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英文标题：
《Capturing Model Risk and Rating Momentum in the Estimation of
  Probabilities of Default and Credit Rating Migrations》
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作者：
Marius Pfeuffer, Goncalo dos Reis, Greig smith
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We present two methodologies on the estimation of rating transition probabilities within Markov and non-Markov frameworks. We first estimate a continuous-time Markov chain using discrete (missing) data and derive a simpler expression for the Fisher information matrix, reducing the computational time needed for the Wald confidence interval by a factor of a half. We provide an efficient procedure for transferring such uncertainties from the generator matrix of the Markov chain to the corresponding rating migration probabilities and, crucially, default probabilities.   For our second contribution, we assume access to the full (continuous) data set and propose a tractable and parsimonious self-exciting marked point processes model able to capture the non-Markovian effect of rating momentum. Compared to the Markov model, the non-Markov model yields higher probabilities of default in the investment grades, but also lower default probabilities in some speculative grades. Both findings agree with empirical observations and have clear practical implications.   We illustrate all methods using data from Moody\'s proprietary corporate credit ratings data set. Implementations are available in the R package ctmcd.
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中文摘要：
我们提出了两种在马尔可夫和非马尔可夫框架下估计评级转移概率的方法。我们首先使用离散（缺失）数据估计连续时间马尔可夫链，并导出Fisher信息矩阵的更简单表达式，从而将Wald置信区间所需的计算时间减少一半。我们提供了一种有效的方法，将这种不确定性从马尔可夫链的生成矩阵转移到相应的评级迁移概率，以及关键的违约概率。对于我们的第二个贡献，我们假设可以访问完整的（连续的）数据集，并提出了一个易于处理且简洁的自激标记点过程模型，该模型能够捕捉评级动量的非马尔可夫效应。与马尔可夫模型相比，非马尔可夫模型在投资等级中的违约概率较高，但在某些投机等级中的违约概率也较低。这两个发现都与经验观察结果一致，并具有明确的实际意义。我们使用穆迪专有公司信用评级数据集的数据来说明所有方法。R包ctmcd中提供了实现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Capturing_Model_Risk_and_Rating_Momentum_in_the_Estimation_of_Probabilities_of_D.pdf (606.55 KB)

2022-6-10 20:08:17 上传

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关键词：Quantitative Applications observations Econophysics Implications

2020年2月日《量化金融PdRS2019 QF ARXIV》将出现在《量化金融》第00卷第00期第20XX月第1-22页，在《违约概率估计和信用评级迁移》G中捕捉模型风险和评级动量。dos Reis+*, M、 PfeufferP和G.Smith+§+英国爱丁堡大学麦克斯韦数学科学研究所数学学院，James Clerk Maxwell Building，Peter Guthrie Tait Road，Edinburgh，EH9 3FD，UKCentro de Matemática e Aplicacoes（CMA），FCT，UNL，葡萄牙PErlangen-Nüremberg大学统计和计量经济学系，Lange Gasse20，90403纽伦堡§穆迪分析，7 Exchange Crescent Conference Square，Edinburgh EH3 8RD（收到日期：20XX月00日；最终形式：20XX月00日）我们提出了两种在马尔可夫和非马尔可夫框架内估计评级转移概率的方法。我们首先使用离散（缺失）数据估计连续时间马尔可夫链，并推导出Fisher信息矩阵的更简单表达式，从而将Wald置信区间所需的计算时间减少一半。我们提供了一个有效的程序，用于将这些不确定性从马尔可夫链的生成器矩阵转移到相应的评级迁移概率，尤其是违约概率。对于我们的第二个贡献，我们假设可以访问完整的（连续的）数据集，并提出了一个易于处理且简洁的自激标记点过程模型，该模型能够捕捉评级动量的非马尔可夫效应。与马尔可夫模型相比，非马尔可夫模型在投资等级中的违约概率较高，但在某些投机等级中的违约概率也较低。这两个发现都与经验观察结果一致，并具有明确的实际意义。我们使用穆迪专有的公司信用评级数据集。

我们的部分实现在R包ctmcd中提供。关键词：置信区间、马尔可夫链、生成器矩阵、点过程、RatingMomentum2010 AMS科目分类：初级：60G55次级：62F15 91G40JEL科目分类：G11、C18和G331。简介自2008年金融危机以来，信贷风险建模和金融监管受到了数学和经济学学科的更多关注。2018年1月1日，为了进行风险评估，新准则IFRS 9生效，要求计算某些债务人风险较高合同完全到期的预期损失。因此，信用风险建模的基石在于能够准确估计不同作者的违约概率。电子邮件：G。dosReis@ed.ac.ukthFebruary，2020年量化金融PdRS2019 QF ARXIV时间范围。这可以通过考虑市场数据（例如债券或信用违约掉期价格，以及股票的隐含违约概率，见Bielecki et al.（2011））或历史（违约或评级）数据来实现。在这本手稿中，我们关注后者。备注1.1（获取违约概率：风险中性与真实世界）重要的是要注意这些估计方法之间的区别。使用债券价格或信用违约掉期等市场数据来估计违约概率，实际上给出了风险中性的违约概率。我们的方法使用观察到的数据，因此给出了真实世界（物理）的违约概率。在需要实际违约概率的情况下，我们的结果可以在资本要求计算中使用，而无需进行任何调整。在估计违约概率时，通常会在计算中考虑信用评级，因为它们允许更大的粒度。

评级，作为分类偿付能力衡量标准，可能由（外部）评级机构发布，或由金融机构自己制定，作为巴塞尔监管框架支柱I内部评级法的一部分。由于公司层面或一般商业周期的特殊变化，信用评级会随着时间的推移而变化，这种影响被称为评级过渡或评级迁移。这种动态运动是一个在连续时间内具有离散状态空间的随机过程。在这里，马尔可夫链是一个简单、健壮和易处理的类，用于建模此类评级转换的运动。可使用的特定模型取决于可用数据的类型。大多数涉及信用评级转换建模的文献都集中在匿名离散时间数据上，而且通常每年都有。与“完整”（连续时间公司特定评级转换）数据集相比，该数据更易于使用，成本更低。在离散观测数据的情况下，不可能跟踪不同时期的个别债务人，这迫使我们将处于相同评级的所有公司视为同等公司。因此，人们自然会产生马尔可夫链结构（连续或离散）。

假设连续时间马尔可夫链（CTMC）模型仅在特定离散点观察到，获得最大似然估计量（MLE）并理解该估计的误差是一个经典问题。许多工作已经研究了生成器矩阵或（中间）转移概率矩阵（TPM）的估计，参见Kalb-Fleisch和Lawless（1985），Bladt和Sorensen（2005），Bladt和Sorensen（2009），dos Reis和Smith（2018），其中提到了一些和Pfeuffer（2017）关于统计语言R的概述和算法实现。尽管有这些工作，在这种情况下，如何进行统计推断，特别是如何推导离散观测马尔可夫过程的误差估计，仍然是一个问题。由于我们的推断是基于可能性的，Wald置信区间（或Wald区间）是错误估计的自然选择。在Kalb-Fleisch和Lawless（1985）中，作者使用数值技术来估计导数，并使用所谓的拟牛顿法来获得导数。最近，Bladt和Sorensen（2005）以及Bladt和Sorensen（2009）考虑了期望最大化（EM）算法和马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法来获得MLE。在EM的情况下，作者基于Oakes（1999）的公式提供了一个数值格式，以获得估计中的误差。按照他们的方法，dos Reisand Smith（2018）给出了EM算法产生的错误的精确表达式。在此基础上，我们将CTMC生成器矩阵估计中的错误传递给评级转换概率本身的估计者。据我们所知，虽然这些估计具有重要的实际意义，但尚未考虑此类估计。

当有完整的连续时间评级过渡数据可用时，CTMC参数的点估计和Wald区间的计算非常简单，参见Lando和Skodeberg（2002）。关于我们手稿的第二个贡献，Lando和Skodeberg（2002）表明，拟牛顿法（或评分程序）只需要一个来估计一阶导数。更常见的方法，如牛顿-拉斐逊（Newton-Raphson）发现MLE，也需要评估二阶导数。2020年2月日量化金融PdRS2019 QF ARXIV评级转换表现出非马尔可夫行为。特别是，最近被降级为某一评级的债务人比目前处于该评级的其他债务人更有可能被进一步降级。这种效应被称为（向下）评级动量。升级中也可能出现类似的效果；然而，这并不明显。评级转换中记录的（非马尔可夫）效应包括Altman和Kao（1992）andLando和Skodeberg（2002）的评级漂移（或动量），McNeil等人（2005）的评级粘性，以及特定评级机构的政策（见Carey和Hrycay（2001）和Lof fler（2005））。Nickell et al.（2000）强调了评级转移概率中的非马尔可夫模式，并讨论了它们与行业、住所和商业周期等潜在变量的相关性。然而，在这些影响中，评级动量（ratingmomentum）是最重要的捕捉对象，也是我们在这里要建模的对象。评级动量效应对投资组合的风险有着不可忽视的影响，因为它使得投资级债券的违约可能性大于在标准马尔可夫框架内估计的违约可能性。（Couderc 2008，第8页）关于评级漂移的时间跨度（针对某个标准普尔数据库）及其均值回归的报告。

在对超长视界建模时，动量等非马尔可夫效应变得更加明显，即对跃迁概率的影响更大。在实际层面上，IFRS9法规要求了解长期评级迁移的风险，这些影响可能会显著改变结果。当一个人可以访问完整的数据集（连续时间观测）时，就有可能构建可跟踪的模型来捕获非马尔可夫效应，这是我们的贡献之一。我们提出的模型能够捕捉动量行为，我们发现purelyMarkov模型低估了投资级别的违约风险，但高估了某些投机级别的风险。我们将在下文第4节对此进行更详细的讨论。为了清楚起见，我们在下面两点中总结了我们手稿的贡献。（i） 在具有离散观测数据的CTMC设置中，我们为似然函数的Hessian提供了一个新的更简单的闭式表达式，通过Fisher信息矩阵（Wald区间）可以更快地计算置信区间。我们还提供了表达式，允许将生成器矩阵级别的置信区间转换为评级转换和违约概率级别，以便对其进行轻松解释。回想一下，在离散匿名数据的情况下，必须采用马尔科夫假设。（ii）在连续观测数据的设置中，我们提出了一个易于处理且简洁的模型，该模型捕捉了评级动量的非马尔可夫现象。我们根据穆迪公司信用评级数据集（见第2节），提供了一个校准程序和一些比较测试。最值得注意的是违约概率的经验马尔可夫（CTMC）和非马尔可夫（我们的模型）估计之间的差异。

我们观察到，在一些情况下，马尔可夫模型低估或高估了经验观察到的违约概率，而非马尔可夫模型提供了更好的一致性。备注1.2（软件和R代码）与马尔可夫链相关的算法（第3节）是CRAN R包ctmcd的一部分：从离散时间数据估计连续时间马尔可夫链的参数（见Pfeuffer（2017））-https://CRAN.R-project.org/package=ctmcdPotential应用于评级动量的非马尔可夫模型。过去引入了不同的模型，以纳入非马尔可夫现象。我们在此简要概述了其中的一些工作。鼓励有兴趣的读者参考此处的参考资料。扩展状态空间和混合模型。Christensen等人（2004年），试图在保留一些马尔可夫结构的同时考虑非马尔可夫效应。其思想是扩展状态空间，以包括+和- 态，称为激发态。例如，当一家公司从a级降级为B级时，它将被授予B级-, 与B相比，进一步降级的可能性更高。同样，如果公司从B过渡到a，则评级为a+，其降级概率比a小。这种结构允许WSTHFRUARY，2020量化金融PdRS2019 QF ArXiVus维持马尔可夫属性；然而，我们必须校准更多的参数，在真实世界的数据中，我们没有观察到一家公司属于激发态或非激发态。此外，当连续的跃迁发生时，不知道公司是否处于激发态或非激发态。因此，在激发态和非激发态之间校准强度似乎是不可能的。

我们可以通过假设激发态不会跳到非激发态来绕过这一点，但这与动量随时间减少的经验证据相反，例如（Couderc 2008，第35页）。D\'Amico等人（2016年）应用半马尔可夫模型来捕捉观察到的公司在不遵循指数分布的状态中移动的效果。然而，它们仍然依赖于马尔可夫转移结构，因此需要扩展状态空间以包含元素。与这种方法相关的是Frydman和Schuermann（2008），其中作者巧妙地使用了两种不同的时间齐次CTMC生成器矩阵，然而，由于跳跃本身是马尔可夫的，因此它无法捕获动量。隐马尔可夫模型（HMM）。另一种想法是使用隐马尔可夫模型（HMM）（参见Cappéet al.（2005）的完整描述）。信贷风险的HMM方法可以追溯到R.Elliot的工作，参见Korolkiewicz（2012）及其参考文献中的概述。该方法大致考虑了两个过程（X，Y），观察到的（公布的）信用评级Y和未观察到的（或隐藏的）“真实”信用评级X。范例是，观察到的信用评级被假定为“嘈杂的”Y的观察结果，而不是信贷风险的真实表现。然后，目标是使用Y对X进行推断。在这样的设置中，如果认为噪声观测与真实评级相关，那么评级动量可以添加到模型中。虽然这种方法有一些好处，但这项工作似乎局限于离散时间的情况，从文献的角度来看，这种方法仍然没有被探索。危险率、点过程和自激标记点过程。让我们从讨论危险费率开始。Koopman等人（2008）给出了这一领域信用评级的主要工作。

Couderc（2008）（及其参考文献）提供了一项将风险率方法引入违约概率估计的广泛工作。该范例是，每个公司都有一个相应的风险率（一个参数），在这个风险率中，可以对各种因素进行编码，例如动量。Koopman等人（2008）的方法存在的问题是，他们必须用额外的变量校准每个不同转换的参数，以获得这些转换的可能性。然而，这大大增加了模型的复杂性。我们的目标是提出一个尽可能节约的模型，以抓住评级势头。我们采用的方法依赖于依赖于自身历史的点过程，即所谓的自激过程（见Daley and Vere-Jones（2003），Daley and Vere-Jones（2008））。点过程是马尔可夫过程的推广，是我们模型的自然选择。使用点过程最令人满意的一个方面是，只需添加少量参数（在本例中为2到4），就可以捕获评级时刻。自激励过程最常见的例子是霍克斯过程。这些过程出现在数学金融的其他领域，如限价订单簿模型，也用于高频交易，见Bacryet al.（2015）。然而，它们在信贷过渡中没有得到充分利用。霍克斯过程可以被认为是一个计数过程（类似于泊松过程），其在一维中具有强度λtof的形式（见Dassios和Zhao（2013）），λt=u+Ztφ（t- s） dNs，其中N是一个计数度量，表示发生了一个事件（在我们的情况下，这将是一个评级变化），u是基线强度，φ是对强度的影响，并允许强度取决于过去的事件。通过设置φ=0，霍克斯过程简化为泊松过程。