Vanna-Volga法测定正常挥发物

更精确的二阶近似可得出以下二次方程：     使用：    这个二次方程可以很容易地求解 , 其结果是：   使用：      （26）同样，这些针对单身汉/普通人的解决方案实际上与对数普通人的解决方案相同（如Castagna和Mercurio[2007]），前者的罢工价格取代后者的罢工价格，并重新定义了货币条件。也就是说，Bachelier/Normal模型实际上不需要上述泰勒级数近似。相反，期权的市场价格与执行价格 可直接计算为：对于特定情况  （或), 从二次方程可以看出：  （27）和相应的正常波动率可以简单地从这个市场价格中退出。这种反演对于正常挥发物来说要容易得多，有几种分析方法可以提供机器精度的结果。E、 g.Choi等人提出了一种此类方法。

【2007年】和认购价格收益 以及相应的卖出价格 （具有相同的到期日T和罢工K）如下：       (28)                参考波动率的选择VV方法的应用需要（对于（26）中的二阶近似和（28）中的精确反演）参考（平）波动率的输入. 通常，ATM隐含波动率或中间隐含枢轴波动率 （带) 已使用。然而，没有坚实的理论基础支持这种使用。这可以看作是Vanna-Volga方法的主要缺点。相反，参考波动率可以被视为另一个自由度。特别是，对于给定的参考波动率，标准VV方法适合三个任意的市场关键报价。

将参考波动率视为另一个参数通常会导致VV方法能够在额外的第四个市场报价中加入微笑。卖出价格  可以从买入价中得出使用put调用奇偶校验  .在ATM的特殊情况下（对于F=K），隐含的正态波动率可以从（2）直接反转为 11与正常SABR相比，在过去十年中，SABR模型已被确立为利率波动率插值/外推的市场标准。该技术基于远期利率随机瞬时波动率建模 （详见Hagan等人【2002年】：  （29）具有四个参数,   ,     和. 背景 产生所谓的正常SABR模型，并允许对负远期进行建模，类似于正常/Bachelier框架。然而，SABR波动率动态总是假定为对数正态分布。这使该方法不同于VV技术，VV技术不对随机波动的动力学做出任何假设。正常SABR模型产生的正常隐含波动率微笑可近似为：              （30）一般而言 参数控制微笑的高度， - 它的深度 参数-其偏度/不对称性。有三个自由参数，SABR微笑在大多数情况下可以精确地拟合三个市场报价（类似于VV技术），然后可以用于内部和外推。

然而，由于模型设计（尤其是对数正态波动动力学），SABR产生的微笑总是凸的（或在极端情况下平坦的). 因此，该方法在有时出现的凹形微笑（所谓的“皱眉”，其中最大隐含波动率接近ATM）的情况下失败。由于VV没有关于随机波动率动力学的假设，因此它也可以很好地处理此类情况。实际例子下面的例子比较了一些市场数据星座通过正常VV与正常SABR拟合的微笑。第一个例子指的是三个支点的经典情况，其中ITM/OTM波动率超过ATM波动率，并且有轻微的偏斜。VV微笑采用精确反演方法进行拟合（见（28））。见Frankena【2016年】。Hagan等人（2002）的原始推导在相关章节“A5”中包含一个拼写错误。正常SABR的正常隐含波动率的特殊情况。12正常VV（可选参考波动率为40、45、50、55和60）与正常SABR的微笑结构。对于   枢轴 , .  如本例所示，对于VV与SABR，插值范围内的模式实际上是相同的，并且也不显著依赖于VV参考波动率。然而，外推模式却大不相同。特别是，VV微笑在两侧显示“翅膀”，微笑在边缘变凹。刀锋微笑保持凸形，边缘几乎呈线性。此外，VV微笑外推确实在很大程度上取决于VV参考波动率：它越高，边缘越高。

VV和SABR微笑之间最接近的匹配似乎发生在VV参考波动率略高于隐含ATM波动率的情况下。VV微笑对参考波动率的强烈依赖性提倡使用第四个关键报价，以便实现四个关键报价的精确拟合。在上面的图形示例中，第四个引号由一个圆圈表示，该圆圈位于100号线处，从而选择了等于55的最佳参考波动率。通常，通过拟合第四个市场报价来推断最优VV参考波动率可以通过简单的数值方法实现。通常，SABR不可能实现这样的四轴配合。我们现在考虑一种不太经典的情况，即倒置微笑（“皱眉”），即ITM/OTM波动率低于ATM波动率。13正常VV（替代参考波动率为40、50和60）与正常SABR的微笑结构。对于    枢轴 ,   最佳的SABR拟合是线性的，因为SABR通常无法拟合凹形微笑。VV方法可以很好地插值凹形微笑（“皱眉”）。然而，VV外推的稳健性似乎取决于参考波动率。对于（相对）较高的参考挥发度，该方法在边缘失败。从技术上讲，在这些情况下，计算的VV看涨期权价格（见（27））低于期权的内在价值。对于远低于隐含ATM波动率的参考波动率，VV外推似乎在边缘保持稳健和一致。作为最终检查，我们验证了VV拟合的凹形微笑是否产生正风险中性概率。

为此，到期时标的物价格x的风险中性分布密度可通过期权价格计算得出，使用期权价格相对于履约的二阶导数（见Breeden和Litzenberger【1978】）：（31）我们通过使用带有罢工的三组呼叫的离散近似来估计此密度    （对于小型) 作为：      （32）其中 指VV结果（27）。下图显示了一些选定的凹波动率微笑（皱眉）的密度。或者，对于累积分布函数 和卖出价格：14正常VV（参考波动率=40）与正常SABR的风险中性密度。对于   枢轴 ,   正常VV（参考波动率=30）与正常SABR的风险中性密度。对于   枢轴 ,  很明显，即使在凹形微笑（“皱眉”）的情况下，VV技术也可以产生一致的非负风险中性密度。此外，如果皱眉的深度足够大，密度就会变得双峰，这与对近期潜在价格不确定但大幅上涨的情况的预期一致。15总结：我们已经表明，Vanna-Volga技术适用于正常/单身波动率，结果与经典对数正态情况非常相似，除了期权货币和织女星相关希腊人的不同表达。隐含正态波动率微笑的一阶Vanna-Volga近似结果只是履约价格的二次函数。对于正态情况，也可以很容易地推导出更精确的二阶近似，并且与对数正态近似类似。

然而，由于期权价格隐含波动率的准精确（机器精度）分析推断很容易，因此在正常/Bacelier情况下，波动率微笑的准精确分析解很容易推导出来，因此不需要泰勒近似。Vanna-Volga技术的缺点之一是它依赖于作为输入之一的参考波动率。这种波动性通常是未知的，但正如我们所显示的，可以显著影响外推微笑的形状。在实践中，ATM隐含波动率或中间波动率通常用于此输入，作为直觉而非逻辑推理。相反，我们建议将参考波动率视为另一个自由度。随着参考波动率成为模型参数，Vanna-Volga方法通常能够对四个任意的市场报价进行拟合。Vanna-Volga技术还有其他一些重要优势。我们将该方法与标准SABR模型进行了比较，该模型是当前利率环境下的内插/外推标准。Vanna-Volga方法似乎在拟合利率市场中通常观察到的微笑模式方面表现良好。与SABR相比，该技术能够拟合反转（凹）微笑模式（或相应的双峰隐含密度模式）。这些模式有时会在重要的跳跃事件（如利率的修订，期权到期后不久）之前观察到。此外，通常在利率正常波动率微笑的下端/左端观察到凹面，这可能反映了利率变得过于负的可能性正在大幅下降。在这些情况下，正常的Vanna-Volga技术可以比SABR表现更好。

参考文献Breeden，D.T.和Litzenberger，R.H.（1978）。期权价格中隐含的国家未定权益价格，《商业杂志》51（4）：第621-651页Castagna，A.和Mercurio，F.（2007）。Vanna-Volga隐含挥发度法。《风险》，2007年1月，第106-111页Choi J.、Kim K.和Kwak M.（2007）。算术布朗运动下隐含波动率的数值近似，2007年6月1日，Frankena，L.H.（2016）。负利率环境下的定价和对冲期权。论文，代尔夫特理工大学，阿姆斯特丹，2016年2月29日，Hagan P.、Kumar D.、Lesniewski A.和Woodward D.（2002）。管理微笑风险。Wilmott，1（8），第84-108页，2002年，Shkolnikov，Y.（2009）。广义Vanna-Volga方法及其应用，NumeriX定量研究，2009年6月25日Xiong C.（2011）。Vanna-Volga外汇隐含波动率法Smile，2016年6月27日