适用于实际应用的拍卖理论

因此，参数化可能会限制获得的任何结果的普遍适用性，但对于拍卖设置和参数已知到令人满意程度的特定应用程序来说，它可能很有用。当估值遵循特定分布时，应注意使用回归方程的参数方法的相似性。这表明回归技术在各种情况下都是有用的，在这些情况下，闭合形式的解要么不存在，要么不容易获得。（Cobb，Rumi&Salmer"in 2012；Nie&Chen 2007）得出了sumof对数正态分布的近似分布，这突出表明我们可以从估值的时间序列估计对数正态参数，从而得到估值的均值和方差。（Norstad 1999）是对数正态分布的基本但极好的参考。更长的历史时间序列将有助于更好地估计估值的波动性。这有助于确定投标的积极性。另一个关键扩展是在对数正态过程中引入跳跃。这在一定程度上体现在股票价格中，在更大程度上体现在库存过程中。4结论我们研究了各种拍卖策略的扩展，这些扩展与拍卖在许多现实生活中的应用相关。所有命题都是新的结果，它们引用了以引理形式给出的现有结果。我们已经推导出了与拍卖相关的投标策略的封闭式解决方案，如果存在此类公式，并且在需要近似的情况下，我们已经提供了这些解决方案。

使用对数正态分布的一个简单结果，以及一个新的正对称分布，应该具有巨大的实用价值，可以用来处理估值和投标人数量都相应分布的情况。相互依存的估价场景和结合的现实环境为投标人和拍卖设计师提供了现成的结果。这些扩展对于金融证券的拍卖非常有用，并且应该适用于许多其他产品。5确认和尾注1。香港城市大学（City University of Hong Kong）的王勇（Yong Wang）博士、闫伊莎贝尔（Isabel Yan）博士、维卡斯（Vikas Kakkar）博士、关福瑞（Fred Kwan）博士、威廉·凯斯（William Case）博士、斯里坎特·马拉卡尼（SrikantMarakani）博士、张强（Qiang Zhang）博士、科斯特尔·安多尼（Costel Andonie）博士、杰夫·洪（Je Off Hong）博士、刘光武（Guangwu Liu）博士、安德鲁·陈。索尔布里奇国际商学院（SolbridgeInternational School of Business）的资深成员就如何推进这篇论文提供了患者指导和有价值的建议。许多研讨会参与者提供了有益的建议。本文中表达的观点和意见以及任何错误都是我自己的，不一定反映我的责任或任何其他机构的官方政策或立场。3.拍卖，维基百科链接：拍卖是一个买卖商品或服务的过程，通过出价、接受出价，然后将物品卖给出价最高的人。4、三角分布，维基百科链接：在概率论和统计学中，三角分布是一个具有下限a、上限b和模式c的连续概率分布，其中a<b和a≤ c≤ b（另见：埃文斯、黑斯廷斯和皮科克2000）。5.

欧文-霍尔分布，维基百科链接：在概率统计中，欧文-霍尔分布以约瑟夫·奥斯卡·欧文和菲利普·霍尔的名字命名，是一个随机变量的概率分布，定义为多个独立随机变量的总和，每个变量都有一个均匀的分布。因此，它也被称为均匀和分布（另见：霍尔1927；欧文1927）。6参考文献oArmstrong，M.（2000）。最佳多目标拍卖。《经济研究评论》，67（3），455481。oAusubel，L.M.（2004）。多个物品的有效升价拍卖。《美国经济评论》（The American EconomicReview），94（5），1452-1475年。oBack，K.，&Zender，J.F.（1993）。可分割商品拍卖：财政部实验的基本原理。《金融研究回顾》，6（4），733-764。oBertsekas，D.P.（1988年）。拍卖算法：分配问题的分布式松弛方法。运筹学年鉴，14（1），105-123。oBiais，B.，&Faugeron Crouzet，A.M.（2002）。IPO拍卖：英语、荷兰语。法语和互联网。《金融中介杂志》，11（1），9-36。oChiani，M.、Dardari，D.、Simon，M.K.（2003）。衰落信道中错误概率计算的新指数界和近似。无线通信，IEEE交易，2（4），840-845。oCobb，B.R.，Rumi，R.，&Salmer"in，A.（2012）。近似对数正态随机变量和的分布。统计与计算，16（3），293-308。oDi Corato，L.、Dosi，C.、Moretto，M.（2017）。具有提前退出选项的长期采购合同的多维拍卖：保护合同案例。欧洲运筹学杂志。oDoyle，R.，&Baska，S.（2014）。拍卖历史：从古罗马到今天的高科技拍卖。拍卖商，SUA.oDyer，D.、Kagel，J.H.、Levin，D.（1989）。

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这是随机变量XI的一种实现，投标人i和唯一投标人我肯定知道xi~ F[0，ω]，xi是对称的，根据F在区间[0，ω]上的分布独立分布F、 正在增加并具有完全支持，这是非负实数线[0，∞].o f=f，是f的连续密度函数xi~ 当我们考虑均匀分布时，U[0，ω]。oxi~ LN[0，ω]当我们考虑对数正态分布时M、 是投标人总数。ofi，fi是不对称情况下投标人i的连续密度函数和分布r≥ 0，是拍卖商设定的底价。oβi：[0，ω]→ <+是一个递增函数，给出了投标人i的策略。我们让βi（xi）=bi。我们必须有βi（0）=0φi≡ β-1i是投标策略βi的倒数。这意味着，xi=β-1i（bi）=φi（bi）。oxi~ Fi[0，ωi]。这里，xi是不对称的，并且根据区间[0，ωi]上的分布而独立分布β : [0, ω] → <+是所有投标人在对称均衡中的策略。我们让β（x）=b，x是任何投标人的估价。我们还有b≤ β（x）和β（0）=0Y≡ YM公司-1，表示M中最高值的随机变量，如投标人1- 1其他投标人。oY、 是X，X，…，的最高阶统计量。。。，XM.oG、 是Y的分布函数。y、 G（y）=[F（y）]M-1.og=g，是g或Y的连续密度函数。oi∏是投标人i的报酬。i∏=xi- biif bi>maxj6=ibj0如果bi<maxj6=ibjoπs，X是拍卖商的支付和估价m（x），是投标人的预期付款，价值为x。oRSI是卖方的预期收入。oM={1，2，…，M}是当不确定有多少感兴趣的投标人时的潜在投标人集。

A. M是实际投标人的集合。oPLI是指任何参与投标人分配给其面对l个其他投标人或总共有l+1个投标人的事件的概率，l∈ {1，2，…，M- 1}.o xi∈ [0，ωi]是投标人在估值相互依赖时的信号。oVi=Дi（X，X，…，XM）是投标人i的项目值。Дi（0，0，…，0）=0oДi（X，X，…，XM）≡ E【Vi | X=X，X=X，…，XM=XM，】是一个更一般的设置，在这里，了解所有投标人的信号仍然不能确定地揭示全部价值∵ 在一些证明中使用的意思是“因为”。8证明附录所有命题都是新结果，它们引用了以引理形式给出的现有结果。8.1引理1的证明。下面重复（Krishna 2009）的证明以确保完整性。证据投标人之间的对称性意味着，bi=βi（xi）=β（xi）。假设投标人1的估价为x，并提交了标书b。只要投标人1提交了最高的标书，即b>maxi6=1β（Xi）>β（maxi6=1Xi），投标人1就会获胜[∵ β在增加。]>β（Y）=> Y<β-1（b）投标人1的预期收益∏=Gβ-1（b）{x- b} 使支付最大化的一阶条件，Gβ-1（b）{x- b}b=0=> g级β-1（b）β-1（b）b（x- （b）- Gβ-1（b）= 0定义z=β-1（b）=> b=β（z）。关于b的差异给出，1=β（z）zzb=>zb≡β-1（b）b=β（z）=β（β-1（b））使用这个，我们有，gβ-1（b）β(β-1（b））（x- （b）- Gβ-1（b）= 0在对称平衡时，b=β（x），=>g（x）β（x）（x- （b）- G（x）=0bg（x）+β（x）G（x）=xg（x）β（x）G（x）+β（x）G（x）=xg（x）=>d（G（x）β（x））dx=xg（x）将其从0积分到x，并使用β（0）=0，β（x）=G（x）Zxyg（y）dy=E[y | y<x]使用分部积分公式，Zxyg（y）dy=Zxyg（y）dy=| yG（y）| x-ZxG（y）dyβ（x）=G（x）xG（x）-ZxG（y）dy=x个-ZxG（y）G（x）dyβ（x）=“x-Zx公司F（y）F（x）M-1dy#很容易看出，这是任何投标人的最佳回应，如下所示。

例如，当估价为x时，投标人1出价b=β（z）。其预期收益由∏（b，x）=G（z）[x]给出- β（z）]≡ （P rob of W in）* （P放线）=G（z）x- G（z）z-ZzG（y）G（z）dy, 使用上面的β（z）=G（z）x- G（z）z+ZzG（y）dy∏（β（z），x）≡ π（b，x）=G（z）（x- z） +ZzG（y）Dy，考虑∏（β（x），x）- π（β（z），x）=G（x）（x）- x） +ZxG（y）dy-G（z）（x）- z） +ZzG（y）dy= G（z）（z- x） +ZxG（y）dy-ZxG（y）dy+ZzxG（y）dy= G（z）（z- x）-ZzxG（y）dy≥ 0，当z≥ x或z≤ x值为x的投标人预期付款，m（x）=P rob【W in】* （投标金额）=G（x）* β（x）[∵ G（x）≡ P rob[Y<x]，Y≡ 最高值（M- 1） 其他标书]=Zxyg（y）特定投标人的预期预付款为，E[m（x）]=Zωm（x）f（x）dx=ZωZxyg（y）dyf（x）dx=ZωZωyf（x）dxyg（y）dy积分变换阶=Zω[F（ω）- F（y）]yg（y）dy=Zωy[1- F（y）]g（y）dy(∵ F（ω）=1）卖方的预期收入是所有投标人的付款总额。E[Rs]=ME[m（x）]8.2命题1的证明。证据使用引理（1）中的bid函数和对数正态分布函数，F（x）=Φlnx公司-uσ, G（x）=Φlnx公司-uσM-1、此处Φ（u）=√2πRu-∞e-t/2dt是标准的正态累积分布，x=eWwhere，W~ N（u，σ）β（x）=“x-Zx公司F（y）F（x）M-1年#=x个-Zx公司Φlny公司-uσΦlnx公司-uσM-1年没有可用的封闭式解决方案。可以使用某些近似值（见Laffont、Ossard&Vuong 1995）。我们使用泰勒级数展开进行简化，如下所示。

这仅对x的非零值有效（该函数的泰勒级数在x=0时未定义，但我们认为在零时评估该值的正确限制），在我们的情况下，这是成立的，因为零估价意味着零出价。β（x）=x个-RxhΦlny公司-uσ感应电动机-1dyhΦlnx公司-uσ感应电动机-1.=x个-（Rx√2πR（lny-uσ)-∞e-2吨/2吨M-1dy）√2πR（lnx-uσ)-∞e-2吨/2吨M-1.Let，h（y）=“Z（lny-uσ)-∞e-t/2dt#M-1j（y）=Zh（y）dyWe然后有，β（x）=“x-Rxh（y）dyh（x）#=x个-|j（y）| xh（x）=x个-j（x）- j（0）h（x）≈x个-j（0）xh（x）{∵ j（x）- j（0）\'j（0）x，M aclaurin系列}=x个-h（0）xh（x）= x个1.-h（0）h（x）=> β（x）=x∵ h（0）=“Z（ln0-uσ)-∞e-t/2dt#M-1=Z-∞-∞e-2吨/2吨M-1= 0为了获得更高的精度，我们可以使用麦克劳林级数的后续项，包括额外的项，如下所示，β（x）≈ x个1.-h（0）h（x）-xh（0）h（x） ∵ j（x）- j（0）\'j（0）x+j（0）x2！β（x）=x1.-h（0）h（x）-1.-h（0）h（x） ∵h（x）- h（0）h（x）\'h（0）xh（x）=> β（x）=x[∵ h（0）=0]β（x）≈ x个1.-h（0）h（x）-xh（0）h（x）-xh（0）h（x）∵ j（x）- j（0）\'j（0）x+j（0）x2+j（0）x3！β（x）≈ x个1.-h（0）h（x）-xh（0）h（x）-1.-h（0）h（x）- xh（0）h（x）∵h（x）- h（0）- h（0）xh（x）\'h（0）xh（x）β（x）≈ x个1.-h（0）h（x）-xh（0）h（x）-+h（0）h（x）+xh（0）h（x）= x个-h（0）h（x）-1.-h（0）h（x）=> β（x）=x[∵ h（0）=0]检查拉格朗日余数RM（y）的阶数M近似，其中0<ξM<y，RM（y）=jM+1（ξM）yM+1（M+1）=M+1j（y）yM+1y=ξMyM+1（M+1）！=M+1（RR（lny-uσ)-∞e-2吨/2吨M-1)yM+1y=ξMyM+1（M+1）！Let，l（y）=lny公司- uσ=> l（y）=σy=> l（y）=-σ年（y）=yM+1（M+1）！MhRl（y）-∞e-t/2时间-1.yM公司y=ξMUsing Fa\'adi Bruno公式（Huang，Marcantognini&Young 2006；Johnson 2002），M{p（q（y））}yM=XM！kk公里！p（k）（q（y））q（y）1！kq（y）2！kq（M）（y）M！其中，和是丢番图方程k+2k+····+MkM=M，k=k+k+··+kM的所有非负整数解。