信息不完全不对称的Dynkin对策

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英文标题：
《Dynkin games with incomplete and asymmetric information》
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作者：
Tiziano De Angelis, Erik Ekstr\\\"om and Kristoffer Glover
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We study the value and the optimal strategies for a two-player zero-sum optimal stopping game with incomplete and asymmetric information. In our Bayesian set-up, the drift of the underlying diffusion process is unknown to one player (incomplete information feature), but known to the other one (asymmetric information feature). We formulate the problem and reduce it to a fully Markovian setup where the uninformed player optimises over stopping times and the informed one uses randomised stopping times in order to hide their informational advantage. Then we provide a general verification result which allows us to find the value of the game and players\' optimal strategies by solving suitable quasi-variational inequalities with some non-standard constraints. Finally, we study an example with linear payoffs, in which an explicit solution of the corresponding quasi-variational inequalities can be obtained.
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中文摘要：
研究了一类具有不完全和不对称信息的两人零和最优停止博弈的价值和最优策略。在我们的贝叶斯模型中，一方不知道潜在扩散过程的漂移（不完全信息特征），但另一方知道（不对称信息特征）。我们对问题进行了阐述，并将其简化为一个完全马尔可夫的设置，在这个设置中，不知情的玩家优化停车时间，知情的玩家使用随机停车时间，以隐藏其信息优势。然后，我们给出了一个通用的验证结果，该结果允许我们通过求解具有一些非标准约束的合适的拟变分不等式来找到博弈的值和参与者的最优策略。最后，我们研究了一个具有线性收益的例子，在这个例子中，可以得到相应的拟变分不等式的显式解。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：Dynkin 不对称 inequalities Optimization Verification

具有不完全和不对称信息的DYNKIN游戏Tiziano DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERAbstract。研究了一类具有不完全和不对称信息的两人零和最优停止博弈的价值和最优策略。在我们的贝叶斯模型中，一方不知道潜在差异过程的漂移（不完全信息特征），但另一方知道（不对称信息特征）。我们对问题进行了阐述，并将其简化为完全马尔科夫式的设置，在这种设置中，不知情的玩家会优化停止时间，而知情者会使用随机停止时间来隐藏他们的信息优势。然后，我们提供了一个通用的验证结果，该结果允许我们通过求解具有一些非标准约束的合适的拟变分不等式来发现游戏的价值和玩家的最优策略。最后，我们研究了一个具有线性payoff的例子，其中相应的拟变分不等式可以得到显式解。1、导言本文的主要目的是设计方法，证明具有不完全和不对称信息的两人Dynkin对策的最优策略的值和存在性。游戏的基本过程是一维线性差异X。两个玩家都观察X的路径，而玩家2（知情玩家）确切地知道该过程的漂移和差异。

玩家1（不知情的玩家）的信息不完整，她无法直接观察到X的漂移系数，但它有一个先验分布，可以通过连续观察过程来改进其初始估计。至关重要的是，单方面缺乏信息会在游戏中引入不对称，因为与知情的玩家相反，不知情的玩家无法计算游戏的真实预期收益（对于每个给定的停止规则）。与关于不对称信息博弈的文献一致，知情玩家必须使用随机停止策略，以最大限度地发挥其信息优势。随机化允许知情的玩家以一种战略性的方式披露信息，使不知情的玩家以某种可取的方式行事。粗略地说，我们可以说，它允许知情的球员以最佳方式“隐藏”穿制服球员的真实漂移。相反，不知情的玩家无法通过使用随机化（见备注2.7）来提高自己的表现，因此将仅仅依赖于X生成的过滤的停止时间。本文的主要贡献是：（i）我们给出了问题的明确马尔可夫公式，并展示了其与游戏的临时版本（也称为代理形式游戏）的等价性，即。，奇异控制和最优停止的三人非零和博弈（第3节）；游戏是非标准的，因为玩家1无法观察到单数控件（由玩家2玩）；（ii）在前一项的基础上，我们制定了一个验证定理，允许美国日期：2020年7月15日。2000年数学学科分类。初级91G10；辅助60G40。关键词和短语。Dynkin游戏；信息不对称；随机策略；纳什均衡；奇异控制；拟变分不等式。确认：T。

De Angelis得到了EPSRC拨款EP/R021201/1和Knutand Alice Wallenberg基金会E.Ekstrom的支持。这项工作的一部分是在T.De Angelis和K.Glover访问乌普萨拉大学和E.Ekstrom访问利兹大学的研究周“停止对歧义厌恶玩家的游戏”期间进行的。我们感谢GS Magnuson基金会、利兹大学数学学院和theHeilbronn研究所资助这些访问。2 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERto为原始（事前）具有不完整和不对称信息的游戏构建最优策略（第5节）；验证结果（定理5.1）由一组非标准约束的拟变分不等式表示；似乎这种约束区域具有信息不对称设置的特点；（iii）使用拟变分不等式方法，我们明确解决了（直至数值寻根）一个具有线性支付的游戏版本（第6节）；该示例说明了第4节中介绍的反映调整后的似然比如何以最佳方式实现信息的战略性使用。据我们所知，上述三项在不同的随机动力学背景下都是新的。特别是，我们想强调的是，关于具有连续时间动态和信息不对称的零和博弈的大多数论文都集中在博弈的avalue的存在上，而对于知情者和非知情者而言，最优策略的构建大多被忽视了（我们将在下文的文献综述中详细阐述这一点）。在这个意义上，我们脱离了现有的文献，提出了一种可行的方法来描述参与者的最优策略。

此外，我们还证明了这种最优策略在代理形式的博弈（博弈的临时版本）中形成了纳什均衡。正如我们的分析所证明的那样，知情的参与者根据一种广义的强度停止，这种强度的规定方式是，调整后的似然比过程沿着某一边界进行反射。相反，未被告知的玩家会在这个被反射到另一个边界的过程中的击球时间停止。因此，我们证明了调整后似然比的反映在具有不对称信息的Dynkin博弈中起着至关重要的作用。1.1. 动机和文献综述。Dynkin游戏最初是在[14]中作为最佳停止问题的agame变体引入的。他们在过去二十年中的受欢迎程度很大程度上取决于他们在融资方面的应用。事实上，许多金融合同都配备了退出策略，允许一方或多方提前放弃其义务，但要付出额外成本。这些嵌入在合同中的“退出期权”在数学金融文献中被称为“游戏期权”。2000年，Kifer[25]证明了博弈期权的无套利价格可以通过解一个相关的零和Dynkin博弈来找到。在完全信息情况下，博弈有鞍点的一般条件在[30]（鞅设置）和[16]（马尔可夫集）中推导，在两个博弈方都希望另一方首先停止（所谓的消耗战）的情况下。进一步的研究（见[28]、[37]）得出了一个值的存在，并且-一般零和Dynkin对策的最优策略。认识到信息在此类博弈应用中的重要性，最近的文献考虑了具有不对称信息结构的博弈。例如，在[29]中考虑了关于游戏时间范围的不对称信息，他得出结论，在那篇论文的背景下，你知道的越多，等待的时间越长。

格伦[23]研究了对称信息对游戏支付结构的影响；受早期研究（见[6]、[7]）的启发，有不对称信息的差异博弈以及无随机动态的明确示例，Gr¨un允许知情的玩家使用随机停止策略来操纵未知玩家的信念，她将博弈的价值描述为一个相关变分不等式的唯一粘性解（参见[21]，了解关于微分博弈的最新相关工作）。[22]中考虑了一个更一般的情况，即每个玩家都可以根据不同的过滤获得停止时间。在这种情况下，每个玩家都必须从另一个玩家的作为（或不作为）中了解世界的状态。同样，游戏价值的变量特征以类似于【23】的形式获得。文章【23】为知情玩家构建了最佳随机停车时间，而【22】为两个玩家在非分歧动态下提供了最佳随机策略。请注意，此处的“价值”概念（以及现有文献中关于不对称信息零和博弈的概念）与所谓的事前价值一致，即在知情的参与者获得具有不完全和不对称信息优势的信息丁金博弈之前。一旦知情的玩家实际获得了额外的信息，我们就获得了游戏的交互。在中间游戏中，最初的价值概念与未知情玩家在游戏关联代理形式下的预期均衡支付相一致（更多详情请参见备注3.5和3.7）。需要注意的是，【23】中的设置与我们的不同。

在[23]中，两位玩家都完全了解可观察的动力学，但在游戏中使用的支付函数的知识方面存在不对称。然而，在我们的问题中，两个参与者都知道所使用的支付函数，但对可观测动态漂移的认识存在不对称。因此，与我们的设置相反，在【23】中，没有从过程的观察中学习。同样值得注意的是，文献[23]中的变分问题（以及文献[22]中的变分问题）与我们的变分问题看起来非常不同：Gr¨un得到了一个变分不等式（与定理5.1中的耦合变分问题相反），它涉及三个“max max min”类型的嵌套障碍问题。这类变分问题的光滑解的存在性仍然是一个悬而未决的问题。在我们的变分问题和[23]中的变分问题之间显示出明确的联系似乎并不微不足道。然而，我们的方法允许我们通过证明关联拟变分不等式具有唯一的经典解来解决一个具有不同动力学的例子（见第6节）。在【15】一个Dynkin游戏中，研究了两名玩家对下垫过程的漂移有不同的信念。然而，在那篇文章中，信息是完全对称和完整的，双方都同意不同意。与【15】相比，在【23】和【22】中，设置不涉及学习，而在【23】和【22】中，球员只从对手的动作中学习，我们的球员面临着更复杂的双源学习情况。特别是，不知情的参与者通过持续观察过程本身和知情参与者的行动（或者更确切地说是缺乏行动，因为停止是唯一可能的行动）来了解潜在过程的漂移。由于学习是我们制定问题的关键因素，我们自然会利用有关随机过滤的文献。

该领域的早期贡献包括在序列分析中对统计问题的处理，例如参见[4]、[8]和[35]。在[31]中可以找到随机过滤的一般处理方法，在[26]和[27]中可以找到将此类技术应用于不完全信息投资问题的一些重要早期工作。最近在财务方面的贡献包括[3]、[10]、[33]和[38]（另见其中的参考文献）。对于不完全信息背景下的最优停止，早期参考文献为[13]，其处理了不完全信息对美式期权估价的影响；另见【20】和【18】。文[17]研究了漂移未知的最优解问题，文[32]研究了跳跃强度未知的最优解问题。文献[12]研究了一个具有对称和不完全信息的两人零和Dynkin博弈，得出了两人的最优策略。最后，经济学文献中的一篇相关论文是[9]，该论文考虑了在信息不太灵通的买家市场中进行交易的私人知情卖家的问题，以及资产类型（“好”或“坏”）的信息逐渐向他们披露的问题。在这种情况下，市场根据这些信息和卖方迄今为止拒绝的供应商的观察结果进行定位。与当前文件的一个关键区别是，买方（即市场）是非战略性的，因为市场对新信息的反应完全由基础过程的功能规定。1.2. 论文大纲。最后，我们对论文中的材料进行了概述。在第2节中，我们制定了一般Dynkin博弈，并介绍了知情玩家使用的随机停止时间类别。在第3节中，导出了学习动力学，并将博弈重新表述为停止和奇异控制的等价博弈。

在第4节中，我们解释了知情者的给定策略如何影响无知者的信念。接下来，第5节提供了基于拟变分不等式的验证结果。最后，第6节详细研究了一个线性支付的例子，第7节用数字说明了游戏的价值，基本情况下的一组参数为玩家使用的最佳策略提供了直觉。4 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer Glover 2。设置假设在概率空间上(Ohm, F、 P）我们有两个随机变量θ和U，以及一个相互独立的标准维纳过程W，使得P（θ=1）=π，P（θ=0）=1- π，其中π∈ （0，1）和U在[0，1]上均匀分布。我们考虑一个写在底层进程X上的非最优停止博弈，dynamicsdXt=（（1- θ） （可能无界）开放区间I上的u（Xt）+θu（Xt））dt+σ（Xt）dWt（1）。这里给出了u（·）、u（·）和σ（·）>0的Lipschitzcontinuous函数，使得X的状态空间在{θ=0}和{θ=1}两个事件上都是I。然后（1）承认了一个强解，为了避免进一步的技术性问题，我们假设I的边界点是不可能达到的。游戏由玩家1选择（随机）时间τ，玩家2选择（随机）时间γ，以及在τ∧ γ、 玩家1收到amount（τ，γ）：=f（Xτ）1{τ<γ}+g（Xγ）1{τ≥γ} 来自玩家2。这里的payoff函数f和g是满足g的两个给定函数≥ f≥ 参与者1（2）的目标是从一组允许的停止策略中选择τ（γ），以最大化（最小化）R（τ，γ）的期望值。下文将具体说明可接受的停止策略的概念。为避免进一步的技术复杂性，我们将假定支付功能的连续性。假设2.1。

支付函数f和g在I上是连续的。参与者是理性的，模型是常识，即两个参与者都知道涉及的函数f、g、u、u和σ。两个游戏者都观察过程X，但我们假设游戏者1不知道θ是0还是1（等效地，漂移是u还是u），而游戏者2知道。最初，玩家1唯一可用的信息是上面给出的θ的分布，而玩家2在游戏开始时已经知道θ的真实值（相反的情况可以类似地处理）。这种不对称性是通过让参与者1可用的信息由filtrationfxt的P-null集的增广给出的：=σ（Xs，0≤ s≤ t） ，而玩家2可用的信息是通过增加filtrationfx，θt：=σ（θ，Xs，0≤ s≤ t） 。当考虑信息不对称的游戏时，一个关键的方面是从更知情的玩家向不知情的玩家战略性地释放额外的知识。这是通过允许知情玩家（玩家2）的停止策略为随机停止时间进行数学建模的。先验地，未知情的玩家（玩家1）也可以使用随机停止时间，但事实证明，在我们的验证定理（定理5.1）及其在第6节中的应用中，她只需要考虑停止时间（另请参见备注2.7）。本文其余部分将使用以下符号。我们让FX=（FX）t≥0andFX，θ=（FX，θt）t≥0并表示T：{τ：τ是一个P-a.s.有限外汇停止时间}T：{τ：τ是外汇停止时间}a：={Γ：（ΓT）T≥0-FX是否自适应，a.s.右连续，非递减，带Γ0-= 0和Γ∞≤ 1} Aθ：={Γ：（Γt）t≥0-是FX，θ自适应和a.s。