最优投资策略和无差异的精确解

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英文标题：
《Exact Solutions for Optimal Investment Strategies and Indifference
  Prices under Non-Differentiable Preferences》
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作者：
Marcellino Gaudenzi and Michel Vellekoop
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose an algorithm to calculate the exact solution for utility optimization problems on finite state spaces under a class of non-differentiable preferences. We prove that optimal strategies must lie on a discrete grid in the plane, and this allows us to reduce the dimension of the problem and define a very efficient method to obtain those strategies. We also show how fast approximations for the value function can be obtained with an a priori specified error bound and we use these to replicate results for investment problems with a known closed-form solution. These results show the efficiency of our approach, which can then be used to obtain numerical solutions for problems for which no explicit formulas are known.
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中文摘要：
我们提出了一种算法来计算有限状态空间上效用优化问题在一类不可微偏好下的精确解。我们证明了最优策略必须位于平面上的离散网格上，这允许我们降低问题的维数，并定义一种非常有效的方法来获得这些策略。我们还展示了在先验指定的误差界下，值函数的逼近速度有多快，并使用这些结果来复制具有已知闭式解的投资问题的结果。这些结果表明了我们的方法的有效性，它可以用来获得没有显式公式的问题的数值解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Exact_Solutions_for_Optimal_Investment_Strategies_and_Indifference_Prices_under_.pdf (1.76 MB)

2022-6-10 20:48:35 上传

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关键词：投资策略 Quantitative Optimization Indifference Preferences

非差别偏好下最优投资策略和差别价格的精确解。Gaudenziand M.H.Vellekoopdipartmento di Scienze Economiche e Statistiche，意大利乌迪内大学，马塞利诺。gaudenzi@uniud.itAmsterdam荷兰阿姆斯特丹大学经济与商业学院经济学院，m.h。vellekoop@uva.nlNovember28，2021摘要我们提出了一种算法，用于计算有限状态空间上效用优化问题在一类非差别偏好下的精确解。我们证明，最优策略必须位于平面内的离散网格上，这使我们能够降低问题的维数，并确定一种非常有效的方法来获得这些策略。我们还展示了如何在先验规定的误差范围内获得值函数的快速近似值，并使用这些值来复制具有已知闭式解的投资问题的结果。这些结果表明了我们的方法的有效性，它可以用来获得没有明确公式的问题的数值解。1引言数学金融中的一个经典问题涉及风险厌恶型投资者对风险资产的最优投资。默顿（Merton）的开创性工作中推导出了风险与回报之间权衡的明确解决方案，这些解决方案是此类问题的特征。他的工作表明，风险偏好和资产价格动态假设的某种组合会导致连续时间内的随机控制问题，这一问题可以明确解决。在最广为人知的例子中，假设风险资产价格是几何布朗运动，风险容忍度在财富中是线性的。

在这种情况下，最优投资策略在财富方面也是线性的，如果投资者拥有最优财富，则可以推导出投资于风险资产的财富比例的显式公式。这一结果在许多方面都得到了推广。在线性风险容忍度结构下，更广为人知的恒定相对风险规避（CRRA），可以处理更复杂的资产动态。例如，当描述风险资产动态的一些参数以确定性的方式随时间变化时，人们仍然可以获得相对简单的最优投资策略特征。由此产生的策略在财富方面再次呈线性，但效率将随时间而变化。卡夫（Kraft）[7]表明，当风险资产价格由赫斯顿（Heston）[6]引入的随机波动率模型生成时，这一点也成立。通常认为，随机波动率模型可以更真实地描述股票价格。推广的另一个方向也使用几何布朗运动过程来描述资产价格，这一假设也被称为Black-Scholesdynamics，因为它在著名的期权定价论文[2]中使用，但选择了不同的偏好。被称为对称调整双曲线绝对风险厌恶（SAHARA）的效用函数类也会生成封闭形式的解。在这种情况下，最优投资策略不是线性的，甚至不是单调的，因为当财富水平较低时，风险厌恶总是积极的，但并不总是增加。因此，这种偏好可以用来描述投资者“为复苏而赌博”的现象，这意味着一旦财富水平变得非常低，他们可能会承担更多风险。对于大多数效用函数和权益动力学，对于连续时间内的最优投资问题，都无法得到封闭形式的解。

因此，人们必须借助数值方法来生成最佳策略的适当近似值。这使得计算更加耗时，当将最优策略用作进一步计算的输入时，这尤其是一个问题。例如，当一个人想要确定一项资产或或有权益的差异价格，而该资产或或有权益无法使用市场上的其他资产完美地应用时，就是这种情况。复制（连续时间）意味着可以定义一个不断更新的投资组合，该投资组合产生的回报与某个或有债权完全相同。如果是这种情况，没有套利意味着或有债权的价格与建立复制它的初始投资组合的成本相同。但无法复制的索赔，即导致市场不完整的索赔，不能使用此类方法定价。此类索赔售价的另一种定义是，索赔卖方（因此获得索赔价格的人）应在出售索赔与获得索赔价格补偿或不出售索赔之间，在其预期效用方面有所不同。类似地，此类索赔的购买价格应以这样的方式选择，即在最初支付该价格并在之后收到索赔的付款，在索赔的整个生命周期内产生与不支付其价格和不收到其现金流完全相同的预期效用。这表明，这些差异定价方法总是导致两个不同的最优投资问题必须解决。当考虑索赔支付和初始买卖交易时，一次涉及最优投资，而另一次涉及无索赔时的最优投资。

要求这两个问题的解决方案相同，这就隐含地定义了索赔的价格，即差异价格。实际上，没有那么多不同的定价问题可以明确解决。因此，人们常常不得不依赖基于离散时间动力学的数值近似。在本文中，我们将证明，如果风险偏好由一类分段线性的效用函数描述，则可以在离散时间内找到最优投资和差别定价问题的精确解。我们要求资产价格在有限状态空间上是马尔可夫的，我们以考克斯、罗斯和鲁宾斯坦的二项式模型为典型例子。我们表明，我们定义的这类效用函数具有某些属性，如果它们在描述最优策略的动态规划方程下向后传播，则这些属性是继承的。因此，我们可以证明存在有效的算法，可以生成这些策略的精确解以及相关的价值函数或差异价格。我们的技术基于（w，b）平面上构建的网格，其中w是总财富，b是投资于风险资产的财富。这种网格由两组具有不同斜率的平行线组成，我们证明了最优策略必须始终位于该网格上。这一特性使我们能够确定一种方法，据我们所知，这种方法以前从未被提出过，可以非常有效地确定最佳策略。

当涉及到更多的风险因素时，如随机波动性成分，我们仍然可以将对这些更复杂问题的分析简化为设计一个合适的网格，其中最重要的是最优策略，这证明了我们提出的方法的灵活性。我们还表明，如果愿意允许小误差，可以定义非常有效的算法，生成精确最优投资政策和价值函数的近似值。可以保证这些误差小于先验规定的误差容限。以前，在期权定价的背景下，曾使用分段线性函数（以其奇点为特征）来确定精确和近似的解，参见【5】。为了说明算法的工作原理，我们定义了上述股权模型的离散版本，并使用我们特定类别的效用函数的成员来近似相应的风险偏好。这使我们能够以非常高的精度再现针对这些非常特殊的情况得出的最佳策略。然而，我们认为，我们的方法在不知道投资问题连续时间版本的封闭式策略的情况下，或者当人们想要研究离散时间环境中具有非差别偏好的投资者的最佳行为时，特别有用。本文的结构如下。在下一节中，我们定义了资产价格动态和不可区分偏好，它们共同表征了最优投资问题。在第3节中，我们证明了本文的主要结果，然后在第4节中，我们将我们的算法应用于一些示例案例。

在最后一节中，我们得出结论并讨论了我们方法的可能扩展。2优化问题在本节中，我们指定了我们的模型并介绍了我们的主要假设，这些假设涉及风险资产的行为和投资者的风险偏好。资产价格动态是在离散时间的有限范围内考虑的，必须是马尔可夫的。资产价格被限制在一个格子上，在这个格子中，每个价格都有两个可能的后续价格值，一个时间步之后。投资者的偏好必须对应于一个效用函数，该函数是一组特定函数的成员，我们称之为H.2.1类风险资产的最优投资我们定义了给定到期日T>0和树大小n∈ N{0}二叉树=N[m=0Tm，Tm=N（m）[k=0{（mt、 Smk）}，带N（m）∈ N时间步m、Smk>0和函数u:T时可能的资产值的数目→ 研发：T→ R，从回报率的角度描述风险集合的可能转移，并且应满足（（m+1）t、 u（米t、 Smk）·Smk）∈ Tm+1，（（m+1）t、 d（米t、 Smk）·Smk）∈ Tm+1，对于所有0≤ m级≤ n和0≤ k≤ N（m）。我们采取t=t/n，确定无风险回报率R（t）=er（t）t要求所有（t，S）的u（t，S）>R（t）>d（t，S）∈ T从（t，S）到（t+t、 u（t，S）S）将发生，用p（t，S）表示，并过渡到（t+t、 d（t，S）S）因此具有概率1- p（t，S）。无风险利率u（t，S）的平均回报率由p（t，S）u（t，S）+（1）定义-p（t，S））d（t，S）=eu（t，S）该经济体的风险中性概率q（t，S）满足q（t，S）u（t，S）+（1-q（t，S））d（t，S）=R（t）=er（t）tsop（t，S）=eu（t，S）t型-d（t，S）u（t，S）-d（t，S），q（t，S）=R（t）-d（t，S）u（t，S）-d（t，S）。函数N、u、d、r和u需要在我们的设置中指定，然后p和q遵循前面的方程式。

Cox、Ross和Rubinstein[4]引入的著名标准二叉树模型对应于选择n（m）=m，u（t，S）=d（t，S）=eσ√t、 在本规范中，r（t）=r，u（t，S）=r+σ。在这种经济中，我们的目标是在一组允许的投资策略φt（Xt）上实现预期效用最大化，该投资策略必须在所有过程的Φ集中，该二项式假设可以扩展到例如三项式规范，但由于每一个三项式步骤都可以用两个重组二项式步骤来描述，因此我们将自己限制在二项式情况下。时间t=m的函数树t上的t和给定的向量状态过程Xt=（St，Wt，Yt）∈ Rl（带l≥ 2） 除当前股价和当前财富Wt外，还可能包含在向量Yt中收集的时间t已知的其他信息。该向量可能为空或包含额外的可观察信息；例如，我们将在后面的章节中讨论随机波动或不可处理过程的情况。函数φ∈ Φmap{0，t、 。。。，nt：=t}×Rlto R，并对投资于风险资产S的财富价值进行解释。对于实线上的给定效用函数U（即递增和凹函数），我们定义了优化问题maxφ∈ΦE[U（WφT）]（1）受试者拖φT+t=φt（Xt）St+tSt+（Wφt- φt（Xt））R（t）（2），其中（t，St）∈ T是我们在树T上定义的马尔可夫链，Wφ=W，W∈ R给定。2.2不可区分偏好我们将始终假设我们的投资问题（1）的效用函数U在实线（U）上的一类H函数中∈ H） 定义如下。定义1 H类由函数f:R组成→ R这样1。f是分段线性的，在不可微分的地方有一定数量的点，2。f为凹面，3为凹面。

存在一个“x”∈ 使得f（x）对于x是常数≥ (R)x。紧接着，任何f∈ H在其整个域R上是连续的，且其右侧导数f0+（x）=limy↓xf（x）和左侧导数EF0-（x） =石灰↑xf（x）存在。由于对于足够大的值，导数等于零，并且只能减小，因此H中的函数正在增大。根据凹度，右侧导数必须始终等于或小于左侧导数，我们称之为唯一（日益）有序点的有限集，其中这两个导数不相等，即f0+（x）<f0-（x） ，奇异值集，表示为（xk）k=1，。。。，N、 见【5】。A函数f∈ H的唯一特征是其奇异值，值（fk）k=1，。。。，Nin的奇异值和最小奇异值f0处的左侧导数-（x） 。引理1假设f，f∈ H和let ci∈ R表示i=1。。。6.（i）对于c，c≥ 0我们有cf+cf在H中，x也是→ f级(-x） +xf-（x） 对于f.（ii）的第一个奇异值，假设c、c>0且cc<0，并确定f（x）=cf（cx+c）+cf（cx+c）。设置F=arg maxx∈Rf（x）是一个非空的紧凑型intervalin R（可能由一个点组成）。证据（i）中的第一句话是即时的。函数x→ f级(-x） 是concaveif fis，并添加xf-（x） 使函数在x足够大的情况下保持不变。对于（ii），我们首先注意到f（x）的-∞ 对于x→ +∞ 对于x→ -∞ f在R上是连续的，这意味着它达到了最大值fmaxon R-1（{fmax}）是有界且闭合的。因为f是凹的，所以这个集合必须是一个区间。

3主要结果上述资产价格属性和风险偏好的组合现在将允许我们证明一些结果，这些结果将导致最优投资政策的明确特征。3.1动态规划动态规划原理（参见示例[1]）给出了树上某一时刻X状态下优化问题的值函数Vt，xf的向后递归。对于本文所考虑的问题，我们将能够给出值函数▄Vt，Xt=maxφt，φt+t、 ，。。。，φTE[U（WφT）| Xt]使用财富函数，对于状态向量其余部分的每个值，财富函数以H为单位。例如，在本节中，我们使用一个状态Xt=（St，Wt），并将writeVt，St（Wt）作为它在这种状态下的值。我们使用符号βt，St（Wt）表示最小值，这使得由φt（Xt）=βt，St（Wt）定义的策略φ最优。这意味着，根据（2）和动态规划原理，vt，S（w）=maxb∈RHt，S（w，b），Bt，S（w）=arg maxb∈RHt，S（w，b），βt，S（w）=min{b:b∈ Bt，S（w）}，带HT，S（w，b）=R（t）-1.p（t，S）Vt+t、 u（t，S）S（wR（t）+b（u（t，S）- R（t））+（1- p（t，S））Vt+t、 d（t，S）S（wR（t）+b（d（t，S）- R（t）））. （3） 函数Ht、S:R→ R和Vt，S:R→ R为每（t，S）定义∈ T对于每（T，S），我们必须有VT，S=U∈ tn这意味着在最后时刻T，所有节点tn中的值函数都是H类函数。在本节中，我们将说明thisproperty在所有早期状态下都由value函数继承。我们通过假设对于任何给定的（t，S），Vt+t、 u（t，S）砂Vt+t、 d（t，S）属于这一类，通过证明Vt，S也是如此。为了减轻符号，我们将从现在起抑制函数u和R对（t，S）的依赖性，以及在不会出现混淆时R对时间的依赖性。