在估计

然后，观测值之间的预期跳跃和保持时间为，EQ[Kij（t）| y]=n-1Xs=1exp（C（ij）γ（ts+1- ts））ys，h+ys+1（exp（Q）（ts+1- ts）））ys，ys+1，等式[Si（t）| y]=n-1Xs=1exp（C（i）φ（ts+1- ts））ys，h+ys+1（exp（Q）（ts+1- ts）））ys，ys+1。当我们只能访问具有相同观测长度的TPMs P观测序列时，等式[Kij（T）| P]=MXu=1hXs=1hXr=1Pusr（T）exp（C（ij）γt）s、 h+r（exp（Qt））s，r，EQ[Si（T）| P]=MXu=1hXs=1hXr=1Pusr（T）exp（C（i）φt）s、 h+r（exp（Qt））s，r，其中M=T/T（观察次数），Pu是第u次观察的TPM。粗略地说，上面的公式是将TPM中的每一行包含等量的信息（观察值）。当知道状态N之间的跃迁数量时，Pusr（t）被Nsr（u）取代，其中Nsr（u）是观察u中观察到的跃迁数量。M步就是这两个数量的比率，因此结果产生了EM算法步骤的闭合表达式，使算法更快（见dos Reis和Smith（2018）中的结果）。2020年2月4日量化金融PdRS2019 QF ARXIV附录B：定理3.3的证明依赖于多元delta方法，参见（Lehmann and Casella 1998，定理8.16）。命题B.1（δ法）Let（X1ν，…，Xsν），ν=1，n、 E[Xiν]=ξi和cov（Xiν，Xjν）=σij的n个独立的随机变量s元组。设“Xidenote”为经验平均值，“Xi：=PνXiν/n”，并假设h是具有连续第一偏导数的s参数的实值函数。然后√nh（\'X，…，\'Xs）- h（ξ，…，ξs）Dist公司--→ N（0，v），v=XiXjσijh类ξih类ξj，假设v>0。我们现在有必要的材料来证明我们的结果。定理3.3的证明。渐近正态性假设意味着命题B.1的期望和协方差假设。

此外，根据基于似然推理的标准结果，σ≈ -H（^Q）-1（见（Knight 2000，第5.4章））。对于概率矩阵的偏导数，紧接着是第3.1节中的参数。还要注意，这种表示法意味着pijexist和的第一个偏导数是连续的。为了完成证明，我们只需要证明（3.4）的RHS是严格正的。首先，最大值H为负定义（因此H-1也是负定义），因此pij公司/在MLE周围V^Q6=0。观察后者是定理的一个假设，从而得出结论。附录C：点流程概述让我们讨论一下如何将历史依赖性嵌入到模型中。我们对强度为λt=u+Ztφ（t- s） dNs。Hawkes过程用于模拟许多不同的现象，从地震发生到高频交易，参见Ogata（1988）和Bacry et al.（2015）。设置φ=0会产生一个恒定的强度，这相当于马尔可夫设置。然而，φ允许我们根据过去的事件改变强度，这是动量的关键，因为过去的降级会影响未来的过渡。正如引言中所述，霍克斯过程只是一个计数过程（推广泊松过程），因此这意味着已经发生了阿拉廷转变，而不是我们进入的评级。后者是关键，我们考虑在某些状态空间上取值的过程：这种过程称为标记点过程（MPPs），参见（Daley和Vere-Jones 2003，第6.4节）。MPP是乘积空间T×K上的点过程，也就是说，对于K=1，2，…，我们返回一组值{tk，κK}。

，其中tkas是点过程的事件时间（强度λ），κkof是与事件相关的“标记”。这些概念是我们将要使用的，但总的来说，TKC可以是多维的，例如包括空间依赖性。在我们的例子中，我们有κk∈ {1，…，h}也就是说，它表示确保标记点过程得到明确定义的评级。（Daley and Vere Jones 2003，p.251）中给出了单一实现MPP的可能性，L=Ng（T）Yi=1λ*g（ti）f*（κi | ti）e-RTλ*g（u）du，其中我们有以下符号，ngi是事件发生的集合，λgis是强度，f是所谓的马克分布。这个*表示强度和标记分布取决于以前的事件。即时间ti的强度，λ*g（ti）取决于之前的事件，{（t，κ），…，（ti-1，κi-1)}. 还要注意λ的区别*g（ti）不依赖于标记κi，但允许标记κiis依赖于时间ti。下标g是一种常用的表示法，用来表示这是地面过程，在我们的例子中，这只是升级/降级的时间安排。通过允许强度、跳跃次数和标记分布取决于之前的事件，我们可以很容易地改变升级/降级的概率，从而将评级动量嵌入到过程中。有关MPP可能性的更多详细信息，请参见（Daley and Vere Jones 2003，第7.3节）。我们认为MPP是解决这一特定问题的一个好选择，原因之一是人们可以将其视为CTMC的自然概括。从可能性来看，这是显而易见的，因为让λ=qind f=qij/qiwe恢复CTMC的可能性。