Vanna-Volga法测定正常挥发物

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英文标题：
《Vanna-Volga Method for Normal Volatilities》
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作者：
Volodymyr Perederiy
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Vanna-Volga is a popular method for the interpolation/extrapolation of volatility smiles. The technique is widely used in the FX markets context, due to its ability to consistently construct the entire Lognormal smile using only three Lognormal market quotes. However, the derivation of the Vanna-Volga method itself is free of distributional assumptions. With this is mind, it is surprising there have been no attempts to apply the method to Normal volatilities (the current standard for interest rate markets). We show how the method can be modified to build Normal volatility smiles. As it turns out, only minor modifications are required compared to the Lognormal case. Moreover, as the inversion of Normal volatilities from option prices is easier in the Normal case, the smile construction can occur at a machine-precision level using analytical formulae, making the approximations via Taylor-series unnecessary. Apart from being based on practical and intuitive hedging arguments, the Vanna-Volga has further important advantages. In comparison to the Normal SABR model, the Vanna-Volga can easily fit both classical convex and atypical concave smiles (frowns). Concave smile patterns are sometimes observed around ATM strikes in the interest rate markets, particularly in the situations of anticipated jumps (with an unclear outcome) in interest rates. Besides, concavity is often observed towards the lower/left end of the Normal volatility smiles of interest rates. At least in these situations, the Vanna-Volga can be expected to interpolate/extrapolate better than SABR.
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中文摘要：
Vanna-Volga是波动率微笑插值/外推的常用方法。该技术在外汇市场中得到了广泛应用，因为它能够仅使用三个对数正态市场报价来持续构建整个对数正态微笑。然而，Vanna-Volga方法的推导本身没有分布假设。考虑到这一点，令人惊讶的是，没有人试图将该方法应用于正常波动率（利率市场的现行标准）。我们展示了如何修改该方法以构建正常的波动率微笑。事实证明，与对数正态分布情况相比，只需要稍作修改。此外，由于在正常情况下更容易从期权价格中反演正常波动率，因此可以使用分析公式在机器精度水平上进行微笑构造，从而不需要通过泰勒级数进行近似。除了基于实际和直观的对冲论点外，瓦纳伏尔加还有其他重要优势。与正常的SABR模型相比，Vanna-Volga可以很容易地拟合经典的凸面笑容和非典型的凹面笑容（皱眉）。在利率市场中，有时会观察到ATM罢工周围的凹形微笑模式，特别是在利率预期跳跃（结果不明确）的情况下。此外，在利率正常波动率微笑的下端/左端经常观察到凹面。至少在这些情况下，Vanna-Volga可以比SABR更好地进行插值/外推。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：Anna OLG Van Vol volatilities

1 Vanna-Volga法测定正常挥发性Volodymyr Perederiy*2018年10月，修订版。2020年11月摘要Vanna Volga是波动率微笑插值/外推的常用方法。该技术在外汇市场中得到了广泛应用，因为它能够仅使用三个对数正态市场报价来持续构建整个对数正态微笑。然而，Vanna-Volga方法的推导本身没有分布假设。考虑到这一点，令人惊讶的是，没有人试图将该方法应用于正常波动率（利率市场的现行标准）。我们展示了如何修改该方法以构建正常的波动率微笑。事实证明，与对数正态分布情况相比，只需要稍作修改。此外，由于在正常情况下更容易从期权价格中反演正常波动率，因此可以使用分析公式在机器精度水平上进行微笑构造，从而不需要通过泰勒级数进行近似。除了基于实际和直观的对冲论点外，瓦纳伏尔加还有其他重要优势。与正常的SABR模型相比，Vanna-Volga可以很容易地拟合经典的凸面笑容和非典型的凹面笑容（“皱眉”）。在利率市场中，有时会观察到ATM罢工周围的凹形微笑模式，特别是在利率预期跳跃（结果不明确）的情况下。此外，在利率正常波动率微笑的下端/左端经常观察到凹面。至少在这些情况下，Vanna-Volga可以比SABR更好地进行插值/外推。

关键词：Vanna Volga，期权定价，普通Bachelier模型，期权希腊，Delta，Vega，Vanna，Volga，波动微笑，波动皱眉，SABR模型，利率*Perederiy Consulting（创始人和顾问），Vanna Volga（VV）是一种流行的面向市场的波动率微笑建模和插值/外推技术。这种技术主要应用于外汇市场。这可以解释为这样一个事实，即该技术允许在仅给出三个市场报价的情况下，对整个波动率微笑进行一致的扣除，而外汇市场恰好有三个最具流动性的标准报价（所谓的ATM、风险逆转和蝴蝶）。此外，该技术的外汇重点似乎基于这样一个事实，即外汇是对数正态模型仍然被认为可行的市场之一。虽然VV方法中的最终插值和近似公式（见Castagna和Mercurio[2007]）确实是针对对数正态情况推导的，但该方法本身没有分布假设。令人惊讶的是，在将VV方法应用于正常（Bachelier）波动率方面，几乎没有或根本没有理论或实证研究。最近，鉴于负利率的到来，此类模型对于利率建模尤为重要。在本文中，我们重申了VV方法的推导，并使用类似于Castagna和Mercurio【2007】的对冲论点，获得了正常/单身情况下的结果。在这样做的过程中，我们反驳了远期（而非现货）对冲工具，因为这些工具在利率环境中更为自然。我们研究了该技术产生的波动模式，并将其与经典的正态SABR方法产生的波动模式进行了比较。单身汉vs。

Black模型定价公式在正常/Bachelier期权定价模型中，假定基础的远期价格遵循无漂移布朗运动（在T-远期测度中）：（1） 在哪里 是（恒定）波动率。然后，看涨期权价格与行使 和到期日 可显示为等于：    （2） 使用 表示密度，以及 正态分布的累积分布函数，以及 是适当的折扣系数。我们对上述内容使用“金钱”一词 学期该Bachelier公式可与对数正态分布情况下的经典Black 76公式进行比较，其中基本过程的假设为：（3） 此处，买入期权价格计算如下：   （4） 3有两个货币条款 和. 期权希腊人我们现在为Bachelier案例推导出相关的希腊人（期权敏感性），这将在稍后需要。三角洲和织女星可以表示为相等：（向前）三角洲：（5） 织女星：（6） 由此，相关的二阶导数可以推导如下：伏尔加：首先，我们有： 利用法向密度的导数 应用链式法则，我们得出： （7） （前进）Vanna：类似地：（8） （正向）伽马射线：（9） 现在，我们将上面推导的正态希腊文与经典Black 76模型中的对数正态希腊文进行比较（二阶导数用织女星表示):此处推导的希腊人是指远期（而非即期）价格F。

通过将与正演相关的希腊语乘以偏导数（与Gamma重复相乘），可以轻松获得与spot（而非正演）S相关的对应Delta、Vanna和Gamma希腊语并替换, 哪里 代表运输成本。关于对数正态分布（黑色76）希腊人的推导，请参见Xiong（2016）和Frankena（2016）。GreeksNormal（学士）Lognormal（黑色76）Moneyness  希腊字母表的第4个字母织女星，伽马射线，伏尔加，瓦纳，正常希腊人和对数正常希腊人之间有着明显的相似之处。特别是，当用相应的货币量（如上所述）表示时，除了在对数正态分布情况下包含远期价格外，这些表达式实际上是相同的。此外，给定一个固定的织女星，在这两种情况下，瓦纳希腊语与货币成线性比例，伏尔加语与货币平方成线性比例。Vanna Volga对于正态/Bachelier波动率投资组合构建，与对数正态VV方法一样（见Castagna和Mercurio[2007]），我们假设期权价格可以用平坦（独立于执行）但随机的隐含波动率来描述。类似地，我们构建了一个投资组合 包括：-考虑行使的看涨期权中的一个多头头寸 和价值  （根据Bachelier模型）-空头头寸  在delta对冲资产中 和-三个空头头寸 在一些有罢工的枢轴/基准看涨期权中 和值 （根据Bachelier模型）。

在很小的时间间隔内，通过对函数应用伊藤引理, 根据远期价格的变化，我们可以得出期权价值的以下变化（i=0,1,2,3） 以及隐含波动率的变化:  （10） 现在，因为 在Bachelier案中，它认为：5因此，利用随机微积分的以下规则：     表达式（10）可以简化为：   或：（11） 至于delta对冲资产，类似于Ito引理，但现在假设该资产的价格与波动性之间独立，我们有：（12） 在一个小的时间间隔内，整体投资组合价值的变化为：    （13） 在哪里,  根据（11）和 根据（12）定义。到目前为止，除了使用正态关系外，推导过程实际上是无假设的, 它只影响前面的第二个漂移项 在（11）和（12）中，导致 和 关联地在对数正态分布的情况下，关系为,  因此导致相同的结果，术语更改为  和.

（13）中的风险消除，并使用上一节中推导的标准希腊语，我们可以计算数量,  和 和 这样一来 对远期价格变化不敏感 以及波动性的变化.6投资组合的Delta风险（源自前面的条款) 可以消除，用于任意权重, 通过设置delta对冲资产的金额 因此   （14） 投资组合的织女星风险（源自) 可通过对重量施加以下限制来消除:      或： （15） 在哪里 表示第i个选项的织女星希腊语，根据正常/学士模型。投资组合的Vanna风险（源自) 可通过对重量施加以下限制来消除:      相当于 （16） 在哪里 表示第i个选项根据正常/学士模型的货币价值。

投资组合的伏尔加风险（源自) 可通过对重量施加以下限制来消除:      相当于 （17） 前面的漂移项 投资组合为：               因为已经暗示的限制, 最后一个之后的术语 也会消失。7因此，如果如上所述施加并满足所有约束，则投资组合价值的变化  （瞬间）具有确定性，且不存在与基础（远期）价格及其波动性相关的风险：  （18） 我们将权重约束总结为线性系统（in) 方程：        （19） 这个系统再次与对数正态分布的情况非常相似，只有两个对数正态分布的货币条件 被正常货币所取代. 根据Cramer法则，类似的解决方案是：        其结果是：    （20） 使用正常货币的定义：    （21）同样，该解决方案与对数正态情况下的解决方案非常相似，在对数正态情况下，只有罢工的对数出现，而不是（21）中的罢工（见Castagna和Mercurio[2007]）。

解决方案 与之类似，在Bachelier的情况下：         （22）Delta对冲工具的选择目前，正常/Bachelier模型主要用于利率市场中的期权定价，这里的基础是利率指数。举两个例子：对于Caplet/floorlets，8基础是IBOR利率，对于掉期期权，8基础是掉期利率。此类利率指数没有现货市场。利率不是直接可交易资产，因此不能用作delta对冲工具H。然而，存在可交易资产无vega风险() 其价格与这些利率挂钩，因此可用于三角洲对冲。这些通常是远期类工具，其当前公允价值确定为：  哪里 是以t为单位的交货在t时的远期价格/费率，以及 是（向前的乐器）的敲击声。此类工具的一个例子是远期利率协议（FRA），作为caplet/floorlet期权的delta对冲。一般而言，此类远期票据可按如下方式使用。根据伊藤引理，我们得到：    选择公允价值为零的远期合约（即) 作为delta对冲工具，我们获得： 可替换为（13）以获得数量 风险消除所需的delta对冲工具。到目前为止，我们一直在处理一个不断波动的世界中的定价问题。

但是，已经提到的值  由此得出的加权投资组合（见Shkolnikov[2009]）与市场价值相等真实世界中的投资组合，具有随机（但独立于罢工）隐含波动率。由于delta对冲工具H的价值不取决于波动性，我们有：  （23）上述期权市场价格之间的关系 和 可以转化为正常波动率之间的关系,  由这些价格暗示。重新排列后  （24）市场与理论价格的差异(  和 ) 可根据隐含市场波动率和参考平级波动率之间的差异进行近似计算( 和  ) 使用泰勒展开。一阶近似（其推导类似于Castagna和Mercurio[2007]中对数正态情况下的推导）得出了以下关于行使期权隐含市场波动率的表达式   (25)               和  明显地 是的二次函数与点相交(), () 以及().