信息不完全不对称的Dynkin对策

特别是，上述三人博弈可以解释为我们（贝叶斯）博弈的“代理形式”，其中（30）–（32）代表均衡的“中期定义”。下一个命题提供了一个条件，在此条件下，如果代理形式博弈中存在纳什均衡，则有可能找到另一个纳什均衡，使得知情的玩家（玩家2）在事件{θ=0}上从不停止。这一结果有助于在某些情况下简化纳什均衡的构造，例如在第6节研究的问题中。提案3.8。固定（x，Д）∈ R+×R+并假设（τ*, Γ*,0, Γ*,1) ∈ T×TθRis是agent形式博弈中的一个纳什均衡，使得（34）J（τ，0）≤ J（τ，Γ）*,0）对于所有τ∈ T然后（τ*, 0, Γ*,1） 也是一个纳什均衡。证据首先注意，（31）自（τ）起成立*, Γ*,0, Γ*,1） 是纳什均衡。此外，对于任何∈ TR，（35）Jx，Д（τ*, 0) ≤ Jx，Д（τ*, Γ*,0) ≤ Jx，Д（τ*, Γ），其中第一个不平等来自（34），第二个来自（30）。因此，（30）和（31）适用于候选平衡（τ*, 0, Γ*,1).还有待证明（32）适用于候选均衡。为此，请首先注意，在（35）yieldsJx，Д（τ）中插入Γ=0*, 0）=Jx，Д（τ）*, Γ*,0).因此，bJx，Д（τ*, 0, Γ*,1） =bJx，Д（τ*, Γ*,0, Γ*,1） ，sobJx，Д（τ，0，Γ）*,1) ≤bJx，Д（τ，Γ）*,0, Γ*,1) ≤bJx，Д（τ*, Γ*,0, Γ*,1） =bJx，Д（τ*, 0, Γ*,1） 对于τ∈ T，其中第一个不等式来自（34），第二个不等式来自（τ*, Γ*,0, Γ*,1） 贝因加-纳什均衡。这就完成了证明。4.

调整后的信念和纳什均衡如果agent形式的博弈中存在均衡，那么两个参与者都能够计算它，因为他们都知道停止时间τ*以及不断增加的过程Γ*,0和Γ*,1用于生成γ的*θ（本文不考虑平衡点的唯一性问题）。给定生成过程Γ*,0和Γ*,1，未知玩家计算我们所指的调整后的后验概率∏*t： =P（θ=1FXt，γ*θ> t），t≥ 因此，虽然后验概率∏仅基于对样本路径x的观察，但调整后的后验概率也考虑了informedplayer的假设策略。利用条件期望的性质，我们可以写出（37）π*t=P（θ=1，γ*θ> t型FXt）P（γ*θ> t型FXt）=P（γ*> t型FXt，θ=1）P（θ=1FXt）P（γ*θ> t型FXt）=（1- Γ*,1t）∏tP（γ*θ> t型FXt），具有不完全和不对称信息的DYNKIN对策13，其中最后一个等式是使用与命题3.1证明中使用的参数相同的参数获得的。同样，对于分母，我们有p（γ*θ> t型FXt）=P（γ*> t型FXt，θ=0）P（θ=0FXt）+P（γ*> t型FXt，θ=1）P（θ=1FXt）（38）=（1- Γ*,0吨）（1- ∏t）+（1- Γ*,1t）∏t。组合（37）–（38）得出∏*t=（1- Γ*,1t）Φt1- Γ*,0t+（1- Γ*,1t）Φt，（39），然后很容易看到调整后的后验概率满足Φ*t： =π*t1级- Π*t=Φt1- Γ*,1t1- Γ*,0吨，吨≥ 0。（40）因此Φ*这是调整后的后验概率的似然比，或调整后的似然比。有一个微妙的点，对它的理解是下面定理5.1证明的关键。在构建代理形式博弈中的纳什均衡时，我们尤其需要验证条件（30）和（31）；所以问题就出现了，τ是什么*应取决于。

首先，我们重新调用该进程∈ 玩家1无法观察到θ，因为这两个玩家没有交流（他们只看到对手在某个点停下）。因此，如果游戏者2玩一个非平衡空气（Γ，Γ），停止时间τ*不受此（次优）选择的影响。然而，两位选手都知道平衡对（τ*, Γ*). 因此，玩家1选择τ*最多可能取决于（也将取决于）与Γ相关的调整信念过程*. 也就是说，我们应该期望τ*是进程路径的停止时间（X，Φ*). 因此，我们自然而然地会考虑开放式策略中的均衡。5、验证结果在本节中，我们提供了一个验证结果（定理5.1），该结果从PDE理论的角度解决了代理形式博弈中存在纳什均衡的问题（即，相当于事前博弈的鞍点）。特别是，我们证明了一个三重函数（u，u，u），其中u：=u+^1uthat解出了一个合适的拟变分不等式，为博弈提供了平衡报酬，如（30）、（31）和（32）所示。这是通过从候选函数（u，u，u）中识别纳什均衡来实现的。拟变分不等式的公式将我们问题的概率公式与偏微分方程理论联系起来，并将在下一节中用于构建具有线性支付函数的特定示例的完整解，∞loc（I×（0+∞)) L中常见的Sobolev函数空间∞其一阶和二阶导数也是L中的函数∞loc（还记得，通过Sobolev嵌入W2，让CKbe是紧K上的C函数的空间，∞loc公司 对于任何压缩K，[2，第4.12节]）。

下面，对于i=0，1，用与度量Pi下的动力学of（X，Φ）相关的二阶微分算子表示，isL：=ω（x）ДИИ+σ（x）xx+2（σω）（x）Дx^1+ u（x）x、 L：=ω（x）ДИИ+σ（x）xx+2（σω）（x）Дx^1+ u（x）x+ω（x）Дφ.在下一个定理中，我们将使用以下停止时间的局部化序列：对于C函数h，letI（h）t：=Ztσ（Xs）(xh）（Xs，Φ*s-) + ω（Xs）Φ*s-(Дh）（Xs，Φ*s-)ds、14 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERwithΦ*如（40）所示，我们设置τn（h）：=inf{t≥ 0:I（h）t≥ n}∧ n、 （41）在说明定理之前，我们还注意到 I×（0+∞), 它的闭包应该相对于I×（0+∞), 在这个意义上，U不包括状态空间的边界，即U∩ （I×（0+∞)) = .定理5.1（拟变分不等式）。假设2.1成立。设u，u，u:I×（0+∞) → [0, ∞) 是连续函数，u：=u+Дu。表示c：={（x，Д）∈ I×（0+∞) : u（x，Д）>（1+Д）f（x）}，Ci：{（x，Д）∈ I×（0+∞) : ui（x，ν）<g（x）}，S：=（I×（0+∞)) \\ C、 Si：=（I×（0+∞)) \\ Cifor i=0，1。对于i=0，1，假设u∈ W2，∞loc（C∩ C）∩ C（C∩ C）∩ C（C∩ C∩ C） ，和ui∈ C（C∩ C∩ C） （u，u，u）解拟变分不等式max{Lu（x，Д），（1+Д）f（x）- u（x，ν）}=0，a.e。

（x，Д）∈ C∩ C、 （42）Liui（x，Д）=0，对于所有（x，Д）∈ C∩ C∩ 对于i=0，1，（43），在附加条件ui下为C≤ g表示i=0，1和ui（x，Д）=f（x），表示（x，Д）∈ S、 （44）uiИ（x，Д）=0，对于（x，Д）∈ S∪ S、 （45）还假设存在Γ*∈ Aθ，带Pi（Γ*,0t<1）=1和Pi（Γ）*,1t<1）=1，对于所有t≥ 0和i=0，1，这样，回顾（40），我们有：Pand P-a.s。，Γ*,0吨·Γ*,1t=0，对于所有t≥ 0，（46）（Xt，Φ*t）∈ C∩ C、 对于所有t≥ 0,(47)对于i=0、1和所有t≥ 0，dΓi，*t=1{（Xt，Φ*t型-)∈Si}dΓi，*tandRΦ*tΦ*t型-{（Xt，z）/∈Si}dz=0。（48）此外，假设τ*:= inf{t≥ 0：（Xt，Φ）*t）/∈ C} 是有限的P-a.s.，横向条件→+∞Eix，^1{τ*>τn}ui（Xτn，Φ*τn）= 0，i=0，1，（49）保持τn=τn（ui）和τn=τn（u），如（41）所示，并保持所有（x，Д）∈ I×（0+∞).然后，让我*θ∈ Aθ是由Γ生成的随机停止时间*, 我们有（τ*, γ*θ） 在代理形式博弈中形成纳什均衡（即事前博弈中的鞍点）。因此，事前博弈中存在一个值v，代理人形式博弈中的均衡收益由v=u（x，Д）=bJx，Д（τ）给出*, γ*θ） 和ui（x，Д）=Jix，Д（τ*, γ*θ） ，对于i=0，1。（50）证明。我们首先观察到，在我们的假设下，停止时间τn（ui）、i=0、1和τn（u）是这样的：τn（ui）、τn（u）→ ∞ 作为n→ ∞, Pand P-a.s.（为了这个结果，我们需要Γ*,所有t的it<1≥ 0).信息不完全不对称的DYNKIN对策15τ的最优性*. Letτ∈ T用{τn}表示∞n=1停车时间的定位顺序τn=τn（u）。

如果u在整个空间中连续两次可微，则使用该Lu≤ 0一次∩ C、 应用It^o公式，然后取期望值，将给出φh（1- Γ*,0τ∧τn）u（Xτ∧τn，Φ*τ∧τn）i≤ u（x，Д）- Ex，^1Zτ∧τnu（Xt，Φ*t型-)dΓ*,0，ct（51）+Ex，ДZτ∧τnuИ（Xt，Φ*t型-)Φ*t型-dΓ*,0，ct- ΦtdΓ*,1，ct+Ex，ДhXt≤τ∧τn(1 - Γ*,0t）u（Xt，Φ*t）- (1 - Γ*,0吨-)u（Xt，Φ*t型-)i、 其中Γ*,i、 cdenotesΓ的连续部分*,i、 i=0，1。使用一个缓和的论点（参见，例如，[19，Thm.4.1，Ch.VIII]），在注意到（X，Φ*) 仅接受C中的值∩ Cas per（47）。由于u（x，Д）=u（x，Д）+u（x，Д）+u（x，Д）和回顾（48），我们发现（45）意味着u（Xt，Φ*t型-)Φ*t型-dΓ*,0，ct- ΦtdΓ*,1，ct（52）=u（Xt，Φ*t型-)Φ*t型-dΓ*,0，ct- g（Xt）ΦtdΓ*,1，ct。然后，将与递增过程的连续部分相关的积分组合为一个指数，νhZτ∧τnuИ（Xt，Φ*t型-)Φ*t型-dΓ*,0，ct- ΦtdΓ*,1，ct-Zτ∧τnu（Xt，Φ*t型-)dΓ*,0，cti（53）=-Ex，ДhZτ∧τng（Xt）（dΓ*,0，ct+ΦtdΓ*,接下来，我们计算跳跃和回忆的贡献（46）。关于事件{Γ*,0t>0}我们有，回顾（45）和（48），u（Xt，Φ*t） =u（Xt，Φ*t型-) = g（Xt）u（Xt，Φ*t） =u（Xt，Φ*t型-).因此，使用（40）和Γ*,1t=0，我们得到（1- Γ*,0t）u（Xt，Φ*t）- (1 - Γ*,0吨-)u（Xt，Φ*t型-)(54)= (1 - Γ*,0吨）g（Xt）+Φ*tu（Xt，Φ*t）- (1 - Γ*,0吨-)g（Xt）+Φ*t型-u（Xt，Φ*t型-)= -Γ*,0tg（Xt）。同样，在事件上{Γ*,1t>0}我们有（55）（1- Γ*,0吨）u（Xt，Φ*t）- u（Xt，Φ*t型-)= -Γ*,1tΦtg（Xt）。通过组合（51），（53），（54）和（55），我们得到（56）Ex，Дh（1- Γ*,0τ∧τn）u（Xτ∧τn，Φ*τ∧τn）i≤ u（x，Д）- Ex，^1Zτ∧τng（Xt）（dΓ*,0t+ΦtdΓ*,1吨）,我们注意到，关于递增过程的积分现在也包括跳跃部分。

重新排列术语并使用该u（x，Д）≥ （x，Д）的（1+Д）f（x）∈ C∩ Cwe get（57）u（x，Д）≥ Ex，Дh（1- Γ*,0τ∧τn）f（Xτ∧τn）（1+Φ*τ∧τn）+Zτ∧τng（Xt）（dΓ*,0t+ΦtdΓ*,1t）i.16 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERPassing to the limit as n→ ∞ 使用Fatou引理givesu（x，ν）≥ supτ∈TbJx，Д（τ，γ*θ).为了得到逆不等式，我们用τ重复上述步骤*∧ τn代替τ，其中τn=τn（u），如（41）所示。在这种情况下，我们可以使用标准It^o公式，因为u∈ C（C∩ C∩ C） 和（Xt∧τ*, Φ*t型∧τ*)t型≥0一定会在C中发展∩ C∩ C、 那么（51）中的不等式是一个等式，所以（56）变为（x，Д）=Ex，Д“（1-Γ*,0τ*∧τn）u（Xτ*∧τn，Φ*τ*∧n） +Zτ*∧τng（Xt）（dΓ*,0t+ΦtdΓ*,1t）#=Ex，Дh（1- Γ*,0τ*)f（Xτ*)(1 + Φ*τ*)1{τ*≤τn}+（1- Γ*,0τn）u（Xτn，Φ*τn）1{τn<τ*}i+Ex，Д“Zτ*∧τng（Xt）（dΓ*,0t+ΦtdΓ*,1t）#，其中我们使用了u（Xτ*, Φ*τ*) = f（Xτ*)(1 + Φ*τ*). 从u（x，Д）=u（x，Д）+Дu（x，Д）和（49）我们得到limn→+∞Ex，^1(1 - Γ*,0τn）u（Xτn，Φ*τn）1{τn<τ*}= 0，在回顾测量变更时（23）。所以使用单调收敛，我们把极限取为n→ ∞得出U（x，ν）=supτ的结论∈TbJx，Д（τ，γ*θ） =bJx，Д（τ*, γ*θ).Γ的最优性*. 拾取Γ∈ Aθ，注意（Xt∧τ*, Φ*t型∧τ*)t型≥0∈ C∩ C∩ C、 自ui∈C（C∩ C∩ C） 对于i=0，1，我们可以将标准It^o公式应用于ui（X，Φ*) 在C上使用Liui=0∩ C∩ C、 这给了SEIX，^1(1 - Γiτ*∧τn）ui（Xτ*∧τn，Φ*τ*∧τn）= ui（x，Д）- Eix，Д“Zτ*∧τnui（Xt，Φ*t型-)dΓi，ct#（58）+Eix，Д“Zτ*∧τn1- Γit-1.- Γ*,0吨-uiИ（Xt，Φ*t型-)(Φ*t型-dΓ*,0，ct- ΦtdΓ*,1，ct）#+Eix，ДhXt≤τ*∧τn(1 - Γit）ui（Xt，Φ*t）- (1 - Γit-)ui（Xt，Φ*t型-)i、 其中{τn}∞n=1是停止时间τn=τn（ui）的本地化顺序。忆及在t 7的支持下，uiД=0→ dΓ0，*tand t 7→ dΓ1，*t（参见。

（45）和（48））我们立即看到Eix，Д“Zτ*∧τn1- Γit-1.- Γ*,0吨-uiИ（Xt，Φ*t型-)(Φ*t型-dΓ*,0，ct- ΦtdΓ*,1，ct）#=0。（59）此外，（48）guaranteesui（Xt，Φ*t）- ui（Xt，Φ*t型-) = 0，Pix，Д-a.s.DYNKIN不完全和不对称信息博弈17，通过简单的加减（1- Γit-)ui（Xt，Φ*t） 在（58）中的跳跃总和中，我们得到了eix，νhXt≤τ*∧τn(1 - Γit）ui（Xt，Φ*t）- (1 - Γit-)ui（Xt，Φ*t型-)i（60）=-Eix，^1hXt≤τ*∧τnui（Xt，Φ*t）Γiti≥ -Eix，^1hXt≤τ*∧τng（Xt）Γiti，最终不等式使用该ui≤ g接C∩ C1类-i、 接下来，在（58）中插入（59）和（60），并再次使用该ui≤ g接C∩ C1类-i、 我们在九点钟到达(1 - Γiτ*∧τn）ui（Xτ*∧τn，Φ*τ*∧τn）≥ ui（x，Д）- Eix，Д“Zτ*∧τng（Xt）dΓit#，（61），其中积分现在包括递增过程的连续部分和跳跃部分。使用（44）我们可以看到thatui（x，ν）≤ Eix，^1(1 - Γiτ*)f（Xτ*)1{τ*≤τn}+ Eix，^1(1 - Γiτn）ui（Xτn，Φ*τn）1{τn<τ*}+ Eix，Д“Zτ*∧τng（Xt）dΓit#。作为n传递到极限→ ∞, 利用横截性条件（49），单调收敛和（23），我们得到了（x，ν）≤ Eix，Д“（1- Γiτ*)f（Xτ*) +Zτ*g（Xt）dΓit#。因此，ui（x，Д）≤ infΓ∈AθJix，Д（τ*, γθ），对于i=0，1。取Γ=Γ得到反向不等式*在上面的证明中，注意到（60）和（61）中的不等式变为等式。因此，我们得到ui（x，ν）=infΓ∈AθJix，Д（τ*, γθ）=Jix，Д（τ）*, γ*θ） ，对于i=0，1，这完成了证明。备注5.2。假设u∈ C（C∩ C∩ C） 在定理的一般性中需要，因为（X，Φ）定律是先验的*) 可能在畴的边界上有原子，即（C）∩ C∩ C） 。然而，在实际例子中，C的几何学是已知的∩ 圆锥可能会排除这种原子的存在，这个假设可能会放宽到u∈ C（C∩ C∩ C） 有界二阶导数。备注5.3。

假设Pi（Γ*,0t<1）=1和Pi（Γ）*,1t<1）=1表示所有t≥ 0有助于证明中随机积分的局部化，并避免过程Φ*到达其状态空间的端点（未正确定义u和ui）。在那些玩家2不想在任何时候充分展示自己的信息优势，而是希望逐步发布信息是最佳选择的游戏中，它也有一种自然的解释（如第6节所述）。实际上，如果例如Pi（Γ*,0t=1）>对于某些t≥ 0，则在时间t显示所有ω的全部信息∈ {Γ*,0t=1}。18 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer Glover图1。（x，Д）-平面中不同区域的示意图。控件Γ*,I的构造使过程（X，Φ*) 反映在（C）∩ C∩ C） 。注意，根据C的几何结构∩C∩C、 该过程可能是不连续的。工艺反射示意图（X，Φ*), 见图1。我们不知道任何标准的偏微分方程结果可以保证上述拟变分不等式的可解性。然而，（42）–（43）的结构类似于非零和Dynkin对策的拟变分不等式的结构（参见，例如，[5]和最近的[11]），正如我们从命题3.6和备注3.7中所期望的那样。因此，人们可能希望，根据文献中的观点，可以找到解决方案的普遍存在性。我们将在下一节中说明，定理5.1中的假设适用于线性支付结构的示例。6、一个线性支付的例子在本节中，我们研究了一个例子，其中基本微分是几何布朗运动，而支付函数是线性的。

希望我们在这个具体例子中的分析可以用于指导未来关于更一般的最优停止博弈和我们在第5节中推导的拟变分不等式的可解性的工作。为了描述示例，letdXt=uXtdt+σXtdWt，其中u=u（1- θ） +uθ和（少量滥用符号）u和u现在是常数满足u<u。在这种情况下，信噪比ω=（u- u）/σ也是一个常数。此外，letf（x）=x和g（x）=（1+)x、 （62）其中 > 给定一个随机停止对（τ，γθ）∈ T×TθR，具有不对称信息的停止博弈有一个payoff R（τ，γθ）=Xτ{τ<γθ}+（1+)Xγθ{τ≥γθ}，具有不完全和不对称信息的DYNKIN对策19，我们还记得在Pwe下dXt=uXtdt+σXtdWt，dΦt=ωΦtdWt，在Pwe以下dXt=uXtdt+σXtdWt，dΦt=ωΦtdt+ωΦtdWt。备注6.1。显然，情况u=u对玩家2有利，而情况u=u将是玩家1的首选。此外，如果u<u<0，则inf播放器（播放器2）将永远不会停止，而如果0<u<u，则sup播放器（播放器1）将永远不会停止。鉴于上述评论，在本节的其余部分，我们作出以下长期假设。假设6.2。我们有u<0<u。我们示例的线性结构的一个关键优点是，我们可以有效地将问题简化为一个状态变量，从而简化其余的分析。特别是，我们将在下面看到Φ是优化中唯一相关的动态。对于i=0，1个letePibe由depidi定义FXt=exp-σt+σWit,（63）注意fwit=-σt+Witis-aePi布朗运动。