在估计

因此，我们查看一些重要生成器条目中的错误，如图4所示。从图4可以清楚地看出，错误的主要原因是（不出所料）Ba到Cath2月，2020年量化金融PdRS2019 QF ARXIV考虑年数10 20 30 40 50 Q0.060.080.10.120.140.160.18Ba至BQ ErrorQ EstimateQ TrueNumber of years考虑年数10 20 30 40 50 Q-0.0100.020.03Ba至CAA考虑年数10 20 30 40 50 Q×10-3-2-10123Ba至CaEM误差发电机考虑年数10 20 30 40 50Q-0.01-0.00500.0050.010.015B至图4。随着数据量的增加，生成器中的估计值和95%置信区间。进入最初，我们需要等待从Ba到Ca的转换，这会增加可能性，从而增加估计的不确定性。此外，在估计变得更加稳定之前，还需要几年的数据。生成器中的这种不确定性随后传播到TPM条目中的不确定性，可以观察到TPM条目与相应生成器条目之间存在极强的相关性。因此，即使经过50年的观察，Ba toCa转移概率的误差也远大于其他估计值。CTMC建模中的这种行为并不理想（IFRS 9法规加剧了这种影响），但它表明了在获得小概率（罕见事件）的良好估计和误差方面存在一些挑战，即该模型仍然对个别观察结果敏感。人们可以使用它来评估模型中的敏感性，例如，添加一个公司违约观察值，然后重新计算概率及其相关错误，将提供敏感性的anidea。4.

扩展马尔可夫过程以捕获评级动量在本节中，我们处理连续观测的数据案例，因此可以扩大模型的范围（我们不再局限于马尔可夫模型）。在上一节中，我们重点介绍了EM算法的许多好特性，特别是可以为错误推导出closedform表达式。然而，当使用具有更复杂可能性的模型时，EM算法并没有像quicklyruns一样很好地推广到各种困难中。这就是我们推广到点过程的情况。在详细说明我们提出的模型之前，让我们先说明数据（见第3节）包含非马尔可夫特征。4.1. 测试非马尔可夫现象Lando和Skodeberg（2002）对标准普尔评级数据集的分析，作者测试了评级动量的存在。为了一致性和完整性，我们证明了穆迪数据集中也存在评级动量行为。该测试遵循Andersen等人（1991）开发的标准半参数危险模型方法（另见Andersen等人（2012））。基本思路是测试强度（从离开该州开始）是否受到之前过渡的影响，也就是说，我们对任何给定的强度进行建模，2020年2月，量化金融PdRS2019 QF ArXiV FIRM，n在状态i中为，λin（t）=qi（t）exp（cZn（t）），其中q是一个未指定的“基线”强度，Z包含与该公司相关的信息，c是我们估计的系数。这里一个重要的观点是，我们经常处理审查观察（许多公司在一段时间后停止评级），因此使用风险模型是有用的，因为我们可以使用部分可能性理论来处理审查观察，见Cox和Oakes（1984）。

例如，我们可以将协变量Z设置为，Zn（t）=（1，如果固定n降级到当前状态，则为0，否则为0）。因此，在此设置中，马尔可夫假设等同于无效假设c=0。Andersen等人（1991）和（Lando和Skodeberg 2002，附录A）介绍了一般统计框架，包括通过最大化部分可能性来拟合c，但我们在这里不进一步讨论这些问题。该分析的结果如表2所示–我们可以看到统计上显著的向下动量效应（即，在标准显著水平α为10%、5%或1%时，无效假设被拒绝），但穆迪数据中没有显著的向上动量行为。这些发现与Lando和Skodeberg（2002）的发现一致。系数p-值向下动量0.33010<0.0001向上动量-0.01487 0.68153表2。向下和向上动量的似然比检验。4.2. 我们的新模型可以捕捉评级动量。从表2中可以看出，有非常有力的证据表明，数据中存在向下的动量。现在，让我们描述一种可处理的方法，使用标记点过程来捕捉尿道炎效应。不熟悉point流程的读者可以参考附录C了解更多详细信息。（Daley和Vere-Jones2003，第251页）中给出了标记点过程单次实现的可能性，即L=Ng（T）Yi=1λg（ti）f（ki | ti）e-RTλg（u）du，（4.1），其中我们使用以下符号，ngi是事件发生的时间集，λgis是强度，k是标记，f是所谓的标记分布。下标g是一种常用的符号，用于暗示这是地面过程的强度，即我们只考虑感兴趣的事件。

设置λ=qind f=qij/qi我们恢复了CTMC的可能性，因此可以看到这些过程是马尔可夫过程的推广。为了将评级动量纳入此类模型，我们从霍克斯过程中汲取灵感，并改变模型的强度，以进行适当的评级更改。基本思想是从一个CTMC（具有生成器矩阵Q）开始，该矩阵用作基线强度，然后添加一个非马尔可夫矩阵。注意，我们并没有假设基线在测试中是时间均匀的。2020年2月4日量化金融PdRS2019 QF ARXIV组件，其自激强度呈指数衰减。也就是说，观察到的任何降级都会在一定时间内增加未来降级的强度。我们还介绍了两种动量类型，一种是公司从投资等级（Baa和更好）降级，另一种是公司从投机等级降级（该建模选择在第4.4节和第4.5节中进一步讨论）。使用与之前相同的表示法，假设状态空间{1，…，h}使得状态h（默认值）是吸收的，我们对时间t的随机过程x的强度建模如下，λg（t）=h-1Xj=1Xj{X（t）=j}+Xm=1Xτ∈τm（t）βmαme-βm（t-τ） ，其中m表示投资或投机性降级，τm（t）是时间t之前的降级时间集（类型m），α和βm对应于每种情况下“动量”的强度和记忆。可以注意到，自上次降级以来，随着时间的推移，随机过程的强度下降（恢复到基线强度），且该速率由β控制。

特别是，这允许我们将经验观察到的效应包括在内，例如动量的影响随时间而减少（见Couderc（2008））。在此设置中，我们只向≈ （h）- 1） CTMC案例的参数；下文证实了这种节约的有效性（见第4.4节）。据我们所知，我们所知的任何其他模型都无法如此简单地捕捉动量效应。可以引入更多的参数和扩展，但我们只关注此模型。其分析见第4.3.1和4.5节。我们在以下建模假设下工作，我们认为这些假设充分合理，并保持模型的节俭性（其中大部分可以轻松取消，模型可以扩展）。（i） 我们只考虑下行势头。由于上升势头在统计上并不显著（表2），因此我们不予以考虑。（ii）动量有两种类型，投资和投机。被从投资级别降级的公司（数字为从1到（h-1） /2）感觉投资势头和剩余的降级受到投机势头的影响。（iii）最后（不容易移除）在时间0之前没有出现点，即所谓的边缘效应。这本质上意味着，公司在最初成立时没有动力。备注4.1（谨慎估计）由于我们仅将动量视为纯粹的负面影响，如果我们假设一家公司最初没有动量，那么我们将获得更保守的降级数字。因此，在校准过程中，如果不使用公司评级变更的完整历史记录，则模型将更加谨慎。通过这些假设，我们可以确定标记的分布。我们采用以下标记分布（对于X（ti））∈ {1, . . .

，h- 1} ，Ti是第i次跳跃的时间），f（X（t-i） | ti）=Phj，k=1qjk{X（t-i） =j，X（ti）=k}λg（ti）{X（ti）<X（t-i） }+{X（ti）>X（t-i） }NjXm=1Xτ∈τm（ti）βmαme-βm（ti-τ),这是霍克斯过程中使用的一种常见且易于理解的形式，见Bacry et al.（2015）。2020年2月日量化金融PdRS2019 QF ARXIV，其中我们用t表示-i在第i次跳转之前的时间，Nj是一个人可以降级到的状态数，即Nj=Pk>j{qjk>0}。将强度和标记分布代入（4.1），得到以下表达式来表示可能性，L=Ng（T）Yi=1(hXj，k=1qjk{X（t-i） =j，X（ti）=k}+NjXm=1Xτ∈τm（ti）βmαme-βm（ti-τ){X（ti）>X（t-i） }+hXj，k=1qjk{X（t-i） =j，X（ti）=k}{X（ti）<X（t-i） }）×exp-ZTh公司-1Xj=1Xj{X（u）=j}+Xm=1Xτ∈τm（u）βmαme-βm（u-τ） 杜邦. （4.2）注意，可能性是关于一家公司的信息。我们可以通过获取产品来构建多个公司的可能性，但值得注意的是，这假设了公司之间的依赖性。由于商业周期等原因，这不太可能是真的，但是，可以使用McNeil和Wendin（2007）的方法将这些相关的系统性影响引入风险建模中。因此，我们只关注评级动量的特质效应。涉及动量的积分（4.2中的最后一个积分）可以简化为ztxτ∈τm（u）βmαme-βm（u-τ） du=Xτ∈τm（T）αm1.- e-βm（T-τ).与CTMC的情况不同，这种可能性很复杂，似乎没有真正的简化，其主要原因是跳跃之间的时间和历史依赖性，不再可能简化qKijijare形式。我们继续依靠马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）技术来估计参数。4.3.

模型的MCMC校准算法如Bladt和Sorensen（2005）、Bladt和Sorensen（2009）以及dos Reis和Smith（2018）所述，在CTMC设置中，CTMC的数据扩充步骤成本高昂，与其他算法相比，该算法速度非常慢。在我们的环境中，我们可以访问完整的数据集，避免了这一昂贵的步骤。此外，我们处理iscomplex和MCMC的可能性（见Gilks et al.（1996））是少数能够提供合理估计的方法之一。MCMC的基本设置是通过一些数据D的后验分布估计参数（s）θ，通常表示为π（θ| D）。一般来说，人们无法获得这种后验分布，直接蒙特卡罗模拟是不可能的，因为人们不知道归一化常数。MCMC通过观察Bayes公式来绕过这个问题，π（θ| D）∝ L（D；θ）π（θ），其中L是似然，π（θ）是θ的先验分布。然后可以使用Metropolis Hastings算法和一些建议分布从该分布中进行采样。让X表示所有公司过渡的集合。我们有兴趣获得联合分布π（Q，α，β| X），其中Q是具有基线强度和跳跃概率的矩阵（与CTMC的生成矩阵具有相同的形式），α：=（α，α），β：=（β，β）是2020年2月定量金融PdRS2019 QF ARXIV动量参数。由于我们假设Q、α和β的先验分布是独立的，因此Bayes定理暗示，π（Q、α、β| X）∝ π（X | Q，α，β）π（Q）π（α）π（β）=Lπ（Q）π（α）π（β），其中L是（4.2）中定义的可能性。

通过对所有其他参数的知识进行条件化处理，可以得到每个参数的完整条件分布。对于先验，首先是Q，我们假设初始跃迁没有动量，因此我们可以将先验设置为基于初始跃迁的CTMC最大似然估计（MLE）。因此，我们将先验值设置为指数，平均值为MLE。对于α和β，我们使用具有合理方差的aGamma随机变量作为先验变量。这反映了我们对这些参数知之甚少，但并不期望它们为零或太大。我们要解决的下一个问题是如何从完整的条件分布进行模拟。首先处理模型参数时，它们的完全条件分布显然不是标准分布，因此我们使用单成分Metropolis-Hastings算法。与Metropolis Hastings一样，我们需要定义一个好的提案功能。为了避免大量的拒绝，我们将我们的建议视为伽马随机变量，平均值为当前步长，方差很小。实际上，这会创建一个始终为非负的随机游走型采样方案。因此，如果我们用γ表示参数集，用ψ表示建议分布（可能取决于当前参数），则建议点γ的第n步接受概率由π（X |γs，γn，-s） π（γs）ψ（γs |γs）π（X |γs，γn，-s） π（γs）ψ（γs |γs），其中γn，-SDE注意到第n次更新时的参数集，不包括s参数。4.3.1. 模型校准。现在我们有了必要的工具，我们可以使用穆迪的数据集校准我们的模型。运行11000次MCMC迭代（进行1000次磨合），我们得到以下结果。

对于马尔可夫风格的“基本”组件，Q=Aaa Aa A Baa Ba B Caa Ca C-0.0869 0.0836 0.0031 0 0.0002 0 0 0 00.0117 -0.1088 0.0942 0.0025 0.0003 0.0001 0 0 00.0006 0.0240 -0.0938 0.0666 0.0017 0.0007 0.0002 0 00.0002 0.0016 0.0387 -0.0947 0.0496 0.0040 0.0006 0.0000 00.0001 0.0006 0.0033 0.0636 -0.1774 0.1060 0.0037 0.0001 00.0000 0.0003 0.0012 0.0035 0.0503 -0.1610 0.1012 0.0040 0.00040 0.0002 0.0001 0.0013 0.0048 0.1028 -0.1976 0.0622 0.02610 0 0.0018 0.0029 0.0050 0.0447 0.1346 -0.2838 0.09480 0 0 0 0 0 0 0 0,对于动量参数，α=（0.031，0.1291）和β=（3.5234，1.7095）。校准过程中产生的一个有趣的观察结果是，动量参数在投资和投机降级过程中的差异。投机性降级的动量明显大于投资降级，即投机性降级的动量强度更大，持续时间更长。用MATLAB编写的MCMC算法≈ 在Intel Xeon E7-4660 v4 2.2GHz处理器上运行8.5小时。请注意，两者（0.1≈) αβ< αβ(≈ 0.2）和β>β。2020年2月日量化金融PdRS2019 QF ARXIV这似乎有悖常理，然而，设定信用评级最终需要综合各种来源的信息，并对该公司（主权）面临的不同风险作出判断。如（Couderc 2008，第5章和第6章）所述，在影响投资级和投机级债务人降级/违约的信息方面，似乎存在着明显的差异。这表明这些评级类别之间存在内在差异，因此，我们的动量模型也显示出差异也就不足为奇了。

从实际角度来看，该模型表明，投机性评级公司的降级对未来业绩的影响更大，影响投机性评级变化的信息意味着公司内部存在更深层次的问题，因此进一步降级/违约的可能性更高。4.4. 贝叶斯信息准则让我们为该模型的使用提供了一些依据。我们认为，点过程样式模型是一个很好的选择，为了使模型尽可能健壮和简单，我们添加了四个额外的“动量参数”（与CTMC模型相关）。我们认为四是最佳选择，因为仅添加两个参数不会产生与观测数据一样好的fit，而向每个评级添加参数似乎并不合适，因为我们没有足够的转换来获得可靠的fit。因此，我们没有考虑比投资级和非投资级更多的动量组。由于我们可以访问完整的数据集，因此可以直接计算马尔可夫模型设置的Q generatormatrix的最大似然估计。因此，我们可以用纯马尔可夫模型来检验动量模型。马尔可夫模型是动量模型的一个特例，设定αi=0，βia常数为i∈ 1, 2. 因此，先验的非马尔可夫模型能够更好地拟合数据（在实现至少同样大的可能性的意义上）。我们想要回答的问题是，我们是在更好地获取数据，还是只是过度拟合？为此，我们计算了贝叶斯信息准则（BIC），它是模型选择统计中使用的一种常见测试，已知比其他统计测试（如Akaike信息准则）更能惩罚模型复杂性（见（Claeskens and Hjort 2008，第3章））。我们相信，这个特性使BIC成为一个很好的测试，可以证明我们更复杂的模型是正确的。