信息不完全不对称的Dynkin对策

π的典型样本路径*-过程（左）及其相关Γ*,1基本案例参数的流程（右）。请注意，左侧的虚线表示最佳边界a=0.248和b=0.465，我们选择了π=0.35。具有不完全和不对称信息的DYNKIN游戏27接下来，图3显示了与我们的基本情况相对应的玩家1和玩家2的值函数。请注意，V和V分别满足a和b处的光滑条件，V满足b处的反射条件。我们还观察了（79）和（80）中描述的V的性质，以及引理5.5和5.6中分别描述的Vand V的性质。还观察到命题6.11中所述的事前值V的凸性。当真实漂移为u时，informedplayer期望支付的金额远远超过玩家1有理由相信的金额，而当真实漂移为u时，知情玩家期望支付的金额更少。当u=u时，1+ 而游戏对玩家2的价值可以看作是由于玩家1不知情而减少了玩家2的预期成本。类似地，当u=u时，1与玩家2的游戏价值之间的差距表示由于玩家1不知情，玩家2的预期成本减少。图3：。游戏对玩家1的价值（实线；（1）- π） V+πV）以及当u=u（虚线；V）和u=u（虚线；V）时游戏对玩家2的价值。基本情况参数为u=-1，u=1，σ=0.5和 = 0.1;因此，a=0.248，b=0.465（由两条垂直线表示）。图4显示了所有四个参数（u、u、σ、，) 使用上述基本情况。我们首先注意到，信噪比ω=（u-u）/σ对理解这些结果起着至关重要的作用，因为ω越高，未知玩家的学习速度越快。

从这个意义上讲，参数u、u和σ的变化将影响信噪比，从而影响学习速度，这最终将对平衡结果产生影响。此外，改变u、u和σ不仅会影响学习速度（通过信噪比），还会影响游戏的预期收益，由于这些竞争效应，可能会导致非单调依赖性。最后，我们注意到 只有通过游戏的支付结构影响问题，并且对玩家1了解漂移的速度没有影响。考虑到这一点，我们现在开始描述图4中观察到的比较静力学结果。我们首先考虑变化u对平衡结果的影响。随着u的增加（allelse相等），播放器1的良好情况会变得更好，这既是因为漂移更大，也是因为信噪比增加，从而加快了学习过程。这表明阈值a应在漂移u中减小，这也在数值上得到证实，见图4（b）。同样，如果u=u且u很大，那么继续对玩家2来说代价高昂，在28号TIZIANO DE ANGELIS，ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVER（a）（b）（c）（d）图4。基本情况参数（u=-1，u=1，σ=0.5和 = 0.1）当我们改变u、u、σ和, 分别地同时，具有关于漂移的附加信息的优势较小（因为信噪比增加）。因此，阈值b应以u为单位减小，这在数值上也得到了证实。当考虑u的变化时，对两个参与者都有两个相互竞争的影响。一方面，减少u对玩家1（sup玩家）不利，因此对阈值a的影响越来越大。

另一方面，u的减小会增加信噪比，从而加快学习过程，从而降低a。图4（a）证实了a对u存在非线性依赖的怀疑。出于上述相同的原因，u的变化对上阈值b的影响是不明确的。然而，对于我们的基本情况参数，在图4（a）中看不到这种潜在的模糊性。从图4（c）中，我们可以看到，随着σ的增加，玩家1的最佳阈值增加，而玩家2的最佳阈值减少。这背后的直觉是，随着σ的增加，信噪比增加，导致学习速度变慢，因此玩家1的值函数变小，因此a增加。然而，对于玩家2来说，σ增加意味着他们能够更好地隐藏玩家1的信息（增加b的动机），π过程方差的减少也意味着σ增加时，给定阈值的首次命中时间更大。由于u>0，更长的预期停止时间最终将导致玩家2的预期成本增加（减少b的动机）。通过数值计算，我们的基本情况参数的最终结果是，玩家2随着σ的增加降低了他们的阈值b。最后，我们考虑了. 自 不影响玩家1了解漂移的能力，其对均衡的影响只能通过具有不完整和不对称信息结构的Payoffdynkin博弈来实现。因此，所有的值函数在; 对于玩家1来说，这意味着延续区域在, 使阈值a减小。然而，b的noeasy单调性可以推断出来，因为对玩家2的延续区域没有明显的影响（因为障碍也取决于).

从图4（d）中，我们观察到a对 并且，对于我们的基本情况参数，b在.最后，为了计算博弈中的信息价值，我们在文章的最后对信息对称和不完全的情况进行了非正式讨论。假设两个参与者对u具有相同的初始先验分布，即他们同意π作为初始概率，即dRIFT为u，并且1- π表示漂移为u的概率。然后，不需要对其他玩家进行随机操作，就可以获得停止时间（τ，τ）的鞍点。事实上，具有线性支付的博弈减少了toU（x，Д）=x1+ДsupτinfτeEeuτ（1+Φτ）1{τ<τ}+（1+)euτ（1+Φτ）1{τ≤τ}式中，dΦt=σωΦtdt+ωΦtdfWtundereP。然后可以直接检查是否可以找到A、B∈ (0, ∞) A<B，A函数bv+1≤bV公司≤ (1 + )（1+Д）以便ωДbV（Д）+σωДbV（Д）+ubV（Д）=0，表示Д∈ （A，B）bV（Д）=1+A，表示Д∈ （0，A）bV（A+）=1，bV（Д）=（1+)（1+B），用于∈ [B，∞)bV（B-) = 1 + .使用标准验证参数，（τ*, τ*) := （τA，τB）是停车时间的鞍点，相应的值函数由U（x，Д）=xbV（Д）/（1+Д）给出。图5：。左边：对称不完全信息情况下（实线）两个参与者的共同值函数，与不对称情况下（虚线）的值函数相比。两条垂直线对应于值SA：=A/（1+A）和b：=b/（1+b）（对于对称情况）。右侧：这些值之间的差异，代表了我们游戏中信息的价值。

基本情况参数：u=-1，u=1，σ=0.5和 = 0.1，即yieldsa=0.193，b=0.758（对于对称情况）。30 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK EKSTR¨OM和Kristofer Glover图5绘制了基本情况参数的值函数U（1，π）=U（x，π）/x，以及非对称情况下未知情玩家的值函数，以供比较。还绘制了不对称值函数和对称值函数之间的差异，并可解释为此设置中的信息值。参考文献[1]Aumann，R.和Maschler，M.在信息不完全的情况下重复博弈。麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，1995年。[2] Adams，R.A.和Fournier，J.J.F.Sobolev空间（第二版）。学术出版社2003年。[3] Back，K.《资产定价理论中的不完全和不对称信息》。《金融中的随机方法》，数学讲师1856（2004），1-25。[4] Bather，J.A.Bayes确定正态均值符号的程序。过程。剑桥菲洛斯。Soc。，58 (1962),599-620.[5] Bensoussan，A.，Friedman，A.具有停止时间和自由边界问题的非零和随机微分对策。变速箱。美国。数学Soc。，231（1977）第2号，275-327。[6] Cardaliaguet，P.《信息不对称的差异博弈》。暹罗J.控制优化。46（2007），第3816-838号。[7] Cardaliaguet，P.和Rainer，C.具有不对称信息的随机微分对策。应用程序。数学Optim公司。59（2009），第1、1-36号。[8] Cherno Off，H.正态分布平均值的序贯检验。过程。第四届伯克利研讨会。数学统计学家。和问题。，1 (1961), 79-91.[9] Daley，B.和Green，B.在柠檬市场等待消息。《计量经济学》80（2012），第4期，1433-1504。[10] De Angelis，T.《部分信息的最优股息和退化反射差异的停止》。金融斯托克。24（2020），第1号，71-123。[11] De Angelis，T.、Ferrari，G.、Moriarty，J。

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