分数和粗糙Heston模型中的投资组合优化

，yn，z）=Et，y，。。。，yn，z“eRTtγrc+γλ（1-γ） cνnsds#（3.21），其中常数c已在上一个定理中定义，|νnt=v+Pni=1qniYxnitanddYxt=（|Znt- x▄Yxt）dt（3.22）d▄Znt=κ(θ -Znt）+λγσρ1- γq▄Znt▄ntdt+σqZntdBZt。（3.23）在不相关的情况下，ρ=0，我们得到了分数和粗糙HESTON模型中的νt=~νtPORTFOLIO优化证明。这一陈述源自[18]中的定理1，其中我们将Xiofprocess X的组件识别为进程▄Z，▄Yj，j=1，n、 [18]中出现的f前面的函数c由c（t，y，…，yn，z）=γrc+γλ（1）给出- γ） c类v+nXi=1一气. （3.24）我们还有bn+1（t，y，…，yn，z）=κ（θ- z） +λγσρ1- γqz（v+Xqiyi）（3.25）此外，文[18]中的函数g和h在这里由g给出≡ 0，小时≡ 1、还要注意的是，满足了[18]中定理1的（A1）、（A2）和（A3’）。定理3.6。[验证]假设G（t，w，y，…，yn，z）：=γwγG（t，y，…，yn，z），如（3.21）所示。那么对于t∈ [0，T]，T≤ T∞, 最优投资策略（π*t） 对于问题（3.14），由π给出*t=λ1- γ+cσγ1- γsZtνntgzg，（3.26）和V=G，即G与值函数一致，前提是rtgcwγsπ*s√νnsdBSsandRtGzσ√zsdbzs是真鞅。在不相关的情况下，ρ=0，我们有π*t型≡λ1-γ和值函数可以写成v（t，w，y，…，yn，z）=γwγexpφ（T- t） +nXi=1ψi（t- t） yi+Д（t- t） z, （3.27）式中，ψiare在（3.18）中给出，ψ和φ是（3.19）和（3.20）的解。备注3.7。注意，在ρ=0的情况下，最优投资组合策略根本不取决于波动率。这在股票的布朗运动与波动过程不相关，且升值率与波动率存在一定关系的情况下是典型的（见例[1]）。它对应于我们的模型中精确为λ的默顿比。4.

分式优化问题我们现在通过取极限n来解决问题（2.13）→ ∞ 在上一节的结果中。特殊情况ρ=0将在第4.2.4.1节中单独讨论。相关案例。从定理3.5中我们知道，近似值函数本质上是由积分过程的拉普拉斯变换（￠νnt）给出的。我们讨论了（3.23）中给出的考虑因素（Znt），并讨论了如果n趋于∞. 为此，我们将其写为▄Znt=▄Z+Ztκ（θ-Zns）+λγσρ1- γqZnsvuutv+nXi=1qniZse-（s）-u） xi▄Znududs+σZtq▄ZnsdBZs。（4.1）对于下一个结果，我们将（~Znt）视为DR[0，T]中的随机元素∞] 并表示为=>弱收敛。引理4.1。它认为（Znt）=> （Zt）在Skorohod拓扑中，并且（Zt）满足▄Zt=▄Z+Ztκ（θ-Zs）+λγσρ1- γqZssv+Z∞Zse公司-（s）-u） x▄Zuduu（dx）ds+σZtq▄ZsdBZs。（4.2）8 N.B¨AUERLE和S.Desmettre因此，我们有一个极限（Zt）的收敛性，该极限满足通过积分替换和得到的SDE。我们继续财富过程本身。随机微分方程（3.13）可以显式求解，我们得到了任意容许的投资组合策略πWπ，nT=wexpZT公司r+πsνns（λ-πs）ds+ZTπspνnsdBSs. （4.3）在下面的内容中，我们表示Vn（w，v，z；π）：=Ew，v，zhγ（wπ，nT）γi，（4.4）Vn（w，v，z）：=supπVn（w，v，z；π），（4.5）v（w，v，z；π）：=Ew，v，zhγ（wπT）γi，（4.6），然后可以显示引理4.2。假设对于固定策略π，序列（Wπ，nT）是一致可积的。Thenlimn公司→∞Vn（w，v，z；π）=v（w，v，z，π）。Vn（w，v，z）的值在定理3.3和定理3.5中明确给出，且极限v：=limn→∞Vn因单调收敛而存在（见引理7.2）。最后我们得到了Theorem 4.3。[ε-最优策略]假设引理4.2的假设是有效的。

让ε>0，并选择足够大的n，以便|(R)V- Vn |<ε以及| Vn（w，v，z；πn）-V（w，V，z；πn）|<ε，其中πnis是近似n的最优策略。然后πnisε是原始投资组合问题的最优策略（2.13）。证据自“V=limn”→∞supπVn（·；π），（4.7）V=supπlimn→∞Vn（·；π），（4.8）我们得到≥ 五、因此，接下来是0≤ 五、- V（·，πn）≤\'\'V- V（·，πn）≤ |\'\'V- Vn |+| Vn- V（·；πn）|≤ ε（4.9），表示该陈述。因此，我们可以通过求解近似问题来解决原始问题，直至达到任意小的误差。在不相关的情况下，可以精确地解决原始问题。我们将在下一节中这样做。4.2. 不相关案例。当ρ=0时，我们得到更明确的结果。我们首先考虑定义值函数的微分方程（3.19）和（3.20）。请注意，第二微分方程不依赖于n。用于ν的Riccati方程正式转变为n→ ∞至Дt（t- t） =ηZT-tZ公司∞e-xsu（dx）ds- κИ（T- t） +σД（t- t） （4.10）带边界条件Д（0）=0。使用（2.9）我们得到∞e-xsu（dx）=sα-1Γ（α）（4.11）和进一步的ZT-tsα-1Γ（α）ds=（T- t） αΓ（α+1）。（4.12）分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化9最后，在极限情况下，微分方程组（3.19），（3.20）由νt（t）给出- t） =η（t- t） αΓ（α+1）- κИ（T- t） +σД（t- t） （4.13）φt（t- t） =γr+vη+Д（t- t） κθ（4.14），边界条件Д（0）=φ（0）=0。下一个引理：引理4.4给出了这些微分方程之间的关系，这些关系可能很明显，但必须加以说明。取（3.19）的溶液和（4.13）的溶液。然后，它认为φn（t）→ ^1（t）在t中按点表示n→ ∞.这个结果可以用来证明定理4.5。

[分数路径问题的解]当ρ=0时，问题（2.13）的最优投资组合策略由π给出*t型≡λ1-γ和值函数可以写成v（w，v，z）=γwγexpφ（T）+φ（T）z（4.15）式中，Д和φ是（4.13）和（4.14）的溶液。如果γ<0，我们必须假设（Wπ，nT）对所有π都是一致可积的。备注4.6。如果我们在（4.13）和（4.14）中设置v=α=0，则得到的微分方程与具有CIR波动率的经典Heston模型的微分方程相同（参见例[23]）。这意味着在极限情况下α→ 0时，所考虑的模型对应于经典的赫斯顿模型。另请参见第2节中的讨论。定理4.5中的值函数给出了时间点t=0时的最大期望效用。在OREM 3.6中，给出了任意起始时间点t的最佳值∈ [0，T]。在这种情况下，价值取决于通过变量yi=Yxit实现的波动率的历史。当然，可以从分数赫斯顿模型中的（3.27）值函数中得出n→ ∞. 为此，我们必须考虑附加项pni=1ψi（T- t） yi出现在指数中。对于n→ ∞ 我们获得LIMN→∞nXi=1ψi（T- t） yi=limn→∞ηnXi=1qiyiZT-te公司-xisds=ηZ∞YxtZT公司-te公司-xsdsu（dx）。（4.16）该术语可用（Zt）表示如下：Z∞YxtZT公司-te公司-xsdsu（dx）=Z∞Yxtx公司1.- e-x（T-t）u（dx）=Z∞Zteuxx公司e-德克萨斯州- e-T xZuduu（dx）。（4.17）因此，在给定Wt=w，（Zs）0的情况下，分数Heston模型在时间t的值函数≤s≤t=（zs）0≤s≤t、 zt=z，可写为γwγexpφ（T- t） +^1（t- t） z经验值ηZ∞Zteuxx公司e-德克萨斯州- e-T xZuduu（dx）, （4.18）式中，如前所述，Д和φ是（4.13）的溶液。现在进一步注意-德克萨斯州≤e-T x- e-txx（T- t）≤ -e-T x（4.19）10 N.B–AUERLE和S。

desmettre（4.18）中的最后一个因子以下面的byexp为界ηZ∞Zteuxx公司e-德克萨斯州- e-T xZuduu（dx）≥ 经验值η（T-t） Z∞Ztex（u-T）Zuduu（dx）= 经验值η（T）-t） ZtZ公司∞ex（u-T）u（dx）Zudu= 经验值η（T-t） Γ（α）Zt（t- u） α-1祖杜≥ 经验值η（T-t） Γ（α）T1-αZtZudu> 1（4.20）这表明，鉴于对（Zt）中一些历史数据的了解，增加了分数赫斯顿模型中的值函数。这可能是意料之中的，因为应利用波动率的正相关性。确实，假设T-t是固定的，t和t都在增加。因为平均Zu≈ θ、 该因子随Tα增长，即历史收益越大，投资组合价值越大。备注4.7。众所周知，当设γ时，具有对数效用函数的投资组合优化问题，即U（x）=ln（x）可以在幂效用问题的极限内得到↓ 显然，在这种情况下，策略π*t型≡ λ是最佳值。这可以从优化问题的直接研究中看出。5、粗糙波动率情况α∈ (-1.-)现在设α=2H- 1.∈ (-1.-) 带赫斯特指数H∈0,. 在这种情况下，我们无法使用定义（2.3），该定义仅适用于指数α>0。此外，定义的dtiα+1f（t）也不能应用，因为这要求f是绝对连续的，但是我们必须插入（Zt）的路径，它几乎是H¨older正则的（见附录）。相反，我们在这里使用所谓的Marchaud分数导数。是为α∈ (-1.-) 定义如下（见[34]，第13.1节）Dα+1f（t）=f（t）t-α-1Γ(-α)+α + 1Γ(-α） Ztf（t）- f（s）（t）- s） α+2ds（5.1）与Riemann-Liouville分数阶导数一致，前提是f是可微的（见[34]，第13节），并且定义为α+1<δ的H¨olderδ-连续函数≤ 1、由于δ<在我们的应用中，α必须来自区间(-1.-).

因此，波动过程现在定义为ν：=v≥ 0通过：νt=v+Ztt-α-1Γ(-α)+α + 1Γ(-α） ZtZt公司- Zs（t- s） α+2ds（5.2），其中againdZt=κ（θ- Zt）dt+σpZtdBZt（5.3），Z：=Z≥ 波动过程的路径（5.3）表现出粗糙的行为，如第6节所示。注意LIMα→-1Dα+1f（t）=f（t）（5.4），这意味着在极限情况下α↓ -1我们再次得到了经典的赫斯顿模型。现在利用α∈ (-1.-) 我们有（t- s）-α-2=Γ(-α） α+1Z∞e-（t-s） x？u（dx），其中？u（dx）=xα+1dxΓ(-α） 分数和粗糙HESTON模型中的Γ（α+1）（5.5）投资组合优化11我们使用Fubini定理νt=v+Ztt得到-α-1Γ(-α） +Zt（Zt- Zs）Z∞e-（t-s） x？u（dx）ds=v+Ztt-α-1Γ(-α） +Z∞Zt（Zt- Zs）e-（t-s） xdsu（dx）=v+Ztt-α-1Γ(-α） +Z∞Yxt▄u（dx）（5.6），其中▄Yxt：=Zt（Zt- Zs）e-（t-s） xds。（5.7）使用部分积分，我们发现（~Yxt）满足随机微分方程d ~Yxt=x（1- e-tx）κ（θ- Zt）- xYxtdt+x（1- e-tx）σpZtdBZt。（5.8）不幸的是，事实证明ν不是概率为1的正。为了弥补这一缺点，我们将a（νt）视为具有a:R的波动率→ R+充分平滑，即股票价格过程S=（St）现在由DST=St给出（r+λa（νt））dt+pa（νt）dBSt. （5.9）因此，在可接受的投资组合策略π下的财富过程由随机微分方程dWπt=Wπt（r+πtλa（νt））dt+Wπtπtpa（νt）dBSt的解给出，（5.10），其中我们假设W=W>0是给定的初始财富。我们希望解决相同的优化问题（2.13），并按照第3节的要求进行，即我们考虑有限维近似νnt：=v+Ztt-α-1Γ(-α） +Z∞Yxt▄un（dx）=v+Ztt-α-1Γ(-α） +nXi=1qniYxnit。（5.11）近似股价过程的动力学由DST=St给出（r+λa（νnt））dt+qa（νnt）dBSt（5.12）近似财富过程的随机微分方程为thusdWπt=Wπtr+πtλa（νnt）dt+Wπtπtqa（νnt）dBSt。

（5.13）这里定义的有限维经典随机最优控制问题是v（t，w，~y，，~yn，z）：=supπEt，w，~y，。。。，yn，zγWπTγ. （5.14）式中，Et，w，~y，。。。，yn，zi是给定的条件期望，Wt=w，▄Yxit=▄yi，Zt=z，时间t。与之前一样，投资组合策略是（Ft）适应的过程。在下面的内容中，我们推导出该优化问题对应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。用G（t，w，~y，~yn，z）和t表示泛型函数∈ [0，T]，w>0，~yi≥ 0，z>0。边界条件由G（T，w，~y，~yn，z）=γwγ给出。为了便于记法，我们设置12 N.B¨AUERLE和S.Desmetreβ：=a（v+zt-α-1Γ(-α） +Pni=1▄气▄意）。因此，HJB方程reads0=supu∈RnGt+Gww（r+uλβ）+nXi=1Gyixi（1- e-txi）κ（θ- z）- xi易+ Gzκ（θ- z） +Gwwwuβ+Gzzσz+σznXi=1nXj=1Gyiyjxixj（1- e-txi）（1- e-txj）+σznXi=1Gyizxi（1- e-txi）+Gwzwuσρpzβ+nXi=1Gwyiρwuσpzβxi（1- e-txi）o.（5.15）为了求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们从定理3.3的证明中相同的变换开始。使用Ansatz G（t，w，~y，~yn，z）=γwγf（t，y，~y，~yn，z）和f（t，y，~yn，z）=1，并将其插入（5.15），其中我们使用缩写hi（t）=xi（1- e-txi）我们得到：0=supu∈Rnft+f（r+uλβ）γ+nXi=1fyihi（t）κ（θ- z）- xi易+ fzκ（θ- z） +（γ）- 1） γuβf+fzzσz+σznXi=1nXj=1fyiyjhi（t）hj（t）+σznXi=1fzyihi（t）+fzγuσρpzβ+nXi=1fyiγuσρpzβhi（t）o.（5.16）最大化u givesu*t=λ1- γ+σρ1 - γrzβfzf+Pni=1fyihi（t）f. （5.17）如果ρ=0，我们再次得到u*t=λ1-γ与t、w、~y、…、无关，yn。插入最大点yields0=ft+fγλβ1- γ+fγr+nXi=1fyihi（t）κ（θ-z）- xi易+fzκ（θ-z） +σzfzz+σznXi=1nXj=1f▄yi▄yjhi（t）hj（t）+σznXi=1fz▄yihi（t）+zfγσρ1- γfz+nXi=1fyihi（t）+σρλγ1 - γpzβfz+nXi=1fyihi（t）. （5.18）不幸的是，这一偏微分方程相当复杂，必须用数值方法求解。

如果ρ=0，我们得到：定理5.1。假设ρ=0，对于T，存在边界条件为f（T，~y，~yn，z）=1的偏微分方程（5.18）的经典解f∈ [0，T]，T≤ T∞, w>0，~yi>0，z>0。然后可以写为f（t，~y，~yn，z）=Et，~y，。。。，yn，z“eRTtγr+γλ1-γa（νns）ds#其中（νnt）由（5.11）给出。该证明类似于定理3.5的证明以及[18]中给出的Feynman-Kac定理。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化13备注5.2。从第6节中的模拟结果可以看出，如果我们以正确的方式选择模型参数，（νt）的路径保持正，概率非常高。特别注意，对于α↓ -1在极限条件下，我们得到了经典的Heston模型，其中路径为正，概率为1。此外，在域D上：={（t，y，yn，z）：v+zt-α-1Γ(-α） +Pni=1qiyi>0}我们得到了（5.18）的经典解。附录中显示了这一点。验证HJB方程确实产生值函数的方法与α>0的情况相同。我们得到：定理5.3。[验证]假设存在一个偏微分方程（5.18）的解f，其中ρ=0，边界条件f（T，y，yn，z）=1。对于t∈ [0，T]，T≤ T∞, 最优投资策略（π*t） 由π给出*t型≡λ1 - γ、 值函数可以写成v（t，w，~y，~yn，z）=γwγf（t，y，~yn，z）。（5.19）证明。如前所述，证明与定理3.6基本相同。我们只需要用γwγf（t，y，y，yn，z）和νtby a（νt）替换G（t，w，y，~yn，z）。现在的最后一步是限制n→ ∞ 并考虑无近似的优化问题。这里我们得到：定理5.4。

[粗路径问题的解决方案]假设存在一个偏微分方程（5.18）的解决方案f，条件是ρ=0，边界条件f（T，y，，，yn，z）=1。α问题（2.13）的最优投资组合策略∈ (-1.-) 由π给出*t型≡λ1-γ和值函数可以写成v（w，v，z）=γwγE0，~y，。。。，yn，z“eRTγr+γλ1-γa（νs）ds#（5.20），其中（νt）由（5.6）给出。如果γ<0，我们必须假设（Wπ，nt）对所有π都是一致可积的。6、模拟结果为了说明过程（2.3）和（5.2）的分数和粗糙行为，我们推导并实现了相应的显式前向欧拉方法，这是受调查的启发[13]；所得方案适用于常数步长h>0：νk=ν+hαk-1Xj=0（k）- j） α- （k）- j-1） αΓ（α+1）Zj, （6.1）νk=ν+Zkk-α-1Γ(-α)+Γ(-α） hα+1（α+1）（α+0.5）k-1Xj=0Zk公司- Zj（k- j） δ（k）- j- 1)α+1-δ-（k）- j） α+1-δ, （6.2）其中，我们选择δ接近，但小于0.5。在接下来的分析中，如果没有另行说明，我们选择的步骤大小为h=0.001。14 N.B–AUERLE和S.DESMETTRE6.1。分数波动率案例。图1显示了Cox-IngersollRoss过程（2.4）及其相应股票价格过程的五个样本路径，以及α的分数波动率过程（2.3）和分数股票价格过程（2.2）∈ {0.05、0.5、0.95}和ρ∈ {-0.7，0，0.7}，其中剩余模型参数已选择asT=1，S=100，r=0.02，λ=0.5，θ=0.05，κ=6，v=0，z=0.05。（6.3）我们从图1中推断出，在极限情况α下，也直观地收敛到经典Heston模型↓ 0为真。我们观察到α值越高，分数路径的平滑度越高。

此外，如（2.7）和（2.8）所示，分数波动率过程的长期依赖性是可以明显检测到的，这也符合分数模型中价值函数（4.18）的递增行为，具有不断增长的历史。6.2. 粗略波动率案例。图2显示了α的Cox-Ingersoll-Ross过程（2.4）及其相应的股票价格过程、粗糙波动率过程（5.2）和粗糙股票价格过程（5.12）（a（νt）=νt |）的五个样本路径∈ {-0.95, -0.75, -0.55}和ρ∈ {-0.7，0，0.7}，其中其余模型参数已按（6.3）所示进行选择。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化150 0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7]0 0.2 0.4 0.6 0.8 16080100120140St[=0]0 0.2 0.4 0.6 0.8 16080100120140St[=0.7]0.2 0.4 0.6 0.8 100.050.10.150.175Zt0 0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7；=0.05]0.2 0.4 0.6 16080100120140St[=0；=0.05]0 0.2 0.4 0.6 0.8 16080100120140St[=0.7；=0.05]0 0.20.4 0.6 0.8 100.050.10.150.175t[=0.05]0.2 0.4 0.6 0.8 180100120ST[=0.7；=0.5]0.2 0.4 0.6 0.8 18090100110120St[=0；=0.5]0 0.2 0.4 0.6 18090100110120St[=0.7；=0.5]0.2 0.4 0.6 0.8 100.020.040.060.08t[=0.5]0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7；=0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 18090100110120St[=0；=0.95]0 0.2 0.4 0.6 18090100110120St[=-0.7；=0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 100.020.040.060.08t[=0.95]图1。α的分数波动率与股价路径∈ {0.05，0.5，0.95}与经典Heston模型相比。16 N.B–AUERLE和S。