最优投资策略和无差异的精确解

例如，Ht，S的表达式变为Ht，S（w，b）=R-1[私人+t、 美国（wR+b（u- R） ）+（1- p） Vt公司+t、 dS（wR+b（d- R） ）]。（4） 为了证明在应用动态规划方程时，H类值函数的性质是保持不变的，我们用xui表示，i=1。。。Nuand xdj，j=1。。。Nd Vt的奇异值+t、 美国和Vt+t、 分别为dS。我们还设置xu=xd=-∞, xuNu+1=xdNd+1=+∞. 我们从（4）中可以看出，对wR+b（u）的点（w，b）进行特征化是有用的-R） 等于Vt的奇异值+t、 我们在哪里-b（R-D） 等于Vt的奇异值+t、 dS。我们将此子部分称为网格G。因此，我们定义N={（i，j）：1≤ 我≤ Nu，1≤ j≤ ...Nd}thesetsDij={（w，b）∈ R： xui<wR+b（u- R） <xui+1，xdj<wR- b（R- d） <xdj+1}，网格G=SNui=1Cui∪SNdj=1CdjforCui={（w，b）∈ R： wR+b（u- R） =xui}，（5）Cdj={（w，b）∈ R： wR公司- b（R- d） =xdj}。（6） 为了给网格的每个点提供唯一的坐标，我们还定义了：Luij={（w，b）∈ R： wR+b（u- R） =xui，xdj≤ wR+b（d- R） <xdj+1}Ldij={（w，b）∈ R： wR+b（d- R） =xuj，xui≤ wR+b（d- R） <xui+1}Lij=Ldij∪ 路易斯。在接下来的引理中，我们取（t，S）为t中的任意点。引理2每w∈ R、 b类→ Ht，S（w，b）是凹的，对于每个b∈ R、 w→ Ht，S（w，b）为凹面。对于这两个函数，导数在与网格相交时严格递减，即（w，b）∈ G、 证明。在这两种情况下，函数都是凹分段线性函数和线性函数的组合之和。这样的组合返回一个凹的分段线性函数。与网格相交意味着（w，b）对于某些j（或两者）在CUI中或在CDJ中。这意味着Vt的导数+t、 美国（wR+b（u-R） ）或Vt+t、 dS（wR-b（R-d） ）通过奇点值的定义严格减小，而其他导数必须保持不变或减小。

在下一个引理中，我们证明了如果b是一个最大化Ht，S（w，b）的点，对于某个w，并且b不在网格上，那么函数Ht，Sis在所属的平行四边形Dijto的闭包Dijo中是常数。此外，对于这一点，在Dij之外不存在其他最优点b。图1：网格。请注意，此处取正值的奇异值显示了更清晰的图像，但它们当然也可能是负值。引理3如果b∈ （Bt，S（w）∩ Dij）然后Ht，S（w，b）=Ht，S（w，b）>Ht，S（w，b）表示所有（w，b）∈ Dijand all（w，b）6∈ Dij公司。证据函数Ht在Dij上是线性的，因为它是线性函数与（固定）线性函数的两个组合的总和，只要我们保持在Dij。如果b是函数b的内部最大值→ Ht，S（w，b）对于w的固定值，函数必须对所有b（w，b）保持不变∈ Dij公司。自B的导数→ 当（w，b）时，Ht，S（w，b）严格减小∈ G和引理1的第（ii）部分表明，在Dij之外不可能有最优点（w，b）。引理4最优轨迹B={（w，β（w））| w∈ R} 是G的子集，包含LuNu，Nd。证据根据引理3，如果最优点（w，β（w））不在G上，而是在平行四边形Dij中，那么Dij中具有相同w值的所有点都是最优的，Dijar之外的任何点都不是该w的最优点。由于β（w）被定义为给定w的所有最优点的最小值，我们必须具有（w，β（w））∈ G、 平行四边形DNu，Nd包含网格G上最后一个交点以外的财富值，因此函数Ht，Sis在DNu，Nd上保持不变。这意味着，DNu、NDI中的每个点都是最优的。对于超过最后一个交点的w值，我们可以得出如下结论（w，β（w））∈ 北卡罗来纳州卢努。引理5（t，S）∈ 函数βT，Sand Vt，在其域证明上是连续的。让w∈ R、 根据引理3，（w，β（w））必须在网格G上。

假设存在 > 0，这样对于所有b∈ [β（w），β（w）+], Ht，S（w，b）为常数且（w，b）∈ Dij公司。由于Dij上的（w，b）中的Ht，S（w，b）是线性的，因此函数b→ Ht，S（w，b）对于所有值wand b也必须是常数，以便（w，b）∈ 对于Dij之外的点（w，b），它必须获得比这个常数更小的值。通过将β（w）定义为所有可能最优点的最小值，我们得出结论，Dijare最优点（w，β（w））两侧的所有点都是最优点（w，β（w））。这证明了β在点w处的连续性。现在假设β（w）是b的唯一最大值→ Ht，S（w，b）。Let（wn）n≥1b收敛到wand setβn=β（wn）的序列。我们知道，最优点必须在网格上，网格由一定数量的非垂直线组成。因此，序列βn必须有界。如有必要，我们可以假设βn收敛到值b∈ R、 so（wn，βn）收敛到（w，b）。为了证明βt，Sin w的连续性，我们必须证明b=β（w）。自从w→ Ht，S（w，β（w））是连续的，对于任何给定的 > 0aδ>0，使得Ht，S（w，β（w））>Ht，S（w，β（w））-  对于w∈ 【w】- δ、 w+δ]。假设wn∈ 【w】- δ、 n的w+δ]≥ nδ；对于这样的n，通过（wn，βn）的最优性，我们得到了Ht，S（wn，βn）≥ Ht，S（wn，β（w））>Ht，S（w，β（w））- . 取极限并使用（w，b）→ Ht，S（w，b）是连续的，因为它是连续函数的组合，我们得出结论，Ht，S（w，b）≥ Ht，S（w，β（w）），但根据函数β的定义，我们也有Ht，S（w，b）≤ Ht，S（w，β（w））。这意味着Ht，S（w，b）=Ht，S（w，β（w））。由于对应于wis的最佳点唯一，我们得到b=β（w），这证明了w的连续性→ β（w）在w处。βt，S的连续性意味着Vt，S的连续性。引理6（t，S）∈ 函数Vt，在其域R上是凹的。

函数w→ （w，β（w））通过引理3、5和w在网格G上连续移动→ β（w）在网格线的两个交点之间是线性的。因此，我们只需要在点w处建立凹度，其中（w，β（w））位于此类断面上，因为在所有其他点中，Vt是凹度函数与（固定）线性函数的两个组合的总和，因此是凹度函数。设wbe为与交点相对应的值：（w，β（w））∈（Cui∩ Cdj）对于某些i∈ {1，…，Nu}和j∈ {1，…，Nd}。为了建立Vt的concavity，Sin w，我们计算了Vt的左侧和右侧导数，在这一点上。如果w大于wbut足够接近wwe，则必须具有（w，β（w））∈ Cuior（w，β（w））∈ cdj表示dβ+dw（w）等于-R/（u）- R） 或R/（R）- d） 我们使用符号β表示函数βt，Shere来减轻符号。分别按（5）和（6）。从（4）我们知道vt，S（w）=R-1（私人+t、 uS（wR+β（w）（u- R） ）+（1-p） Vt公司+t、 dS（wR+β（w）（d- R） ），我们注意到右侧的第一项对于（w，β（w））是常数∈cui而第二项对于（w，β（w））是常数∈ Cdj。因此，我们可以得出，在w=w时，右侧导数V+t，S（w）等于r-1(1 - p） V+t+t、 dS（xdj）·（R+（d- R）-俄罗斯-R） =V+t+t、 dS（xdj）·1-p1级-秦始皇-1pV+t+t、 uS（xui）·（R+（u-R） RR（右后）-d） =V+t+t、 在第二种情况下，美国（xui）·PQ。既然我们选择了最优策略，它应该等于两个策略中的最大值：V+t，S（w）=max{1-p1级-qV+t+t、 dS（xdj），pqV+t+t、 美国（徐汇）}。（7） 为了求出左侧导数，我们考虑了小于w但足够接近w的w值。同样，我们必须得到Dβ-dw（w）等于-R/（u）- R） 或R/（R）- d） 通过再次计算V的值-t、 对于这两种可能性，现在选择其中最小的一种，我们发现：V-t、 S（w）=最小值{1-p1级-qV-t型+t、 dS（xdj），pqV-t型+t、 美国（徐汇）}。

（8） 现在我们必须证明V+t，S（w）≤ 五、-t、 通过比较（7）和（8）的右侧来完成证明。这可以通过我们选择β（w）的最优性条件来确定。因为这个选择是通过最大化分段线性函数b来决定的→ 我们必须有这个+bHt，S（w，β（w））≤ 0≤-bHt，S（w，β（w））和至少一个不等式必须严格。自从+bHt，S（w，β（w））=R-1pV0+t+t、 美国（xui）（u- R） +R-1(1 - p） V0-t型+t、 dS（xdj）（d- R）-bHt，S（w，β（w））=R-1pV0-t型+t、 美国（xui）（u- R） +R-1(1 - p） V0+t+t、 dS（xdj）（d- R） 我们有PQV0+t+t、 美国（xui）≤1.-p1级-qV0-t型+t、 dS（xdj），1-p1级-qV0+t+t、 dS（xdj）≤pqV0-t型+t、 uS（xui），其中至少有一个不等式是严格的。但我们也有v0+t+t、 美国（xui）<V0-t型+t、 uS（xui），V0+t+t、 dS（xdj）<V0-t型+t、 dS（xdj），通过Vt的凹度+t、 美国和Vt+t、 美国。利用这四个不等式比较（7）和（8）的右侧，我们确定V+t，S（w）≤ 五、-t、 S（w）保持不变，这就完成了证明。定理1我们有Vt+t、 美国，Vt+t、 dS公司∈ H=> Vt，S∈ H、 证明。我们检查了定义1对于Vt，S的性质：有限集外的分段线性和可微性遵循以下事实（w，β（w））∈ G对于allw，G中的点的Vt，Sis线性，其中（w，β（w））不在交点的G子集中∪我∪j（Cui∩ Cdj），以及交叉集是有限的这一事实。引理5中显示了Vt，Sis凹。Vt，Seventuallybecomes常数的事实来自引理4，因为它表明，对于w largeenough（w，β（w））∈ 北卡罗来纳州卢努。这是因为Ht，Sis在LuNu，Nd上是常数，因为它是函数Vt的线性组合+t、 美国和Vt+t、 在其最后一个奇异值之外的点上计算的数据，其中它们是常量。

从定理和前面引理的证明中，我们现在可以很容易地推导出一个算法来确定树上每个状态下的值函数和最优投资策略。推论1假设Vt+t、 美国和Vt+t、 D具有奇异值xu<xu<…<xuNuand xd，xd<…<XDN分别为，letvui=Vt+t、 uS（xui），vdi=Vt+t、 dS（xdi），zui=V-t型+t、 uS（xui），zdi=V-t型+t、 dS（xdi）。然后xk，Vt的奇异值，Sin倒序，其值vk=Vt，S（xk）在这些点，最优策略βk=βt，S（xk）和左侧导数szk=V-t、 S（xk）满足，对于k≥ 1，xk=R-1（qxuik+（1-q） xdjk），βk=（xuik- xdjk）/（u- d） ，zu=pqzuik，zd=1-p1级-qzdjk，zk=zu∧ zd，vk=vk-1.- zk公司-1（xk- xk公司-1） ，iuk+1=iuk- 1{zk=zu}，idk+1=idk- 1{zk=zd}。（9） iu=Nu，id=Nd，v=R-1（pvuNu+（1-p） vdNd），z=x=0。对于某些k证明，当iuk=0或idk=0时，以相反顺序的奇异值序列停止。我们知道点（xk，βk）必须采用Cuiuk的形式∩ CdidkS因为它们必须由引理4和Vt的导数在网格G上，所以S不应该在点xkso上连续，所以它们必须在网格的交点上。引理4也表明，LuNu，Ndis线在B中，因此网格上财富价值最高的交点必须是CuNu∩ CdNd，通过W的连续性→ （w，β（w））。这将以相反的顺序给出第一个奇异值，因此iu=Nuandid=Ndand，v=R-1（pvuNu+（1-p） vdNd）。直接计算表明，网格上的交点由CUIUK给出∩ Cdidk=（R-1（Qxiuk+（1-q） xdidk），（xiuk- xdidk）/（u- d） ，那么当我们证明zk=zu时，我们就完成了∧ zd。但这是从（8）中得出的结论。3.2减少奇异值的数量在树的每个点上获取值函数的技术给出了精确的结果，但由于在每个时间步，每个节点中奇异值的数量都会翻倍，因此计算成本很高。

然而，通过使用[1]中介绍的方法，我们可以减少计算中涉及的点数。这为值函数生成了一个可以更快计算的近似值，同时将近似误差保持在我们可以预先指定的显式范围内。其思想是在每一步去除一些奇异值，以简化值函数的计算，同时控制这种消除过程产生的误差。我们确定给定的最大误差水平 > 0，我们通过删除奇异值来修改每个值函数Vt，在计算之后立即修改，因此在计算后续时间步之前使用。我们这样做的方式是，新值最多只能起到Vt，Sdi的作用 从Vt，儿子，他们的整个领域。更准确地说，为了构造函数Vt的近似值，它具有奇异值xi，i=1。。。，N、 对应的值vi=Vt，S（xi），我们按以下方式删除奇异值。我们将k=1设为k=1，并从xik开始，我们试图找到最大奇异值，对于该奇异值，在（xik，xi）与（xi，vi）连接的直线（xik，vik）之间的间隔距离[xik，xi]小于: 这意味着我们定义了setI={i>ik:supx∈[xik，xi]| vik+（x-xik）六-维克西-xik公司- Vt，s（x）|<}.如果此集合为空且ik=max{i:i，则设置ik+1=1+ik∈ 一} 如果它不是空的。请注意，通过（xik，vik）和（xi，vi）的直线之间的距离随着i的增加而增加，这是由于Vt，S的凹度。确定ik+1后，我们删除所有点xik+1。。。xik+1，然后我们对k的下一个值重复该过程。

我们继续，直到达到倒数第二个奇异值。我们不会在第一个奇异值之前和最后一个奇异值之后修改函数Vt，sb。使用此程序，我们获得了一个新的值函数Vt，它再次属于H类，但奇异值的数量减少，与Vt不同，小于 在整个领域。既然我们有了它，对于每一个w：| Vt+t、 dS（w）-Vt+t、 dS（w）|<, |Vt公司+t、 美国（w）-Vt+t、 美国（w）|<,意味着（t，S）中的新值函数将为▄Vt，S（w）=R-1以上∈RpVt+t、 美国（wR+b（u- R） ）+（1- p） Vt+t、 dS（wR+b（d- R） （）≤ R-1以上∈R（p[Vt+t、 美国（wR+b（u- R） ）+] + (1 - p） [Vt+t、 dS（wR+b（d- R） ）+] )= Vt，S（w）+.使用一个模拟参数，我们发现Vt，S（w）≥ Vt，S（w）- 因此我们有| Vt，S（w）-Vt，S（w）|< 对于所有w，在替换Vt后获得的财富w的最优策略βt，S（w）+t、 美国和Vt+t、 dSby▄Vt+t、 美国和Vt+t、 dS可分别不同于未进行替换的情况，但其产生的值Vt，S（w）不同 或小于原始值Vt，S（w）。3.3扩大风险因素的数量我们现在考虑另一个风险因素Y的情况，该因素不可交易，但可能影响从最终财富中扣除的或有权益的终值。因此，我们现在定义了一个多项式树，其节点的特征是（t、S、Y），其中S仍然代表可以交易的股票的股票价值，Y是一个不能交易的因素，但可能与S相关或驱动S的动力学（同时在每一步仍然导致两个不同的回报值），例如赫斯顿模型中的随机波动性。我们现在有t=n[m=0Tm，Tm=m[k=0m[l=0{（mt、 Smk，Yml）}。

（10） 风险资产的动态仍如前所述，但ymlm的价值可能具有不同的结构。在每个时间步，可以从（t，S，Y）到达的节点是（t+t、 美国，uY，（t+t、 美国，~ dY），（t+t、 dS、~uY）和（t+t、 dS，~dY），概率分别为puu、pud、pdua和pddre。我们假设Y是一个无法交易的风险因素，所以我们仍然只允许投资股票S和现金。在本节中，我们的状态为X=（St，Yt，Wt），我们将为最小值写入Vt，Xt=Vt，St，Yt（Wt）和βt，St，Yt（Wt），使φt（Xt）=βt，St，Yt（Wt）定义的策略φ达到最优。这意味着vt，S，Y（w）=maxb∈RHt、S、Y（w、b）、Bt、S、Y（w）=arg maxb∈RHt，S，Y（w，b），βt，S，Y（w）=min{b:b∈ Bt，S，Y（w）}，带ht，S，Y（w，b）=R-1（puuVt+t、 美国，uY（wR+b（u- R） ）+普瓦特+t、 美国，~ dY（wR+b（u- R） ）+pduVt+t、 dS，~uY（wR+b（d- R） ）+pddVt+t、 dS，~dY（wR+b（d- R） ））。（11） 我们定义pu=puu+Pud，pd=pdu+pdd=1- puand writeHt，S，Y=R-1（puVt+t、 美国（wR+b（u- R） ）+pdVt+t、 dS（wR+b（d- R） ））。像以前一样，我们抑制了一些符号；例如，d是▄d（t，S，Y）的缩写，puu（t，S，Y）等的puuan缩写。请注意，PUUI本身是S和Y在下一个时间步中都达到其两个可能性的“上限”值的概率的简写符号。对于函数VT+t、 uS（w）=puupuVt+t、 美国uY（w）+pudpuVt+t、 美国、~ dY（w）、Vt+t、 dS（w）=pdupdVt+t、 dS、~uY（w）+pddpdVt+t、 dS，~dY（w）。这两个函数在H中，它们有奇异值xuiand xdiw，可以通过组合Vt的奇异值来找到+t、 美国、UY和Vt+t、 美国，通过合并Vt的+t、 dS、UY和Vt+t、 分别为dS、~DY。通过对构成函数的相应值求和，可以很容易地确定相应的值Vui和vdican。

然后我们回到了定理1的情形，因为我们可以写出，S，Y（w，b）=R-1（puVt+t、 美国（wR+b（u- R） ）+（1-pu）Vt+t、 dS（wR+b（d- R） ））。对于功能Vt+t、 美国和Vt+t、 这意味着我们可以使用推论1中描述的算法来计算树的每个点的值函数。这种结构表明，我们可以处理股票动态依赖于不可交易因素的情况。我们现在展示了如何利用这一点来处理一个最优投资组合问题，该问题涉及赫斯顿[6]提出的均价随机波动率模型。在该模型中，假设平方波动率过程Y和对数股价过程lns满足随机微分方程dYt=κ（θ-~Yt）dt+ωqYtdWt，（12）d（lnSt）=（u-~Yt）dt+q~YtdWt，（13）对于给定的（~Y，ln~S）=（σ，lns），其中{（Wt，Wt），t∈ [0，T]}是相关系数ρ的相关标准布朗运动过程，u、κ、ω、θ和r是严格的正常数。现在我们定义了随机过程（Ym，ln-Sm），时间m=0。。。n-1作为连续时间过程（~Yt，lnSt）的离散对应物：Ym+1=Ym+κ（θ- （Ym）+）t+ηYm+1ωp（Ym）+t、 （14）ln Sm+1=ln Sm+（u-Ym）t+ηSm+1p（Ym）+t、 其中变量（ηSm，ηYm）为i.i.d.分布在m中，其中p1,1：=P（ηSm=+1，ηYm=+1）=P-1.-1： =P（ηSm=-1，ηYm=-1） =（1+ρ）p-1,1：=P（ηSm=-1，ηYm=+1）=p1，-1： =P（ηSm=+1，ηYm=-1) =(1 - ρ).注意，我们采用方差过程（Ym）+=max{0，Ym}的正部分来确保这个过程的正性。此选项对应于Lord etal的完全截断方案。在[8]中。这将生成一个不重新组合的树，因此我们对其进行如下修改。设Smaxm=max{s:P（Sm=s）>0}，并对Smim、ymax和yminmanually进行定义。