分数和粗糙Heston模型中的投资组合优化

DESMETTRE0 0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7]0 0.2 0.4 0.6 0.8 150100150St[=0]0.2 0.4 0.6 0.8 150100150St[=-0.7]0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.050.10.150.2Zt0 0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7；=-0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 160801010140ST[=0；。=-0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 16080120120140ST[=-0.7；=-0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 100.050.10.150.2t[=-0.95]0.2 0.4 0.6 0.8180100120140St[=0.7；=-0.75]0.2 0.4 0.6 0.8 16080100120140St[=0；=-0.75]0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=-0.7；=-0.75]0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2-0.100.10.2t[=-0.75]0.2 0.4 0.6 0.8 150100150200St[=0.7；=-0.55]0.2 0.4 0.6 0.8 150100150St[=0；=-0.55]0 0.2 0.4 0.6 0.8 150100150St[=-0.7；=-0.55]0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.500.5t[=-0.55]图2。α的粗波动率和股价路径∈ {-0.95, -0.75, -0.55}与经典Heston模型相比。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化17我们从图2中推断，在粗糙情况下，在极限情况下，预期收敛到经典HESTON模型α↓ -1适用。我们观察到，当α值接近最大可能值时，路径的粗糙度增加-. 请注意，在这种情况下，路径的完整性对股价有显著影响。我们还发现，如第5节所述，粗波动率过程在概率为1的情况下不会保持正的影响，而且这种影响越明显，路径越粗。我们希望强调，这种行为高度依赖于粗糙CIR过程起始值Vo的选择，我们选择v=0，以获得收敛limα→-1（νt）=图2所示的zta。

在这方面，图3显示，例如，在α=-0.75对于选择v=3，z=0.15.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.050.10.150.20.250.3t[=-0.75；v0=0.15]图3，粗糙挥发性过程保持严格的正值。α=-0.75，v=0.15。图4进一步描述了从a:R中选择函数a（νt）的绝对值和指数函数→ R+具有不同的起始值v。因此，我们推断这两种选择都会产生所需的效果。为了完整起见，我们在图2.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.050.10.150.20.25 | t |[=-0.75；v0=0]0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1250.150.1750.2exp（t）[=-0.75；v0=0.15]图4中的插图中插入了股票价格方程中的绝对值。α=-0.75.18 N.B–AUERLE和S.DESMETTRE6.3。最佳终端财富。为了说明在ρ=0的情况下，分数和粗挥发性过程对最优终端财富的影响，图5描述了最优财富过程wπ？t=wexprt+Ztλ1 - γνs-λ(1 - γ） νsds+Ztλ1- γ√νsdBSs, （6.4），我们通过明确求解SDE（2.12）并插入最优（Merton）投资组合策略获得，其中我们选择了额外的模型参数asw=1000，γ=-2.（6.5）我们观察到，波动路径的粗糙度（RHS）会导致最优财富路径的方差更高，就像平滑情况（LHS）一样，α值越接近-.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 198099010001010102010301040105010601070Wt*=0=0.5=0.950 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 19801000102001040106010801100wt*=-1=-0.75=-0.55图5。

α的分数最优终端财富∈ {0.5，0.95}（LHS）和α的最佳终端财富∈ {-0.75, -0.55}（RHS），与经典Heston模型相比（α=0，α=-1).6.4. 长期行为。为了总结我们的模拟研究，我们比较了分数（α=0.75）和粗糙（α=-0.75）波动性过程，以及图6中相应的股价过程。再次，根据分数模型中价值函数（4.18）的递增行为，我们观察到，从长期来看，分数股票价格过程在不同的相关性水平上达到了不切实际的高值。这是由分数波动率过程的上升趋势造成的，如图6中的样本路径所示。相比之下，由粗略波动过程的绝对值驱动的粗略股价过程在合理范围内变动。因此，我们建议仅在短期投资期限内使用分数模型，而整体模型似乎也适用于长期投资期限。7、附录7.1。Cox-Ingersoll-Ross模型的H¨older连续性。下面的引理可能是常见的知识，但由于我们还没有在某处找到它，我们将提供一个证明。我们把主要思想归功于[32]。引理7.1。（2.3）中给出的（Zt）的路径几乎是-H–older连续的。证据我们使用Kolmogorov的连续性定理，该定理指出，对于满足以下条件的随机过程（Xt）|Xt公司- Xs |α≤ K | t- s | 1+β对于正常数K，α，β，存在（Xt）的修正，路径为0<γ<βα的γ-H¨oldercontinuous。

鉴于（2.3），我们只需处理分数和粗糙HESTON模型190 2 4 6 8 100200400600800100012001401600ST[=-0.7；=0.75]0 2 4 6 8 100200400800100012001400ST[=0；=0.75]0 2 4 6 8 10050010001500St[=0.7；=0.75]0 2 4 6 8 100.20.250.30.350.40.450.50.550.6t[=0.75]0 2 4 6 8 100100200400500600700ST[=-0.7；=-0.75]0 2 4 6 8 100100200300400500600700800St[=0；=-0.75]0 2 4 6 8 100100300400500600700800ST[=0.7；=-0.75]0 2 4 6 8 100.1750.20.2250.250.275exp（t）[=-0.75]图6。分数和粗糙波动率过程与相应股票价格过程的长期行为比较。Rt公司√ZudbZu，因为其余部分是连续的。下面让p>2，并考虑hZtpZudBZu-ZspZudBZu2pi=EhZtspZudBZu2pi≤ KpEh公司ZtsZudu公司圆周率≤ Kp（t- s） p-1EhZtsZupdui=Kp（t- s） p-1ZtsE【Zup】du，其中我们将Burkholder-Davis-Gundy不等式用于第一个不等式，将H¨older不等式用于第二个不等式。众所周知，Zt具有非中心卡方分布，因此最后一个积分是有限的。因此，我们可以应用Kolmogorov continuitytheorem，并得出（Zt）对路径进行了修改，路径为0<γ的γ-H-older连续路径<-p7.2. （5.18）的经典解。注意，ν的初始值应选择正值，例如我们在域D内开始：{（t，y，…，yn，z）：v+zt-α-1Γ(-α） +Pni=1qiyi>0}。只要过程（νt）保持正值，它就在D中，在这个域上，我们可以跳过绝对值，得到偏微分方程0=ft+fγλ（v+zt-α-1Γ(-α） +Pni=1▄气▄意）1- γ+fγr+nXi=1fyihi（t）κ（θ-z）- xi易+fzκ（θ-z） +σzfzz+σznXi=1nXj=1f▄yi▄yjhi（t）hj（t）+σznXi=1fz▄yihi（t）（7.1），边界条件f（t，▄y，▄yn，z）=1。现在再次使用Ansatzf（t，~y。

，~yn，z）=expφ（T- t） +nXi=1ψi（t- t） yi+Д（t- t） zφ（0）=ψi（0）=ψ（0）=0，我们得到了ψi（T）的（5.18）解- t） =ηИqiZT-te公司-xisds（7.2）20 N.B¨AUERLE和S.Desmettre，其中η：=γλ1-γ、Д和φ是普通微分方程Дt（t）的解- t） =ηt-α-1Γ(-α)-κИ（T-t） +σД（t-t）-ηhn（t）κ-σД（T-t）-σηhn（t）（7.3）φt（t- t） =γr+vη+θκ^1（T- t） +hn（t）. （7.4）hn（t）：=RtRT-tR公司∞e-x（s+u）~un（dx）duds和边界条件Д（0）=φ（0）=0。注意，由于Picard-Lindel¨oforem，普通微分方程（7.3）和（7.4）都有解。因此，我们在D.7.3上得到了（5.18）的经典解。其他证明。附录的这一部分包括更长的证明和辅助引理。引理3.1的证明：对于n∈ N定义函数tn（x）：=N-1Xi=0xni+1[ξni，ξni+1]（x），x≥ 显然，它认为tn（x）→ x代表n→ ∞ 根据假设（i）-（iii）。因此，我们有zfdun=nXi=1qnif（xni）=n-1Xi=0Zξni+1ξniu（dx）f（xni+1）=Zξnnξnf（tn（x））u（dx），这意味着第一个收敛声明，因为f是连续的，因此也有界于紧区间。现在，假设Zn+1仅从Znby偏离一个点。我们显示RFDun≤Rfdun+1。如果该点加在（0，ξn）或（ξnn）上，∞) 该语句紧跟在f之后≥ 现在假设一个点ξ被加上（ξni，ξni+1）。让我们用xn+1i+1和xn+1i+2表示Zn+1中取代xni+1的两个新点。我们得到：xni+1=Rξni+1ξnixu（dx）Rξni+1ξniu（dx）=Rξnixu（dx）Rξniu（dx）·Rξniu（dx）Rξni+1ξniu（dx）+Rξni+1ξxu（dx）·Rξni+1ξniu（dx）Rξni+1ξniu（dx）。因此，对于f的凸性，它遵循f（xni+1）≤ f（xn+1i+1）Rξniu（dx）Rξni+1ξniu（dx）+f（xn+1i+2）Rξni+1ξniu（dx）Rξni+1ξniu（dx）两边乘以Rξni+1ξniu（dx）意味着将Rξni+1ξniu（dx）f（xni+1）替换为ξniu（dx）f（xn+1i+1）+Rξni+1ξniu（dx）f（xn+1i+2）增加该值。

因此，单调收敛随之而来。定理3.3的证明：为了简化该Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们选择了通常的分离Ansatz，其中G（t，w，y，…，yn，z）=γwγf（t，y，…，yn，z）和由f（t，y，…，yn，z）=1给出的边界条件。将此Ansatz插入（3.15），我们得到：0=supu∈Rnft+f（r+uλβ）γ+nXi=1fyi（z- 西医）+fzκ（θ）- z） +（γ）- 1） γuβf+fzzσz+fzγσuρpzβo。在u给定条件下最大化此表达式*（y，…，yn，z）=λ1- γ+σρ1 - γrzβfzf。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化21注意，对于ρ=0，这将减少到u*=λ1-γ与t、w、y、…、无关，yn。插入最大点屈服强度0=ft+fγλβ1- γ+fγr+nXi=1fyi（z- 西仪）+fzκ(θ - z） +λγσρ√zβ1- γ+σzfzz+γσρz1- γfzf。（7.5）为了进一步简化方程，我们使用Ansatzf（t，y，…，yn，z）=g（t，y，…，yn，z）c（7.6），c=1-γ1-γ+γρ和g（T，y，…，yn，z）=1。有关类似的转换，请参见[37,23,1]。插入导数并重新排列项将导致0=cgt+gγr+λβγ1- γ+ cnXi=1gyi（z- 西医）+cgzκ(θ - z） +λγσρ√zβ1- γ+σczgzz。对于该偏微分方程，满足了[18]中的条件（A1）、（A2）和（A3’）（另见定理3.5），这意味着经典解的存在（见[18]中的定理1]）。请注意，只有在一定的时间间隔[0，T]内才能满足装置条件（A3e∞].让我们更详细地考虑ρ=0的情况。在这种情况下，c=1，f=g。剩余Pde由0=ft+fγλβ1给出- γ+fγr+nXi=1fyi（z- 西医）+fzκ（θ）- z） +σzfzz。这里我们使用Ansatzf（t，y，…，yn，z）=expφ（T- t） +nXi=1ψi（t- t） yi+Д（t- t） z（7.7）φ（0）=ψi（0）=Д（0）=0。请注意，这种方法是a ffine模型的典型方法。已经证明，它在许多随机波动率模型中是成功的（参见。

[1, 21]).我们获得：0=-（φt+nXi=1yiψit+zДt）+γr+γλβ1- γ+nXi=1ψi（z- xiyi）+Дκ（θ）- z） +σzИ。（7.8）插入β=v+Pni=1yiqi，重新排列术语并使用缩写η：=γλ1-γ磨损率为0=-φt+γr+vη+Дκθ+nXi=1yi- ψit+ηqi- ψixi+z- ψt+nXi=1ψi- κφ +σφ. （7.9）22 N.B¨AUERLE和S.Desmettre由于该方程必须满足所有z和qi，因此最终得到以下一般微分方程系统，其中i=1，n： ψit（T- t） =ηqi- xiψi（T- t） ^1t（t- t） =nXi=1ψi（t- t）- κИ（T- t） +σД（t- t） φt（t- t） =γr+vη+Д（t- t） κθ。（7.10）ψi的第一微分方程是线性的，显式解以及边界条件ψi（0）=0由ψi（T）给出- t） =ηqixi（1- e-xi（T-t） ）=ηqiZT-te公司-xisds。（7.11）因此我们得到nxi=1ψi（T- t） =ηnXi=1qiZT-te公司-xisds=ηZT-tZ公司∞e-xsun（dx）ds。（7.12）因此，剩余的微分方程可以写成Дt（t- t） =ηZT-tZ公司∞e-xsun（dx）ds- κИ（T- t） +σД（t- t） （7.13）φt（t- t） =γr+vη+Д（t- t） κθ。（7.14）边界条件为Д（0）=φ（0）=0。一旦知道ν，立即解决（7.14）的问题。因此，当ν的普通微分方程有解时，就满足了解的存在性。然而，由于系数的连续性，Picard-Lindel的存在定理保证了这一点。然而，请注意，只能在有限的时间间隔内保证存在[0，T∞]. 定理5.3的证明：假设G=γwγgcis如所述。然后是通过定义HJB方程的解。为了得到V=G，我们证明了对于任意投资策略π，我们有thaet，y，。。。，yn，z（WπT）γγ≤ G（t，w，y，…，yn，z），（7.15）和最优策略π？我们有，y，。。。，yn，z“Wπ？Tγγ#=G（t，w，y，…，yn，z）。

（7.16）自G∈ C1,2，我们通过It^o公式得到了一个可接受的投资策略π，即（为了简单起见，我们写W而不是Wπ）G（T，WT，YxT，…，YxnT，ZT）=G（T，W，y，…，yn，z）+ZTtGwWsπspνnsdBSs（7.17）+ZTtGzσpZsdBZs+ZTtnGt+GwWs（r+πsλνns）+Gzκ（θ- Zs）+nXi=1Gyi（Zs- xiYxis）+GwwWsπsνns+gzzzσ+GwzWsπsσρpZsνnsods≤ G（t，w，y，…，yn，z）+ZTtGwWsπspνnsdbs+ZTtGzσpZsdBZs，分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化23，我们使用（3.15）获得了最后一行中的表达式。右边是T中的thusa局部鞅。对于γ>0，我们有G>0，右侧是一个超鞅，因此，使用G（T，WT，YxT，…，YxnT，ZT）=wγ/γ，我们得到，y，。。。，yn，zG（T，WT，YxT，…，YxT，ZT）= Et，y，。。。，yn，z（WπT）γγ≤ G（t，w，y，…，yn，z），即（7.15）保持不变。关系式（7.15）也适用于有界容许策略和γ<0，sincethenEt，y，。。。，yn，zZTtGwWsπspνnsdBSs= Et，y，。。。，yn，zZTtGzσpZsdBZs= 0 .关系式（7.16）如下所示：当我们插入（π*t） 在方程（7.17）中，我们通过定义（π）得到*t） thatG（t，WT，YxT，…，YxnT，ZT）=G（t，w，y，…，yn，z）+ZTtGwWsπ*spνnsdBSs+ZTtGzσpZsdBZs。取条件期望Et，y，。。。，yn，zon双方，并利用假设来暗示声明。引理7.2。如（3.23）所示，给出（▄Znt）。如果ρ≤ 0我们有Znt≥锌+1吨，t型≥ 0= 1、特别是PZnt≤ Zt，t型≥ 0= 1，其中（Zt）在（2.4）中给出。如果ρ≥ 0我们有Znt≤锌+1吨，t型≥ 0= 最后，（~Znt）的语句结转到（~νt）。证据该证明遵循与[36]中定理1.1的证明相同的方式。请注意，（▄Znt）永远不会变为零，证明中的函数ρ可以选择为ρ（x）=√x、 由于引理3.1，我们在漂移项（~Znt）中对n具有单调性。引理4.1的证明：我们使用了[24]中的命题5.1。

首先可以证明（~Znt）是相对紧凑的。根据【25】定理2.1，我们必须证明（i）limK→∞supnP（|Znt |>K）=0，0≤ t型≤ T、 （二）林氏↓0lim支持→∞支持≤TE[最小值{1，| Znt+h-~Znt |}]=0。但这是真的，因为在ρ的情况下（~Znt）可以由（Zt）限定≤ ρ情况下为0，按（￠Zt）≥ 此外，我们还写了▄Znt=（Fn（▄Zn），Fn（▄Zn））dtBZt公司其中fn（z）t=κ（θ- zt）+λγσρ1- γ√ztvuutv+nXqniZte-（t-s） xiznsds（7.18）F（z）t=κ（θ- zt）+λγσρ1- γ√ztsv+Z∞中兴通讯-（t-s） xzsdsu（dx）（7.19）Fn（z）t=σ√zt（7.20）F（z）t=σ√zt。（7.21）我们接下来必须证明，当（zn）→ （z） 在Skorohod拓扑中，然后也是（zn，Fn（zn））→（z，F（z））在Skorohod拓扑中。由于z和F（z）都是连续的，这可以归结为紧致区间上的均匀收敛。仍需证明Fn（zn）→ F（z）统一24 N.B¨AUERLE和S.DESMETTREon紧致区间if（zn）→ （z） 。这可以通过查看平方根下的表达式来完成：nXi=1qniZte-（t-s） xiznsds公司-Z∞中兴通讯-（t-s） xzsdsu（dx）(7.22)≤nXi=1qniZte-（t-s） xi | zns- zs | ds+ZtnXi=1qnie-（t-s） xi-Z∞e-（t-s） xu（dx）zsds（7.23）≤Z∞中兴通讯-（t-s） x | zns- zs | dsu（dx）+ZtnXi=1qnie-（t-s） xi-Z∞e-（t-s） xu（dx）zsds（7.24）由于引理3.1，最后一项收敛于零，由于| zns，第一项收敛于零- zs |→ 假设为0 u.o.c。最后，该陈述源自【24】中的命题5.1。引理4.2的证明：根据定理3.2和随机It^o积分的定义，我们获得了sincelimn→∞EhZTπs(√νs-pνns）dsi=0，通过ztπspνnsdBSsL的单调收敛→ZTπs√νsdbss表示L-收敛。我们总共得到了→∞ZT公司r+πsνns（λ-πs）ds+ZTπspνnsdBSs=ZT公司r+πsνs（λ-πs）ds+limn→∞ZTπspνnsdbs。由于Skorokhod表示定理所暗示的L收敛几乎肯定收敛于一个合适的概率空间，我们得到→∞Wπ，nT=WπT。一致收敛意味着这一陈述。

引理4.4的证明让我们首先将这两个微分方程写成νnt（T- t） =ηhn（t- t）- κИn（T- t） +σ（Дn）（t- t） （7.25）Дt（t- t） =ηh（t- t）- κИ（T- t） +σД（t- t） （7.26）带hn（t- t） =RT-tR公司∞e-xsun（dx）ds和h（T- t） =（t-t） αΓ（α+1）。根据引理3.1和前面的计算，我们知道0≤ hn（t）≤ h（t）和limn→∞hn（t）=h（t）。现在，让Д成为Дt（t）的解- t） =-κИ（T- t） +σ（Д）（t- t） 使用Д（0）=0。然后，通过一个经典的比较定理（参见[22]中的命题5.2.18），我们得到≤ ^1n≤ 对于所有n，按点计算，即对于固定的t，有界的是Д。现在考虑ξn（t）：=Д（t）- ^1n（t）。它求解微分方程ξnt（t）=ηh（t）- hn（t）- κξn（t）+σξn（t）^1n（t）+Д（t）.因此由ξn（t）=ηexp给出Zt公司σ（Дn（u）+Д（u））-κ杜邦兹特鲁-σ（Дn（s）+Д（s））+κds公司h（u）-hn（u）杜邦.分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化25sins有界和limn→∞hn（t）=h（t）我们通过支配收敛得到ξn（t）→0表示n→ ∞ 这意味着声明的收敛。定理4.5自π的证明*≡λ1-根据定理3.6，对于n次近似，γ是最优的。我们得到了ew，v，zhγ（Wπ，nT）γi≤ Ew、v、zhγ（W*,nT）γi（7.27），其中我们写W*,n代替Wπ*,nT。现在让我们考虑一下右手边的期望。插入最优投资组合策略π*并利用费曼-卡茨定理3.5的屈服强度，v，zhγ（W*,nT）γi=γwγexp（γrT）Ew，v，zhexpλγ2(1 - γ） ZTνnsdsi、 通过单调收敛，我们从定理3.2得到thatlimn→∞Ew、v、zhexpλγ2(1 - γ） ZTνnsdsi=Ew、v、zhexpλγ2(1 - γ） ZTνsdsi、 另一方面，我们知道exp（γrT）Ew，v，zhexpλγ2(1 - γ） ZTνnsdsi=经验值φn（T）+φn（T）z式中，νnandφnare为（3.19）和（3.20）的溶液。从引理4.4我们知道，右手边收敛到xpφ（T）+φ（T）z式中，Д和φ是（4.13）和（4.14）的溶液。