最优投资策略和无差异的精确解

我们采取Sm=（Smaxm- Sminm）/mzandYm=（Ymaxm- Yminm）/mv对于某些mv，mz∈ N+表示我们将如何定义网格，然后使用Smk=Sminm+k定义（10）中的树节点集TSmandYml=Yminm+lYm。树上表示动态过程状态的节点（t，S，Y）的形式必须为（t，S，Y）=（mt、 Smk，Yml）对于一些m，k和l。从这种状态，可以过渡到形式（t）的四种可能的新状态+t、 g的SRS，YηSm+1，YRS，YηYm+1）∈ 其中，YηSm+1=exp（（u-Y）t+ηSm+1√Y型+t），~RS，YηYm+1=（Y+κ（θ-Y+）t+ηYm+1ω√Y型+t）/Y。这通常不会给出形式的新状态（（m+1）t、 Sm+1k*, Ym+1l*)对于某些k*和l*, 因为树没有重新组合。但在文献[11]中，我们发现，如果我们在这四个点中的每一个点上使用基于网格上四个点的线性插值，并且距离目标位置最小，则仍然可以保证树上的过程在连续时间内弱收敛于对应的过程。我们在这里也遵循这种方法，因此确定koand losuch thatSm+1kS（η）≤ SRS，Yη≤ Sm+1kS（η）+1，Ym+1kY（η）≤ Y▄RS，Yη≤ Ym+1kY（η）+1，表示η∈ {-1，1}并使用线性组合vt+t、 SRS，YηS，YRS，YηY=Xi=0Xj=0epijV（m+1）t、 Sm+1kS（ηS）+i，Ym+1kY（ηY）+j（15），线性插值权重Sep=SRS，YηS- Sm+1kS（ηS）Sm+1·YRS，YηY- Ym+1kY（ηY）Ym+1，ep=Sm+1kS（ηS）+1- SRS，YηSSm+1·Ym+1kY（ηY）+1- Y▄RS，YηYYm+1，ep=Sm+1kS（ηS）+1- SRS，YηSSm+1·YRS，YηY- Ym+1kY（ηY）Ym+1，ep=SRS，YηS- Sm+1kS（ηS）Sm+1·Ym+1kY（ηY）+1- Y▄RS，YηYYm+1。这些权重可以被解释为新的概率，因为从当前状态（t、S、Y）开始的四个不同转变分别被划分为四个未来状态（t+δt、~S、~Y），总共产生十六个转变。

在我们的树上，我们通过简单地采用类图2中四个值函数的线性组合来实现这一点：四个后续值函数（黑色）中的每一个都基于四个nearbyvaluation函数（红色）。H、 因为这会产生一个再次属于H类的函数，并且可以使用相关的奇异值集非常有效地确定该函数。图2说明了结构：可能不在网格上的点的四个过渡被网格上的十六个过渡所取代，由于权重为正且和为一，这些可以解释为树上的一组新概率。现在我们用（15），asHt，S，Y（w，b）=R来写（11）-1XηS∈{-1,1}XηV∈{-1,1}pηS，ηVVt+t、 SRS，YηS，SRS，YηY（wR+（RS，YηS- R） （b）≈ R-1XηS∈{-1,1}XηV∈{-1,1}pηS，ηVXi=0Xj=0epijVt+t、 Sm+1kS（ηS）+i，Ym+1kY（ηY）+j（wR+（RS，YηS- R） b）=R-1XηS∈{-1,1}pηS'Vt+t、 ηS（wR+（RS，YηS- R） b）其中“Vt”+t、 ηS=XηV∈{-1,1}Xi=0Xj=0pηS，ηVepijVt+t、 Sm+1kS（ηS）+i，Ym+1kY（ηY）+j/’pηS’pηS=XηV∈{-1,1}Xi=0Xj=0pηS，ηvepij图3：电力公司案例。两种功能+t、 1和“Vt”+t，-1在H中，它们具有奇异值，可以通过组合函数的奇异值vt找到+t、 Sm+1kS（ηS）+i，Ym+1kY（ηY）+jof，它们是线性组合。然后我们回到Theorem1的情况，可以应用推论1中的算法。4个数字示例我们现在将我们的方法应用于完全和不完全市场中的一组不同的投资和差别定价问题。4.1最优投资组合选择在我们的第一个数字示例中，我们计算了Black-Scholes经济中投资者的最优策略和最优价值函数，其中债券每单位时间的收益率r为常数，股票的平均收益率u和波动率σ为常数。

我们考虑T=1（年）的投资期限，并使用带时间步长的标准二叉树t=t/n，so u=1/d=exp(√σt） ，R=exp（Rt） q=（u-R） /（u-d） 随着时间的推移都是恒定的。除非另有规定，否则我们取r=1%、σ=10%和u=1.5%。4.1.1恒定相对风险规避情况我们首先考虑效用函数u（x）=（x1-γ- 1)/(1 -γ） ，（16）图4：指数效用案例。对于γ=，具有恒定的相对风险规避（CRRA）。如果我们采取小的时间步，我们的离散时间设置中围绕初始财富值和初始股票值S=5的价值函数，即Vn0，S（w），应与默顿推导的连续时间极限值函数一致【9】。该值函数和相应的最优投资策略，areVcont0，S（w）=eξTU（w），βcont0，S（w）=u-rγσw，ξ=（1- γ） （r+（u-r） 2γσ）。我们使用H类近似函数表示终端财富的效用函数，通过定义n个等距奇点（xUi）i=1。。。n间隔【wmin，wmax】。我们使用NU=50个初始奇点，n=20个时间步。结果如图3所示。红线对应于默顿推导的连续时间限制内的最优策略，蓝线显示了我们算法的结果。我们注意到，尽管最优策略表现出相当不同的行为，但价值函数非常接近。4.1.2恒定绝对风险厌恶案例类似地，我们分析指数偏好，其对应于恒定溶质，而不是相对风险厌恶。

这意味着U（x）=-经验值(-γx）和Vcont0，S（w）=eξTU（werT），βcont0，S（w）=u-rerTγσ，ξ=-(u-r） 2σ。我们保持其他参数与上一小节中的相同。这种情况的结果如图4所示。图5：指数差异价格和看跌期权的delta。4.2完整市场中的差异定价我们可以使用CARA或CRRA效用函数来检查由我们的股票价格树和无风险资产生成的完整市场中普通衍生品的价格。如引言中所述，在T>0的日期支付ψ（ST）的欧式期权在时间零点的效用指数π是方程V0的解，S（w）=V*0，S（w+π），其中V和Vcare值函数与VT，S（w）=U（w）和V*T、 S（w）=U（w- ψ（S））。这意味着我们今天将相同的价值分配给一笔财富w，而没有衍生工具，我们知道我们必须在到期日T支付付款ψ（ST），但通过获得价格π来补偿，以增加我们当前的财富w。在这里考虑的考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（Cox-Ross-Rubinstein，CRR）模型等完整市场中，我们可以用股票和债券创建一个单独的投资组合，该投资组合完美地实现了支付，其初始价格等于期权的CRR值。这意味着π必须等于这个值，由于我们用来支付期权和股票的股票和债券投资之间存在着完美的分离，我们用来创建优化剩余财富效用函数的投资组合w。表明效用差异价格等于CRRprice，因此需要我们的算法生成现在所需的非线性最优股票投资，被称为.

π的值可由V0计算得出，S（w）=V*0，S（w+π）为π=（V*0，S）-1（V0，S（w））- w、 在我们的整个市场中，w的所有值都应相同。相应的初始值, i、 e.我们将投资的股票数量，以复制图6：看跌期权的CARA价值函数和差异价格。单个选项的支付，可通过以下方式找到 =β*0，S（w）- β0，S（w）Sand也不应依赖于w。例如，我们采用期限为T=1的看跌期权，执行价格介于K=3和K=7之间，而当前股价等于S=5。图5中指数效用差异价格和增量的结果与相应的CRR值表现出良好的一致性。我们发现对于其他效用函数也有同样好的一致性。4.3不完全市场中的差异定价我们现在来看一个市场不完全的例子。由于这意味着不可能实现完美的无风险复制，因此衍生工具没有普遍的价格：任何代理同意为某一未来支付的效用差异价格现在将取决于其风险偏好。我们使用Zariphopoulou和Musiela模型在[10]中引入的经济，以及可交易股票和另一个相关但不可交易的价格过程Y：dSt=uSStdt+σSStdWSt，dYt=uYYtdt+σYYtdWYt，dhWS，WYit=ρdt。在恒定图7：为（离散化）Heston动力学推导的最优策略下，他们推导出了未来时间T>0时Payoff G（YT）在时间零点的效用差异价格π的显式表达式。绝对风险规避偏好U（x）=-e-γx和零利率。这个价格π等于π=ln E[Eγ（1-ρ） g（YT）dQdP]γ（1- ρ） ，dQdP=e-uSσSWST-uS2σST.（17）在该模型的离散时间版本中，我们使用了与之前相同的经济参数，但利率为零，并确定了行使K=S=5的a乘以a认沽期权的价格。

我们发现Nu=50个奇点和n=20个时间步的结果如图6所示，这与基于（17）的蒙特卡罗模拟发现的理论值进行了比较。4.4随机波动下的最优投资Kraft[7]给出了Heston随机波动模型中最优投资策略的显式形式。当u- r=λYtin（13）对于给定的λ>0，电力公司（16）的最优投资策略等于b（w）=wγ-1(λ + γ-1(1 - γ） ρσλ）ea（T-t）- 1ea（T-t） （k+a）+a-kwithk=κ- (1 - γ-1） ρλσ，c=γγ+ρ（1-γ） ，B=-λ(1-γ） 2cγ，a=√k+2Bσ。对于参数值r=10%、σ=25%、到期日T=0.25、相关性ρ=0.10、波动率ω=39%、平均回复κ=1.15和水平θ=16%，我们在不同时间点找到了最佳策略的下图。我们使用风险规避参数γ=和波动性风险参数λ的市场价格=。图7中的图表是用50个时间步计算的，125图8：撒哈拉案例。（对数）股价方向上的网格点和（平方）波动方向上的50个网格点。我们从20个奇点开始。我们显示了到成熟期一半的结果，即网格中间的t=t/2。（t，S，Y）的其他分数给出了同样好的结果。4.5非线性最优策略的一个例子在我们迄今为止所处理的例子中，最优投资政策的闭式解是可用的。这些都是当前财富的线性函数。我们现在证明，我们的算法也可以准确地表示更复杂的策略，这对于对称调整的双曲型绝对风险厌恶偏好（SAHARA）类是最优的。

这种偏好的特征是效用函数uα，β（w）=1- αw+pβ+w-αw+αpβ+w其中，α>0是一个不等于1的风险规避参数和βa标度参数。在前面介绍的Black-Scholes动力学下，最优策略变为[3]βcontt，St（w）=（u- r） ασpw+b（t），b（t）=βe-（r）-((u-r） /（ασ））（T-t） 。相应的值函数满足V0，S（w）=Uα，b（t）（w），因此其具有与终值相同的函数形式，但具有不同的时间相关缩放参数。通过取极限α，可以找到这个效用函数族的另一个成员→ 1但我们不会在这里考虑这种情况。图8显示了α=2和β=2.66的75个奇点和20个时间步的计算结果。布莱克-斯科尔斯经济参数与之前的情况保持不变。我们再次发现，价值函数和最优策略的一致性非常好，尽管后者对于该规范不是线性的。5结论和进一步研究我们已经表明，如果假设描述投资者偏好的效用函数是分段线性的，那么树上资产价格的离散时间最优投资和差异定价问题是如何精确解决的。我们用它来重现一些已知问题的精确近似，这些问题的闭式解已在文献中推导出来。然而，我们认为，如果我们的方法可以用于解决方案未知的情况，那么它将特别有用。例如，当参数形式未知，但必须根据基于有限数量实验的经验证据进行近似计算时，就是这种情况。

当效用函数的详细行为未知但其一般形状已知时，我们的方法可用于计算基于粗分段线性近似的最优投资策略。我们还注意到，在我们的框架中，很容易纳入导致财富变化的国家依赖性支付，因为这种支付可以简单地通过价值函数的水平移动来表示。这项工作的许多扩展可能很有趣。在本文中，我们将自己局限于多个风险因素可能影响单个风险资产的情况，但我们不处理可能投资多个风险资产的情况。在确定必须包含最优投资策略的网格时，引入这种可能性将引入更多的平行线集，这显然使高效算法的分析和设计复杂化。我们希望在今后的工作中解决这一问题。参考文献[1]Dimitri P.Bertsekas和Steven E.Shreve。随机最优控制：离散时间情形。雅典娜科学出版社，2007年。[2] F.Black和M.Scholes。期权和公司负债的定价。J、 《政治经济学》，81:637–6541973年。[3] A.Chen、A.A.J.Pelsser和M.H.Vellekoop。使用SAHARA效用函数建模非单调风险规避。《经济理论杂志》，146（5）：2075–20922011。[4] J.C.考克斯、S.A.罗斯和M.鲁宾斯坦。期权定价：一种简化的方法。《金融经济学杂志》，7:229–2631979年。[5] M.Gaudenzi、M.A Lepellere和A。萨内特。美式路径相关期权定价的奇点法。《计算金融杂志》，14:1460–15592010。[6] S.赫斯顿。随机波动率期权的闭式解，应用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6:327–3431993。[7] H.卡夫。

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