具有短暂价格影响的超级复制的扩展限制

此外，很容易检查maxk=0，。。。，K | PN，ετN，εK- DNθNk |≤KXk=1EQNhPNτN，εk- PNτN，εk-1.FN，εk-1i（3.24）andmaxk=0，。。。，KτN，εk+λk/K1+λ- τN，εk≤ λ.因此，在事件{τN，εK=1}上，我们可以估计Skorohod距离（PN，ε，DN（1+λ）·。）≤ λ+KXk=1EQNhPNτN，εk- PNτN，εk-1.FN，εk-1i因此，通过对h和（3.11）的假设3.1，我们得到方程n[HN，ε，K]≤方程[h1+λ（DN）]（3.25）+LEQN“λ+KXk=1EQNhPNτN，εk- PNτN，εk-1.FN，εk-1i#≤方程[h1+λ（DN）]+L（λ+kHN，ε，Kk∞+ η） /日志N≤方程N【h1+λ（DN）】+O（log N），其中后一种估计是由简单边界hn，ε，K引起的≤ h（p）+Ld（PN，ε，p）≤ h（p）+LKε在{HN，ε，K>0}上。接下来，从（3.11），（3.24）和DN，pn一致有界于N的事实中，我们得到了eqnZ1+λ（ζDNt- σ） dt公司（3.26）=等式nKXk=1EQN（DNτN，εk）- （DNτN，εk-1)FN，εk-1.EQNhη+τN，εk- τN，εk-1.FN，εk-1i- σ（η+τN，εk- τN，εk-1)≤EQNKXk=1EQN（PNτN，εk）- （PNτN，εk-1)FN，εk-1.EQNhη+τN，εk- τN，εk-1.FN，εk-1i- σ（η+τN，εk- τN，εk-1)+ O（对数N）。利用引理3.7提供的估计（3.10）中的（3.25）和（3.26），可以得出bπN（HN，ε，K/（1- λ） ）不能大于（3.23）的右侧，因为N足够大。让ε↓ 上述表达式中的0将由以下紧密性结果变为可能：引理3.9。对于λ>0固定，任何序列Dm∈ D1/m，λ，m=1，2，包含一个子序列，对于某些连续鞅M=（Mt）0，该子序列的定律（Dm，R.ζDmsds | PDm）在D[0，1+λ]上转换为定律（M，hMi | PM）≤t型≤适当概率空间（OhmM、 FM、PM）。证据设Km，K（1/m，λ），如引理3.5所示，并用（θmk）K=0表示，。。。，K与Dmvia相关的时间（3.18）–（3.21）；让fur t hermore Pm，PDmdenote关联概率。对于任何m=1，2。

，我们用{Dmt}1+λt=0表示Dm的连续线性插值；观察时间θmK之后，这等于^Dmt，DmθmK+σWt-θmK，其中W是与FDmθmK无关的布朗运动。我们将验证这些过程的Kolmogorov紧度准则^Dm，m=1，2。以m为例∈ {1, 2, . . . } 和fix 0≤ t<t≤ 1 + λ. 定义随机时间ηi=Km∧ 最小{k∈ {0，…，Km}：θmk≥ ti}，i=1，2。离散时间过程{Dmθmk}k=0，。。。，Km是关于（θmk，Dmθmk）k=0，…，生成的过滤的鞅，。。。，Kmandη，η是该过滤的停止时间。因此，从伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不平等，EPmDmθmη- Dmθmη≤ O（1）EPmXj=η+1，。。。，η| Dmθmj- Dmθmj-1|!≤ O（米-4） EPm公司|η- η|（3.27）如果最后一个不等式从（3.19）开始，它确保dM的跳跃以2/m为界。接下来，由于两个后续跳跃之间的时间至少为λ/Km=O（1/m），dM的跳跃以2/m为界，我们得出线性插值过程的（随机）斜率的大小最多为O（m）。这加上两个后续跳跃之间的时间小于或等于λ/Km+1/myields |^Dmt的事实-^Dmt|≤^Dmt∧θmK-^Dmt∧θmK+ σWt公司∨θmK- Wt公司∨θmK≤ 1{t>t+1/m}Dmθmη- Dmθmη+ 2O（m）（t- t）∧λ/公里+1/米+ σWt公司∨θmK- Wt公司∨θmK. （3.28）再次使用两次后续跳跃之间的时间至少为λ/Km=O（1/m），我们得出，如果t>t+1/m，则η- η=O（m）（t- t） 。因此，from（3.27）–（3.28）和初等不等式（t- t）∧ （λ/公里+1/米）≤ O（1/m）√t型- t、 （z+z+z）≤ 81（z+z+z），我们获得EPmh | Dmt-^Dmt | i=O（（t- t） ）并紧随其后。根据普罗霍罗夫定理，我们得出结论，存在一个子序列（仍用m表示）和一个连续过程m=（Mt）0≤t型≤在适当的概率空间上收敛于某个连续过程M的1+λ(OhmM、 FM、PM）。

显式不等式sup0≤t型≤1+λ|^Dmt-Dmt |≤ 2/m Yields对于Dm也具有相同的收敛性。接下来，让我们来论证M是关于其自身过滤的鞅。固定m，let（Fmt）0≤t型≤1+λ是由dM生成的通常（连续且完全的）过滤，并考虑（RCLL）鞅Dmt=EPm【Dm1+λ| Fmt】，0≤ t型≤ 1 + λ.回想一下，两次后续跳跃之间的时间是从下面开始限定的。因此，Dmθmk=EPm[DmθmKm | Fθmk]=Dmθmk，k=0，1。。。，Km，（3.29），其中最后一个等式为（3.21）。根据（3.29）和估计值Maxk=1，。。。，Km | Dmθmk- Dmθmk-1| ≤ 2/mwe获得kDm- Dmk公司∞≤ 因此，鞅Dm，m=1，2，一致可积且弱收敛于M。根据[20]中的定理5.3，我们得出结论，M是（连续的）马氏体。现在，我们证明Dm，R·ζDMSD在法律上收敛到（M，hMi）。对于任意m=1，2，设martinga leDm的二次变化量用（[~Dm]t）0表示≤t型≤1+λ. 然后，文献[20]中的定理5.5给出了（~Dm，[~Dm]）到（M，h-Mi）的收敛定律。因此，为了完成证明，必须确定→∞EPm公司sup0≤t型≤1+λZtζDmsds- [Dm]t= 0。（3.30）为此，请注意伯克霍尔德-戴维斯-冈迪不平等EPM最大值=1，。。。，公里数[Dm]θmk- [Dm]θmk-1.≤KmXk=1EPm[Dm]θmk- [Dm]θmk-1.≤ O（1）KmXk=1EPm“supθmk-1.≤t型≤θmkDmt-Dmθmk-1.#≤ O（1）KmO（1/m）=O（1/m）。（3.31）接下来，观察（[°Dm]θmk-RθmkζDmsds）k=0，。。。，Km是鞅。因此，首先应用Doob–K-olmogorov不等式和Ito等距，最后得出结论（3.3 1）EPm“maxk=0，。。。，≤公里数[Dm]θmk-ZθmkζDmsds#≤ 4EPmKmXk=1[￠Dm]θmk- [Dm]θmk-1+Zθmkθmk-1 |ζDms | ds！≤ 8EPm“KmXk=1[Dm]θmk- [Dm]θmk-1.#+ 8KmkζDmk∞（λ/公里+1/米）=O（1/米）。

（3.32）最后，通过组合（3.20），（3.22）并应用（3.31）–（3.32）的Jensen不等式，我们得到了EPMsup0≤t型≤1+λZtζDmsds- [Dm]t=EPm“sup0≤t型≤θmKmZtζDmsds- [Dm]t#≤kζDmk∞（λ/公里+1/米）+EPm最大值=1，。。。，公里数[Dm]θmk- [Dm]θmk-1.+ EPm公司最大值=0，。。。，公里数ZθmkζDmsds- [Dm]θmk= O（1/m）和（3.30）如下。我们需要以下稳定性结果。引理3.10。让(Ohm, F，（Ft），P）是任意过滤概率空间，假设h满足假设3.1。然后函数f（z）=supME“zh（M）-zZ公司dhMitdt公司- zdt#，z=（z，z，z）∈ (0, ∞),其中上确界覆盖所有连续鞅M=（Mt）0≤t型≤1从M=p开始，h具有二次变化hMi，该hMi与有界密度完全连续。证据有必要对函数^F（z），F（z）+zz=supME“zh（M）的语句进行验证-zZ公司dhMitdt公司dt+2zzhMi#。（3.33）来自Doob–Kolmogorov不等式、Jensen不等式和估计h（p）≤ kp公司- 主键∞+ c表示c=c（1）（如Lemma3.5所定义）weobtainE“zh（M）- zZ公司dhMitdt公司dt+2zzhMi#≤ zc+（4z+2zz）EhMi- zE“ZdhMitdt公司dt公司#≤ zc+（4z+2zz）vuutE“ZdhMitdt公司dt公司#- zE“ZdhMitdt公司dt#。（3.34）另一方面，取M≡ pwe获得^F≥ 0（回想一下，h是非负的）。因此，在（3.33）的右侧，我们可以将t hesupremum限制为（3.34）的右侧大小为非负的鞅集。我们得出结论，对于一个b基集O R带infz∈Oz>0存在Θ=Θ（O），因此对于任何z∈ O我们有^F（z）=supME“zh（M）-zZ公司dhMitdt公司dt+2zzhMi#其中，在这个引理的公式中，上确界接管了连续鞅的MΘ类，该引理还满足e“ZdhMitdt公司dt公司#≤ Θ.特别地，我们得到了^F（z）<∞.

通过再次应用Doob–Kolmogorov不等式和Jensen不等式，可以得出任何z，~z∈O我们有| F（z）-^F（￠z）|≤ supM公司∈MΘE“zh（M）- zZ公司dhMitdt公司dt+2zzhMi#-E“~zh（M）- zZdhMitdt公司dt+2▄z▄zhMi▄！≤ |z- z |（c+4√Θ）+z- z | z+2 | zz- ~z▄z|√以及允许的连续性。我们现在已经准备好了完成上界证明所需的所有部分。固定λ>0。形式=1，2，选择Dm∈ D1/m，λ，对于ε=1/m，在上限（3.23）的1/m范围内。对于该序列，设mλ为连续鞅(Ohmλ、 Fλ，Pλ），如引理3.9所示。根据Skorohod的表示定理，我们可以找到Dm的副本，m=1，2，和Mλ（用相同的符号来减少符号wedenote），具有相同的各自分布，但在适当的概率空间上联合指定（Ohm, F，P），几乎可以肯定（Dm，R.ζDmsds）统一收敛到（Mλ，hMλi）为M↑ ∞. 从（3.19）我们得到了Mλ=和从（3.22）得到的二次变化hMλi是绝对连续的，波动过程dhmλitdt是有界的。现在，使用假设3.1所施加的h的规律性来总结imme[h1+λ（Dm）]=Eh1+λ（Mλ）由主导的趋同。此外，我们可以估计Z1+λζDmt- σdt公司≥ E“Z1+λdhMλitdt- σdt#。（3.35）事实上，观察到m>1/λ时ζdM是一致有界的（参见（3.22）），我们可以应用[9]中的引理A1.1来得到|ζm∈ conv（ζDm，ζDm+1，…），m=1，2，会聚P dt几乎无处不在到某个过程ζ。事实上，ζ=dhMλi/dt，因为受收敛控制。ζtdt=limmR。ζmtdt=limmR。ζDmtdt=hMλi。

因此，估计值（3.35）由ζ7的公度决定→ EhR1+λ（ζt- σ） dtiand Fatou引理。作为K（1/m，λ）→ ∞ 对于m↑ ∞, 现在从引理3.8得出，对于任何λ>0，lim supmlim supNbπN（HN，1/m，K（1/m，λ）/（1- λ))≤ E“h1+λ（Mλ）1- λ-bδ8σZ1+λdhMλitdt- σdt#=Eh（￠Mλ）1- λ-bδ8σ（1+λ）ZdhMλitdt- σ(1 + λ)!dt公司（3.36）式中，Mλ是由Mλt=Mλ（1+λ）t给出的鞅，0≤ t型≤ 通过应用引理3.10，我们可以看到λ↓ 0（3.36）中的期望值不能大于supMEh（米）-bδ8σRdhMitdt公司- σdt公司其中，上游接管所有连续集线器M=（Mt）0≤t型≤1参考Lemma3.10。利用文献[10]中引理7.2的随机优化技术，我们发现lim supλ↓0lim supmlim supNbπN（HN，1/m，K（1/m，λ）/（1- λ） ）由（3.3）右侧的上确界控制。考虑到引理3.5和引理3.6的估计值（3.4），这意味着x=0和ζ=0的情况下的期望上限（3.3）。对于x6=0或ζ>0的情况，我们需要确定lim supNπN（h（PN））≤ supν∈DEPW公司h（Pν）-rδ8σ（2- r） Z |νt- σ| dt- 二甲苯-ιx.（3.37）对于N步市场，我们使用第一个N1/3步以恒定的速度清算初始股数x。结果是，在N1/3步之后，投资组合值将为Px+ιx+O（N-1/6），扩展将以ζ+xδ为边界。股票数量为零。在接下来的N1/3步骤中，我们根本不交易，因此利差将变得有序(1 - r） N1/3. 观察任何δ>δ的情况，对于足够大的N，δz+O(1 - r） N1/3≤δz+（1- r） N1/4所有z≥ 从Lemma2.1中，我们得出结论，原始价格的limsupπN（h（PN））小于或等于超边缘价格的limsup，超边缘价格对应于市场深度δ>δ，相同的弹性r和初始位置▄x=▄ζ=0减去Px+φx。

因此，通过取￠δ↓ δ并应用（3.3）（用∧δ代替o fδ）和引理3.10，我们得到（3.37）。让我们不要忘记，我们应该申请（3.3）改变原始价格过程的时间。由于时间偏移的顺序为O（N1/3），且h是利普希兹连续的，因此原始支付h（PN）和修改后的支付h之间的差异为O（N1/3N-1/2）=O（N-1/6）在极限N内消失→ ∞.确认作者YD部分得到ISF第160/17号拨款的支持。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglbock、F.Penkner、W.Schachermayer和J.Temme，Doob的鞅不等式的轨迹解释，Ann。应用程序。概率。23, 1494–1505, (2013).[2] Aur\'elien Alfo nsi、Antje Fruth和Alexander Schied，《带一般形状函数的限价订单书中的最优执行策略》，QuantitativeFinance，10143–1 57，（2010）。[3] Peter Bank和Yan Dolinsky，《具有固定交易成本的超级复制》，《应用概率年鉴》，29739–757，（2019年）。[4] Peter Bank和Yan D olinsky，《具有瞬时价格影响的超复制的连续时间二元性》，载于《应用可能性年鉴》，arXiv:1808.09807，（2019）。[5] P.Bank和M.Vo ss，《具有交易价格影响的最优投资》，arXiv:1804.07392，（2018）。[6] P.Bank、Y.Dolinsky和S.G–okay，《具有非线性交易成本和波动不确定性的超级复制》，应用概率年鉴。，26,1698–1726, (2016).[7] P.Bank、Y.Dolinsky和A.P.Perkkio，《多元情况下具有小交易成本的超级复制价格的标度限制》，财务和随机。21, 487–508, (2017).[8] U.C,etin、R.Jarrow和P.Protter，《流动性风险和套利定价》，金融和Stoch。8, 311–341, (2004).[9] F.Delbaen和W.Schachermayer，《资产定价的基本原理》的一般版本，数学。安娜伦。

300, 463–520 , (1994).[10] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《具有摩擦、金融和随机性的二项市场的对偶性和协同收敛》。，17, 447–475, (2013).[11] H.F¨ollmer和D.Kra mkov，《约束下的可选分解》，概率论及相关领域。，109, 1– 25, (1997).[12] S.Gokay和H.M.Soner，C,e tin–Jarrow–Protter非经济市场流动性模型，数学金融22，2 50–276，（2012）。[13] 古尔·胡伯曼（Gur Huberman）和沃纳·斯坦兹尔（Werner Stanzl），《价格管理与准价格》，计量经济学，721247–1275，（2004年）。[14] S.Kusuoka，具有交易成本的期权复制成本的极限定理，Ann。应用程序。概率。5, 198–221, (199 5).[15] Anna A.Obizhaeva和Jiang Wang，《最优交易策略和供需动态》，金融市场杂志，16 1-32，（2013年）。[16] Silviu Predoiu、Gennady Shaikhet和Steven Shreve，《通用电子侧限额指令手册中的最佳电子执行》，暹罗金融数学杂志，21183–212。(2011). .[17] Alexandre Roch和H.Mete Soner，《交易价格影响与非流动性成本》，国际理论与应用金融杂志，16，（2003）。[18] H.M.Soner、S.E.Shreve和J.Cvitanic，没有用于期权定价的非琐事投资组合，包括交易成本、应用问题年鉴、。，5, 327–355, (1995).[19] H.Strasser，《统计数学理论》，德格鲁伊特数学研究院第7卷，沃尔特·德格鲁伊特公司，柏林，1985年，《统计实验与渐近决策理论》。[20] W.Whitt，《马丁格尔FCLT的证明》，概率调查。，4, 268–302, (20 07).