式（24）给出，参见[22]中的定理3.5。（ii）首先我们分析集合的情况OhmN、 j.回想表达式（20），我们可以写OhmN、 j=ω：[N]→[J] ：ω（N）=J，|ω-1（i）|=gi，对于所有i∈ 【J】. 可以直接看到sete有一个双射Ohmdef公司=ω：[N-1] → [J] :ω-1（一）=egi，尽管我∈ 【J】其中，定义如下：定义=（gi，i 6=j，gi- 1，j=i。在sete上应用上一部分Ohm, 因此OhmN、 J统计结果。对于一般情况Ohmn、 j，取置换σ∈ 由σ（k）定义=N、 k=N，N，k=N，k否则。观察地图Д：Ohmn、 j→ OhmN、 jd由Д（ω）def=ω定义o σ显然是一个双射。因此|Ohmn、 j |=|OhmN、 j |证明是完整的。定理5。随机变量XSAis的实验XSA公司=NgtT第（26）页证明。

按定义|Ohm|EXSA公司=Xω∈ OhmNXn=1Tω（n），c（n）=NXn=1Xω∈ OhmTω（n），c（n）=NXn=1JXj=1Xω∈ Ohmω（n）=jTω（n），c（n）=NXn=1JXj=1Tj、 c（n）Xω∈ Ohmω（n）=j（27）回顾引理4（ii），它如下XSA公司=|Ohm|NXn=1JXj=1Tj、 c（n）（N）- 1)!（gj- 1)!易∈ [J] i 6=jgi=|Ohm|NXn=1JXj=1gjTj、 c（n）（N）- 1)!易∈ [J] gi=NJXj=1NXn=1gjTj、 c（n）=NJXj=1gjLXl = 1Xn∈ [N] c（N）=lTj、 c（n）=NJXj=1gjLXl = 1Tjlpl=NLX公司l = 1便士lJXj=1Tjlgj。（28）这里，第二个等式使用id实体（gj-1)!=gjgj！第三个使用表达式（24）以及明显的索引交换。第四个等式是一个方便的总和关联，而fifthmerily使用的是| c-1(l)| = pl. 从这里，结果很简单。备注16。Letπ∈ SJbe是一个置换，设aπ及其相关置换矩阵aπ=beπ（1），beπ（2），beπ（J）,哪里北京：j∈ 【J】是RJ的规范基础。那么，如果in结构tj:j∈ 【J】通过排列π分配给相应的部分∈ 除了恒等式之外，随机变量XSA（ω）（如（23）中所定义）通过takingdef=TAPVAπ来计算每个ω的组的全局性能∈ Ohm（如备注14所述）。因此，在不丧失一般性的情况下，可以假设π∈ SJ是身份。最后，我们定义了定义8。算法3的随机版本将有两种方法。（i） 定义n 5中引入的随机归一化方法定义在等式8中。然而，重要的是要观察到，这次vmt，ρmtand Xmtdef=PJj=1抽头VGhj、 πh（j）都是随机变量。（ii）Secon d，定义5 b中引入的预期归一化方法，使用γmtdef=100vmt计算-EXmt公司EXmt公司, mt公司∈ {IA，SA}。（29）此处，EXmt公司如果mt=IA，则由定理2给出，如果mt=SA，则由定理5给出。同样，vmtandγmtarebth随机变量。备注17。

（i） 据了解，为了在数值实验中应用大数定律1，上述随机变量将被视为独立、相同分布的变量序列，即。，v（n）mt:n∈N,X（n）mt:n∈N,ρ（n）mt:n∈N和γ（n）mt:n∈N; 其中，指数n表示蒙特卡罗模拟的迭代。（ii）可以直接看到γ（n）mt:n∈N汇聚在Ces\'aro sense鞋头五（1）公吨EX（n）公吨-1.- 1.（iii）定义Z（n）mtdef=X（n）mt，自v（n）mt:n∈N和X（n）mt:n∈N是独立的，它认为ρ（n）mt=v（n）mt- X（n）mtX（n）mt=v（n）mtX（n）mt- 1=v（n）mtZ（n）mt- 1Ces\'aro----→n→ ∞E五（1）公吨EZ（n）mt- 1=E五（1）公吨EX（n）公吨- 1.（30）上述表达式的右侧包含变量调和平均值的倒数X（n）mt:n∈N. 清晰地γ（n）mt:n∈N和ρ（n）mt:n∈N收敛（在塞萨罗意义上）到不同的极限。不幸的是，对于算术平均数，调和函数没有方程（26）所能比拟的简单表达式。因此，它只能用数字来处理；这将在n extsection中完成。5.3. 蒙特卡罗模拟算法和数值结果第5.1节和第5节讨论了变量的随机化及其规范化。2分别在下面的伪CO d e 8中进行了总结。蒙特卡罗模拟结果的一个具体示例如图3所示，而相应的注册学生的bod y/构成如表12所示。表11中总结了几种微分演算模拟的结果。经过多次实验，发现Ces ` aro均值的收敛水平在800次以上。

即使我们正在模拟一个高度复杂的随机过程的行为，很明显，实际上无法得出收敛率的结论，Ce s’aro平均值稳定的阈值从一个实验到另一个实验发生了显著的变化。这是因为每次实验都定义了许多部分，如表12所示的招生机构/学生组成，一组矩阵分配和一些终身讲师NT，fr。从这里开始，迭代过程如算法8所示。因此，如表11所示，开始三元组（NS、G、NT）在模拟之间发生了实质性变化。当从一个课程切换到另一个课程时，这些变化变得更加显著，如表13所示，报告了算法在其余七个服务课程中的性能。观察随机（定义5 a）与预期（定义5 b）归一化方法之间的差异也很重要。这在方法性能的模拟中并不重要（见图3（a）和（b）），在其相应的Ces ` aro平均值i的行为中是负的。e、 ，无论采用何霍森归一化方法（见图3（c）和（d）），从数值角度来看，渐近行为差异最小。后者也可以在表11和13中观察到。备注18（图3）。图3描述了蒙特卡罗模拟可变通过率的增强（Ces\'aro表示增强）结果，包括教师和学生分配方法。它证实了第4.1小节的结果，学生作业法（SA）比教师作业法（IA）产生更好的结果，并表明这不仅仅是我们数据集的特殊性。