适用于实际应用的拍卖理论

图1（列：powerCorr，osPCorr）还显示了使用数值积分的投标策略值与使用回归表达式（等式1）的样本内和样本外结果之间的相关性，以及样本大小和与折叠正态分布的标准偏差成比例的变量（列：sampleSize，ACCUPARM）。β（x）=β+βx+βσ+βu+β（M- 1) + ... + βlxk+βl+1σk+。。。（2） 从上述表达式（等式2）可以看出，在这种情况下，线性回归不是一个好的选择，因为一些回归系数可能为负值，这可能会导致投标策略的负值。Westill报告了线性回归的一些基本结果（图1，第列：linearCorr，给出了使用数值积分的投标策略和使用公式2的一阶回归时的结果之间的相关性），因为它作为一个基准，为非线性回归提供了良好的比较，从而提供了更好的结果。根据我们进行的一些试验，包括参数的高阶项仍然存在可能获得投标策略负值的问题，并且不会提高近似值的准确性。图1：非线性回归系数和精度从图1中，我们发现a是估价x的系数，是最重要的系数，表明投标策略对估价非常敏感，并不太依赖于其他参数。这可能是对仅涉及命题1中估价的理论近似的一种解释。我们发现幂回归产生的fit比线性回归更精确。对于较小的参数值，例如小于1的阶数，以及投标人数量较多时，幂表达式也更精确。

估值分布的标准差越小，近似结果越准确。但当参数分布的标准差较高时，幂回归优于线性回归。无论我们使用M还是M，我们都没有发现系数和精确度之间的显著差异- 1在回归中。图2给出了第一列数值积分（因变量）得出的投标策略的一些原始值及其所依赖的参数，包括一阶线性回归系数和非线性回归系数；（这些自变量：估值、估值分布平均值和标准差以及投标人数量分别显示在后面的第二列到第五列中；第六列和第七列是线性回归和幂回归的回归结果；第八列是命题1中分子和分母的比，这也是等价的。）估价减去投标策略的贷款；最后三列给出了使用数值积分的估价和投标策略的比率，使用数值积分和幂回归结果的投标策略的比率，以及使用数值积分和线性回归结果的投标策略的比率）。在整个样本中（近220000次观察），线性回归与投标策略和估值之间的相关性分别为0.34和0.35；功率回归系数与投标策略和估值之间的相关性分别为0.99和0.99。这在一定程度上清楚地表明，幂回归函数是一个更好的模型。对两种模型在参数空间不同区域解释的方差进行详细分析，有助于确立功率模型的优势。

这种承诺可以基于拍卖情况的具体情况，这种更彻底的比较有助于决定使用哪种模型以及相关的实际考虑。一个显而易见的事实是，x、 β（x）≤ x、 这表明，为不同的x值桶设置不同的非线性回归方程可以提高结果的整体准确性。尽管我们需要意识到并警惕这样一个统计事实，即过度拟合可能会提高拟合的准确性，但未必会提高预测能力。因此，在我们认为模型能够提供改进之前，我们需要对我们所测试的任何模型进行样本外测试。最后，应该清楚的是，基于回归的技术非常强大，可以应用于许多情况。即使估值遵循其他复杂分布，拟合（式1）中形式的回归方程也很有用，并适当修改相应的分布参数作为自变量。我们甚至可以引入其他自变量来捕捉拍卖环境，例如行业、行业内的竞争程度、拍卖商面临的任何约束等。图2：投标策略、参数样本和回归结果2.3估值分布均匀的对称独立私有值1。估值均匀分布时的对称均衡竞价策略由β（x）给出=M- 1米xHere，xi~ U[0，ω]，因为我们考虑的是均匀分布。证据附录8.3。当投标人数量较大时，上述均匀分布表达式不取决于投标人数量，即limM→∞M-1米x=x。

比较这两种情况下的估价分布、投标人数量较大时的均匀分布和对数正态分布理论近似值（命题1）的投标策略，我们发现：1）两者均不显著依赖于投标人数量，2）均匀分布时的投标更大。2.4保留价格为2的对称独立私有值。当估价大于卖方的保留价（r>0）时，对称均衡竞价策略，x≥ r、 Is对于一般分布，β（x）=rG（r）G（x）+G（x）Zxryg（y）dyalternativeβ（x）=x-ZxrG（y）G（x）防震。附录8.4.2.4.1均匀分布推论2。当估价大于卖方保留价x时的对称均衡竞价策略≥ r、 估值来自均匀分布，β（x）=rMxM-1.M+1M+ x个M- 1米证据附录8.5.2.4.2对数正态分布推论3。当估价大于卖方保留价x时的对称均衡竞价策略≥ r、 估值来自对数正态分布，β（x）=xh（r）（x）- r） h（x）+rxh（r）h（x）这里，h（r）=（M- 1） “Z（lnr-uσ)-∞e-t/2dt#M-2（e）-（ln r-uσ）/2rσ）证明。附录8.6。我们可以使用非线性幂回归（如（等式1）所示）获得适当的近似值，以数值计算的投标策略值为因变量，以估价、估价分布参数、底价和投标人数量为自变量。2.4.3卖方最优保留价和其他考虑因素第3条。卖方的最优保留价，r*必须满足以下表达式，xs=r*-[1 - F（r*)]f（r*)这里，卖方有一个估价，xs∈ [0，ω）t防护。

附录8.7.2.5具有对称估价和投标人数量信念的可变投标人数量SM={1，2，…，M}是当不确定有多少感兴趣的投标人时的潜在投标人集。A. M是实际投标人的集合。所有潜在投标人根据一般分布F独立分配其估价。此外，PLI是指任何参与投标人∈ A、 面对l个其他投标人，或他分配给他面对l个其他投标人的事件的概率。这意味着总共有l+1个投标人，l∈ {1，2，…，M- 1}. Gl（x）=[F（x）]li从对称分布F中得出的l值中的最高值小于x的事件概率，其估值，在这种情况下，投标人获胜。βl（x）是当总共有确切的l+1个投标人时的均衡投标策略，可以确定。投标人投标时获胜的总概率βM（x）isG（x）=M-1Xl=0plGl（x），因此，当实际投标人不确定其面临的竞争对手数量时，其均衡出价是所有人都知道投标人数量的拍卖中均衡出价的加权平均值。（McAfee&McMillan 1987b）是最广为人知的早期概括之一，允许投标人的数量是随机的。引理4。当投标人数量不确定时，均衡策略由βM（x）=M给出-1Xl=0plGl（x）G（x）βl（x）证明。附录8.8。任何金融市场参与者或中介机构都会预计其他主要参与者也会在拍卖会上出价。通常，会有一些退出，这取决于他们最近的投标活动，而一些较小的参与者会根据特定拍卖的具体情况出现。

这是一个合理的假设，即所有投标人对层数的分布持有相似的信念。我们构建了一个对称的离散分布，如下图所示（图3）。我们证明，作为命题2证明的一部分，这种分布满足概率分布函数的所有性质。需要注意的是，这种对称离散分布属于三角形分布（结束注4）。我们可以很容易地找出可以提供不精确的不对称概率的变化。为简单起见，我们使用均匀分布进行估值，并将ω=1。以下结果来自于采用离散对称分布的投标策略。提案2。在对称离散分布下，投标策略和面对任何特定投标人总数的概率公式将由β（x）=M给出-1Xl=0plxlPM-1k=0pkxk！ll+1xpl公司=lp、 如果l≤（M）-1） （M）- l）p、 如果l>（M-1)p=M-1我们注意到pcan也可以写成，p=nj（M-1） knj（米-1） k+1o+hn（M）-1） 模块1+（M）-1） 在上（M）-1） 模块1oio公司（M）- 1)是整数函数，也就是说，它将任何数字向下舍入为最接近的整数。模B是模运算符，即当A除以B时，它给出余数。当A是小于1的分数，B是1时，结果就是分数本身。证据附录8.9。图3：可变投标人对称离散概率分布2.6不对称估价Fi，Fi是投标人i的连续密度函数和分布，在这种情况下，估价是对称的。φi≡ β-1i是投标策略βi的倒数。这意味着，xi=β-1i（bi）=φi（bi）。下面的结果反映了当我们有一个不对称平衡时的情况。引理5。

J给出了非对称平衡的微分方程组∈{1，…，M}Xj6=ifj（φj（b））φj（b）fj（φj（b））=[φi（b）- b] 证明。附录8.10。这个微分方程组可以通过求解得到每个玩家的出价函数。闭式解是已知的具有不同支撑的均匀分布情况。假设一些投标人有一个分布，而另一些投标人有另一个分布，则可以进行简化。这是一个合理的假设，因为金融公司可以分为全球大公司和本地小公司。这种假设甚至适用于电信公司或其他行业，在这些行业中，本地玩家与全球玩家竞争，以获得向某一地区提供服务的权利或从某一地区获得原材料的使用权。提案3。如果，K+1企业（包括我们推导支付条件的企业）具有分布F、策略β和反函数φ。另一个M- K- 1企业具有分布F、策略β和反函数φ。微分方程组如下所示：，Kf（φ（b））φ（b）[F（φ（b））]+（M）- 1.- K） f（φ（b））φ（b）[f（φ（b））]=[φi（b）- b] 证明。附录8.11。作为特例，如果只有两个投标人，M=2，K=1，则上述将简化为两个微分方程组，φ（b）=[F（φ（b））]F（φ（b））[φ（b）- b] φ（b）=[F（φ（b））]F（φ（b））[φ（b）- b] 2.7对称相互依存的估价值得注意的是，对于许多实体（企业或个人），V=Д（X，X，…，XM）这类纯公共价值模型并不相关，因为促使他们参与拍卖的力量可能不同。xi∈ [0，ωi]表示当估值相互依赖时，投标人是信号。Vi=Дi（X，X，…，XM）是投标人i的项目值，而Дi（0，0，…，0）=0。

νi（x，x，…，xM）≡ E[Vi | X=X，X=X，…，XM=XM，]是一个更一般的设置，在这里，了解所有投标人的信号仍然不能确定地揭示全部价值。就金融企业而言（Kashyap 2016），参与拍卖的动机将取决于他们的交易活动，这并不完全相似，但我们可以预期交易活动的许多共同驱动因素。这个推理告诉我们的是，可以合理地预期，每个投标人的信号之间存在某种相关性。这导致了对称的相互依存拍卖策略。从特定投标人的角度来看，其他投标人的信号可以互换，而不会影响价值。这是使用函数u（Xi，X）捕获的-i） 这对于所有投标人来说都是一样的，并且在最后M中是对称的-1部件。我们假设所有信号都来自相同的分布[0，ω]，并且估值可以写成νi（X，X，…，XM）=u（Xi，X-i） 我们还假设定义在[0，ω]非对称上的信号的联合密度函数与信号相关联。此处的责任指以下财产。o随机变量X，X。。。，XM分布在区间X的某些乘积上 <根据联合密度函数f，变量X=（X，X，…，XM）在下列情况下是有关联的：x、 x个∈ X，f（X∨ x） f（x∧ x）≥ f（x）f（x）。此处x∨ x和x∨ xdenote x和x的分量最大值和最小值。o随机变量Y，Y。。。，YM公司-1 Denote最大，第二大，最小值为X，X。。。，XM。如果X，X。。。，X关联，然后X，Y，Y。。。，YM公司-1也有责任。o设G（.| x）表示y条件在x=x上的分布，并设G（.| x）为关联的条件密度函数。然后，如果Yand Xare存在关联，并且如果x>x，则G（.| x）在反向危险率G（t）G（t）方面支配G（.| x）。

那就是y、 g（y | x）g（y | x）≥g（y | x）g（y | x）o如果γ是任何递增函数，那么x>x意味着e[γ（y）| x=x]≥ E[γ（Y）| X=X]我们将以下函数定义为当投标人1接收到的信号为X且其他投标人中的最高信号为Y=Y时，投标人1的期望值。由于对称性，该函数对于所有投标人都是相同的，我们假设它在X中严格递增。我们还将u（0）=Д（0，0）=0。ν（x，y）=E[V | x=x，y=y]引理6。由上述一组条件控制的对称平衡策略由β（x）=Zxν（y，y）dL（y | x）给出。在这里，我们将L（y | x）定义为一个支持度为[0，ω]的函数，L（y | x）=exp-Zxyg（t | t）G（t | t）dt证据附录8.12。提案4。当估价为其估价的加权平均值，且其他估价中的最高值时，投标人的均衡策略如下所示。也就是说，我们让ν（x，y）=αx+ξy |α，ξ∈ [0, 1]. 这也意味着，ν（x，y）=u（x，y）=u（xi，x-i） =αxi+ξmax（x-i） ，使我们在其他投标人的信号中保持对称。另一个公式可以简单地为ν（x，y）=MMPi=1xi. 关联结构遵循Irwin-Hall分布（结束注5），投标人的估价是来自ω=1的均匀分布的信号和来自相同均匀分布的公共分量之和。β（x）=2（α+ξ）（M- 1） （2米- 1） x2M-2.+ （α+ξ）“x-2倍- 1.-x个M-1（米-1+Zx2年- 1.-yM-1dy）#证明。附录8.13中的证明包括求解最后一个积分的方法。尽管对命题4中的分布假设进行了简化，但在许多情况下，这些假设都是令人满意的近似值，其目的是确保结果在分析上易于处理。使用我们在第2.2节中开发的回归技术可以适应更复杂的分布。

可以使用（式1）中形式的回归方程进行适当修改，以引入其他分布参数作为自变量。2.8组合现实设置提议5。在具有对称相互依存、均匀分布估值、保留价格和可变投标人数量的现实环境中，投标策略由β（x）=re给出-Rxx*g（t | t）g（t | t）dt+Zxx*v（y，y）g（y | y）g（y | y）e-Rxyg（t | t）G（t | t）dtdyHere，x*（r） 通过在以下条件下求解x得到Zξyhyxi2（M-2)2yxdy+Zxξy2年- 1.-y2倍- 1.-x个M-2(2 - y2倍- 1.-x个)dy公司=r- αx（M- 1） 证明。附录8.14中的证明包括求解上述类型方程的方法。将上述情况扩展到投标人总数不确定的情况是很容易的，因为当确实存在l+1个投标人时，使用平衡投标策略βl（x）和相关概率plm，βM（x）=M-1Xl=0plGl（x）G（x）βl（x）3对模型的改进我们假设每个投标人持有的估价是在决定其投标策略之前独立得出的。我们可以提出一个参数模型，将估价作为输入，投标作为输出，而不是我们所考虑的投标策略。从金融业证券借贷（Kashyap 2016）的角度来看，参数可能取决于所推出的投资组合的特征，如投资组合的规模、证券的数量、市场的数量、与内部库存重叠的范围，以及之前拍卖的历史出价的百分位排名（如有），拍卖商有时会透露哪些信息。然而，应当承认，如果且仅当参数模型是一般模型和实际拍卖环境（可能是非参数的）的有效近似值时，这才有用。