分数和粗糙Heston模型中的投资组合优化

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英文标题：
《Portfolio Optimization in Fractional and Rough Heston Models》
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作者：
Nicole B\\\"auerle, Sascha Desmettre
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a fractional version of the Heston volatility model which is inspired by [16]. Within this model we treat portfolio optimization problems for power utility functions. Using a suitable representation of the fractional part, followed by a reasonable approximation we show that it is possible to cast the problem into the classical stochastic control framework. This approach is generic for fractional processes. We derive explicit solutions and obtain as a by-product the Laplace transform of the integrated volatility. In order to get rid of some undesirable features we introduce a new model for the rough path scenario which is based on the Marchaud fractional derivative. We provide a numerical study to underline our results.
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中文摘要：
我们考虑了Heston波动率模型的一个分数版本，其灵感来自【16】。在这个模型中，我们处理电力效用函数的投资组合优化问题。使用分数部分的适当表示，然后进行合理的近似，我们表明可以将问题转换为经典的随机控制框架。这种方法适用于分数过程。我们推导出显式解，并作为副产品获得积分波动率的拉普拉斯变换。为了消除一些不良特征，我们引入了一种新的基于Marchaud分数阶导数的粗糙路径模型。我们提供了一个数值研究来强调我们的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Portfolio_Optimization_in_Fractional_and_Rough_Heston_Models.pdf (1.9 MB)

2022-6-10 20:30:36 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 Est sto Optimization

分馏地粗糙赫斯顿模型中的投资组合优化*和SASCHA DESMETTRE+，摘要。我们考虑了[16]所启发的赫斯顿波动率模型的分数版本。在这个模型中，我们处理电力效用函数的投资组合优化问题。使用分数部分的适当表示，然后进行合理的近似，我们表明可以将问题转换为经典的随机控制框架。这种方法适用于分数过程。我们推导了显式解，并得到了积分波动率的拉普拉斯变换的副产品。为了消除一些不需要的特征，我们引入了一种新的基于Marchaud分数阶导数的粗糙路径模型。我们提供了一个数值研究来强调我们的结果。关键词：分数随机过程；赫斯顿模型；崎岖的道路；随机控制；Hamilton-Jacobi-Bellman方程；Feynman Kac代表1。引言【19】的随机波动率模型是目前金融衍生品定价的标准模型，大量相关文献强调了这一点；比较扩展教科书[33]和其中的参考文献，以获得全面的概述。在连续时间投资组合优化的背景下，赫斯顿模型与[37、4、23、27、1]中使用的随机控制方法以及[21]中使用的鞅方法相比，前者关注的是找到一种能够最大化终端财富预期效用的交易策略。大量文献对赫斯顿模型的分数变量进行了研究，该模型使用Hurstindex H>1/2的分数布朗运动作为波动过程的驱动力，从而模拟长期记忆效应，包括。

[5, 26].从[14]中观察到的波动性是粗糙的开始，当前的文献采用了一种新的观点：粗糙的赫斯顿模型，它使用分数布朗运动，Hurstindex H<1/2作为波动过程的驱动力，结合了更好的隐含波动性表面，如[14]所示，已经非常流行；比较例如[16，7]。随后，出现了许多关于期权定价、路径模拟、渐近性以及分数和粗糙环境基础的论文；比较一下[2、8、20、30、11、15]，举出几个例子。众所周知的图也反映了粗糙路径理论日益重要的普遍意义【29，12】。另一方面，长期以来，分数模型和粗糙模型中的投资组合优化很少受到关注。在早期的研究中，[35]涉及分数布莱克斯科尔斯市场中的默顿问题。然而，随着粗糙波动率模型的日益普及，这些模型中的随机控制方法和投资组合优化最近被处理如下：例如，在[6]中，对于一类由路径驱动的受控微分方程，值函数满足Hamilton-Jacobi-Bellman型方程。在具体的最优投资组合设置中，[9，10]使用价值的鞅失真表示*卡尔斯鲁厄理工学院数学系（KIT），德国卡尔斯鲁厄D-76128。+数学系，TU Kaiserslautern（TUK），D-67663 Kaiserslautern，德国。+奥地利格拉茨大学数学与科学计算研究所，AT-8010 Graz。c0000（版权所有人）2 N.B–AUERLE和S。

当标的资产的收益率和波动率是分数Ornstein-Uhlenbeck过程的函数时，DESMETTREfunction建立最佳值的一阶近似值。在本文中，我们使用经典的随机控制方法，在分数和粗糙Heston模型中求解了具有幂效用函数的投资者的最优投资组合问题。当然，直接应用随机控制方法是不可能的，因为相应的随机过程（波动率和股价过程）是非马尔可夫的；比较例如[31]。然而，我们通过分数部分的适当表示以及区域合理近似表明，可以将问题转换为经典框架。因此，我们的计算基于基础挥发性过程的有限维近似，灵感来自于[3，17]中分数过程的有效表示。然后将原始优化问题的解作为近似问题的极限。这一过程产生了这类问题的数值解法。此外，作为副产品，我们推导了分数和粗糙情况下的Feynman-Kac型公式，将相关偏微分方程的解描述为积分波动过程的Laplacetransform。在粗略的情况下，我们使用了一个新的波动率模型，该模型基于马绍德分数阶导数，似乎弥补了以前模型的一些缺点。事实证明，在使用分数波动率模型进行投资组合优化时，必须非常小心。

这一方面是由于这些模型的一般行为，但也由于依赖性属性。本文概述如下：第2节介绍了金融市场模型和赫斯特参数H情况下的优化问题∈ (, 1). 这里我们使用分数里曼-刘维尔积分（比较[16]）来计算波动率。在第3节中，我们提供了优化问题的有限维近似，通过求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程得出了一个解，并验证了所获得的解是非最优的。第4节说明近似分数模型的解收敛于原始分数模型的解。在第5节中，我们重点介绍了Hurst参数H的合适粗糙Heston模型的定义∈ （0），并求解相应的最优投资问题。第6节接着阐述了分数和粗糙的赫斯顿模型，并评估了推断出的最优投资策略的行为。附录中包含了一些证明和辅助结果。2、金融市场模型与优化问题假设(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）是一个过滤的概率空间，T>0是一个固定的时间范围。我们考虑一个只有一种债券和一种风险资产的金融市场。债券按照ODST=rStdt（2.1）演变，r>0为利率。股票价格过程S=（St）由dst=St给出（r+λνt）dt+√νtdBSt（2.2）其中（BSt）是（Ft）-布朗运动，λ>0是常数。波动过程（νt）是一个v：=v的“分数”Cox-Ingersoll-Ross过程≥ 0：νt=v+Γ（α）Zt（t- s） α-1Zsds（2.3），其中α=2H- 1.∈ （0，1），Hurst指数为H∈, 1.anddZt=κ（θ- Zt）dt+σpZtdBZt（2.4），Z：=Z≥ 0是通常的Cox-Ingersoll-Ross模型。

假设常数κ、θ、σ为正，并满足Feller条件2κθ≥ σ. 这意味着（Zt）保持概率为1的严格正态。“粗糙波动率”案例H∈ （0，）将在以后考虑。（BZt）也是（Ft）-布朗运动。我们假设（BSt）和（BZt）与分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化相关3相关ρ∈ (-1，1），即hBS，BZit=ρt。注意，（2.3）中出现的积分对于α定义良好∈ （0，1）自Γ（z）：=R∞e-ttz公司-对于z>0，1dt定义得很好。运算符iαf（t）：=Γ（α）Zt（t- s） α-1f（s）ds（2.5）是α阶的经典左分数Riemann-Liouville积分，也称为Euler变换（参见[34]中的定义2.1]）。其中，它具有limα的性质→0Iαf（t）=f（t）（2.6）逐点（参见[34]中的定理2.7），这意味着在极限情况下α↓ 0我们得到了[19]的经典Heston模型。自Zt起≥ 0几乎可以肯定我们得到了νt≥ ν几乎可以肯定≥ 0、t、h可显示（见【16】）≥ 0 thatCov（νt+h，νt）=Γ（α）Zt+hZt（t- s） α-1（t+h- u） α-1Cov（Zs，Zu）dsdu（2.7），其中cov（Zs，Zu）=σθ2κe-κs-u |+z- θκe-κ（s∧u）-2κ（2z- θ） e类-κ（s+u）（2.8）和s∧ u=最小值（s，u）。这意味着波动过程（νt）具有长期依赖性。此外，操作符Iα具有平滑特性（有关模拟结果，请参见第6节）。备注2.1。[8] 给出一个分数/粗糙Heston模型的替代公式，它比（2.3）和（2.4）给出的分数CIR过程更接近分数布朗运动的Mandelbrot-vanness表示。

我们选择了接近于[16]的公式，因为结果表明，与该问题对应的Hamilton-Jacobi-Bellmann方程与[8]中模型对应的方程更容易处理。利用α∈ （0，1）（t- s） α-1Γ（α）=Z∞e-（t-s） xu（dx），其中u（dx）=dxxαΓ（α）Γ（1- α） （2.9）我们用Fubini定理νt=v+ZtZ得到∞e-（t-s） xZsu（dx）ds=v+Z∞中兴通讯-（t-s） xZsdsu（dx）=v+Z∞Yxtu（dx），其中Yxt：=中兴通讯-（t-s） xZsds。（2.10）使用部分积分，我们发现（Yxt）满足随机微分方程Yxt=（Zt- xYxt）dt。（2.11）优化问题是在这个市场中找到自我融资的投资策略，最大限度地提高终端财富的预期效用。作为效用函数，我们选择功率效用函数U（x）=γxγ，γ<1，γ6=0。参数γ表示投资者的风险规避。γ越小，风险厌恶程度越高。下面我们用πt表示∈ R时间t时投资于股票的财富份额。1-π是在时间t投资于债券的财富份额。如果πt<0，则意味着股票卖空，πt>1对应于信贷。这个过程π=（πt）被称为投资组合策略。可接受的portfolio4 N.B¨AUERLE和S.DESMETTREstrategy必须是一个（Ft）适应的过程，以便所有积分都存在。可容许投资组合策略下的财富过程π由随机微分方程dWπt=Wπt（r+πtλνt）dt+Wπtπt给出√νtdBSt，（2.12），其中我们假设W=W>0是给定的初始财富。优化问题由v（w，v，z）定义：=supπEw，v，zγWπTγ（2.13）其中Ew，v，zi是给定W=W，ν=v，Z=zan的条件期望，且至上数接管所有可接受的投资组合策略。投资组合策略π*如果达到最大值，则为最佳值。

该问题被视为具有状态过程（Wπt）的优化问题，它是非马尔可夫的，标准的随机控制方法无法应用。通过（2.10）中波动率的交替表示，该问题可以“马尔可夫化”，但仅在x>0的有限维过程（Wt、Yxt、Zt）内。因此，我们通过寻找有限维近似来解决这个问题。备注2.2。当然，假设决策者可以观察到股票价格过程是合理的。通过观察（St），我们还能够观察二次变量hsit=ZtSuνudu，（2.14），这意味着（νt）是可观察的。使用（2.3），这意味着（Zt）是可观察的，而定义（Yxt）。因此，在该模型中假设νt、yx和zt的知识是现实的。优化问题的有限维近似思想是考虑表示νt=v+Z∞Yxtu（dx），其中Yxt：=中兴通讯-（t-s） 分数挥发性过程（νt）的xZsds（3.1），由动力学νt=v+Γ（α）Zt（t）给出- s） α-1Zsds，dZt=κ（θ- Zt）dt+σpZtdBZt，（3.2），并通过原子数有限的离散测量接近u。因此，我们使用u的量化，定义如下（这也在[3]中使用）：设Zn：={0<ξn<…<ξnn<∞} 对于i=0，…，确定各间隔（ξni，ξni+1）上u的重心，n- 1 byxni+1：=Rξni+1ξnixu（dx）Rξni+1ξniu（dx），（3.3）和i=0时原子上的质量，n- 1 byqni+1：=Zξni+1ξniu（dx）。（3.4）相应的度量由un给出：=nXi=1qniδxni（3.5），其中δxis是x上的Dirac度量。在下面的内容中，我们假设znsaties：（i）ξn→ 0和ξnn→ ∞ 对于n→ ∞,（ii）δ（Zn）：=最大值=0，。。。，n-1 |ξni+1- ξni |→ 0表示n→ ∞,（三）锌 锌+1。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化5利用这些定义，我们得到：引理3.1。假设f∈ L（u）和序列（Zn）满足上述（i）-（iii）。

然后是ZFDun→Zfdu，n→ ∞ （3.6）如果f≥ 0和f是凸的。此外，收敛性是单调递增的。这个引理的证明和所有其他更长的证明被推迟到附录中。现在让我们用νnt：=v+Z来描述有限维近似波动过程∞Yxtun（dx）=v+nXi=1qniYxnit（3.7），其中u在（3.5）中定义。然后，直接应用前面的引理，现在意味着以下结果：定理3.2。在引理3.1的假设下，它适用于t≥ 0该νnt↑ n的νt（3.8）→ ∞ 几乎可以肯定。证据我们必须证明这一点∞Yxtun（dx）→Z∞Yxtu（dx）（3.9），其中Yxt=Rte-（t-s） xZsds。显然对于固定ω∈ Ohm 固定t>0，函数x 7→ Yxt（ω）是非负且凸的（请注意，Zs（ω）表示所有大于0正的s）。因此引理3.1意味着νnt↑ νt对于n→ ∞ 几乎可以肯定。我们现在考虑（3.7）中的（νnt），而不是（2.3）中的（νt）。本节中的所有随机过程都依赖于n（除了（Zt）），但为了简化符号，我们没有在符号中明确表示这种依赖关系。因此，近似股价过程的动力学由DST=St给出（r+λv+nXi=1qiYxit）dt+VUTv+nXi=1qiYxitdBSt公司（3.10）如前所述，对于x>0，我们有dyxt=（Zt- xYxt）dt（3.11）dZt=κ（θ- Zt）dt+σpZtdBZt。（3.12）近似财富过程的随机微分方程为thusdWπt=Wπtr+πtλv+nXi=1qiYxitdt+Wπtπtvuutv+nXi=1qiYxitdBSt公司。（3.13）我们考虑的优化问题与（2.13）中的上述过程相同。这导致了一个有限维经典随机最优控制问题。我们必须考虑值函数sv（t，w，y，…，yn，z）：=supπEt，w，y，。。。，yn，zγWπTγ. （3.14）式中，Et，w，y，。。。，yn，Zi是给定的条件期望，Wt=w，Yxit=yi，Zt=z在时间t。与之前一样，投资组合策略是（Ft）适应的过程。

在下面的内容中，我们推导出该优化问题对应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。用G（t，w，y，…，yn，z）和t表示泛型函数∈ [0，T]，w>0，yi≥ 0，z>0。由G（T，w，y，…，yn，z）=γwγ给出了6 N.B¨AUERLE和S.Desmettre边界条件。为了便于记法，我们设置β：=v+Pni=1qiyi。因此，HJB方程reads0=supu∈RnGt+Gww（r+uλβ）+nXi=1Gyiz- 西仪+ Gzκ（θ- z） +gwwuβ+Gzzσz+Gwzwuσρpzβo.（3.15）我们将首先证明此HJB方程的经典解存在，并且可以在不相关的情况下精确给出ρ=0。定理3.3。HJB方程（3.15）的解存在于一定的时间间隔[0，T∞] andis代表t∈ [0，T]，T≤ T∞, w>0，yi>0，z>0，由g（t，w，y，…，yn，z）=γwγg（t，y，…，yn，z）c（3.16）给出，c=1-γ1-γ+γρ和可微g满足0=cgt+gγr+λβγ1- γ+ cnXi=1gyi（z-西医）+cgzκ(θ -z） +λγσρ√zβ1- γ+σczgzz。（3.17）在不相关的情况下，ρ=0，函数g可以通过g（t，y，…，yn，z）=exp显式给出φ（T- t） +nXi=1ψi（t- t） yi+Д（t- t） z式中ψi（T- t） =ηqiZT-te公司-η：=γλ1的xisds（3.18）-γ、Д和φ是普通微分方程Дt（t）的解- t） =ηZT-tZ公司∞e-xsun（dx）ds- κИ（T- t） +σД（t- t） （3.19）φt（t- t） =γr+vη+Д（t- t） κθ。（3.20）边界条件为Д（0）=φ（0）=0。备注3.4。请注意，（3.19）是一个Riccati方程，并且（3.20）可以在已知ν的解后显式求解。在下面的讨论中，需要注意的是，部分微分方程（3.17）的解g可以通过费曼-卡茨定理表示为积分波动率的拉普拉斯变换。定理3.5。对于T，边界条件g（T，y，…，yn，z）=1的偏微分方程（3.17）的解g∈ [0，T]，T≤ T∞, w>0，yi>0，z>0写为g（t，y。