具有短暂价格影响的超级复制的扩展限制

对于任何ν∈ D、 有一系列的概率度量(Ohm, FN）和（FN）n=0，。。。，N-可预测过程αN=（αNn）N=1，。。。，N、 N=1，2，对于一些与N无关的常数C>0，我们有1|αNn |≤ C、 |αNn- αNn-1| ≤ C类/√N、 N=1，N2、MN、P、MNn、PNn/N+αNnξN/√N、 N=1，N、 是QN鞅；3、法律（PN[Nt]，αN[Nt]）0≤t型≤1.QN公司→ 法律（Pνt，（νt- σ)/(2σ))0≤t型≤1.PW公司弱粒子D[0，1]作为N↑ ∞.证据根据此处考虑的加法设置进行调整后，这完全遵循了Kusuoka在【14】中提出的乘法几何随机行走设置的原始方法。根据上述近似结果和流动性成本（2.4）、（2.5）的表示，我们现在可以证明（3.2）。实际上，取前面引理中的qnandαNas并观察到，对于任何N周期策略X=（Xn）N=0，。。。，nxn=0时，我们可以估计-方程“NXm=1PN（m-1） /N（Xm- Xm公司-1)#= -方程“NXm=1（PN（m-1） /不适用- MNN）（Xm- Xm公司-1） +MNN（XN- x） #=-方程“NXm=1（PN（m-1） /不适用- MNm公司-1） （Xm- Xm公司-1） \\+MNx≤ 方程“NXm=1 |αNm-1|√N | Xm- Xm公司-1 |#+MNx=EQN“NXm=1 |αNm-1|√NδζXm- (1 - r） ζXm-1.#+ px中，我们使用mn的鞅性质以及XN=0表示第二个恒等式，使用引理3.3中列出的αn的第二个性质表示估计值。因此，对于X∈ X，其中XN=0，在ξXN的意义下超级复制h（PN）≥ h（PN）我们可以估计h（PN）≤ EQNξXN= ξ- 方程“NXm=1PN（m-1） /N（Xm- Xm公司-1） +ι（XN- x） +κXN#≤ ξ+Px+ιx++ΔαN√Nζ-（ζ） +δEQN“X1≤m<N|αNm-1|√N- (1 - r） |αm|√NζXm-1.- (1 - r） （ζXm）#+δEQNαNN-1.√NζXN-（ζXN）.使用估计值aζ-cζ≤ a/（2c）在最后三行中的每一行和排列项产生ξ+Px+ιx+δ（αN）2N+δEQN（αNN-1） 2N个≥ EQNh（PN）- δEQN“X1≤m<N（|αNm-1| - (1 - r） |αm |）2（1- (1 - r） ）N#≥ EQNh（PN）-δ2(1 - (1 - r） ）EQN“NX1≤m<N（r |αNm-1 |+C/√N） #其中，在上一次估计中，我们使用了引理3.3中αnf的第一个性质。同样的性质也得到了αN，N=1，2，，的一致有界性。

. . ,因此，在引理3.3中列出的第三个性质，结合h上的正则性假设3.1，允许我们传递到极限N↑ ∞ 在上述估计中，得出LIM infNπN（h（PN））+Px+ιx的结论≥ EPW【h（Pν）】-δ2(1 - (1 - r） ）EPW“Zrνs- σ2σds#=EPWh（Pν）-δr8（2- r） σZνs- σds公司.这将产生所需的下限（3.2）。3.2上界证明我们将首先证明情形x=ζ=0的上界，并最终将一般情形简化为该情形。对于上界supNπN（h（PN））≤supν∈DEPW公司h（Pν）-rδ8σ（2- r） Z |νt- σ| dt（3.3）我们首先注意到，具有暂时影响的超级复制价格由具有纯粹暂时影响的合适模型中的超级复制价格主导，如[8]：引理3.4所示。对于任何N=1，2，我们有πN（h（PN））≤ bπN（h（PN）），其中bπN（h（PN））是具有完全弹性br，1和市场深度thbδ，rδ/（2）的模型中的超级复制价格- r） 。证据考虑（2.4）中的成本项κxnf，并观察ζ=0时，（1- r） nXm=1ζXm-1 | Xm- Xm公司-1|=1 - rδnXm=1X1≤l<m（1- r） m级-1.-l | Xl- Xl码-1 | | Xm- Xm公司-1|≤1.- rδnXm=1X1≤l<m（1- r） m级-1.-l（| Xl- Xl码-1 |+| Xm- Xm公司-1|)=1 - rδnXm=1m-1Xl=1（1- r） m级-1.-l+n-1Xl=m（1- r） l-m|Xm公司- Xm公司-1|≤1.- rδnXm=1∞Xk=0（1- r） k|Xm公司- Xm公司-1|=1 - rδrnXm=1 | Xm- Xm公司-1|.因此，原始模型中的成本项κXn可以通过κXn来估计≤1.- rδr+2δnXm=1 | Xm- Xm公司-1 |=bκxn其中bκXis是完全弹性模型的成本项，br=1，深度δ=rδ/（2）- r） 。这个辅助模型中的成本更高，任何索赔的超级复制都不能比原始模型中的成本低，我们得到了我们的断言。对于（3.3），因此有必要证明supNbπN（h（PN））≤ supν∈深度“h（Pν）-bδ8σZ |νt- σ| dt#。对于这种渐近分析，我们将使用价格过程的一系列时空离散化。具体地说，我们假设f或一个yε>0，划分序列τN，ε=（τN，εk）k=0,1，。。。，N=1，2。

，由τN，ε，0和τN，εk，infnt给出≥ τN，εk-1： | PNt- PNτN，εk-1| ≥ ε或| t- τN，εk-1| ≥ εo∧ (1 - N-2/3）对于k=1，2。对于τN，ε，我们将PN的以下离散化关联起来：PN，εt，Xk=1,2，。。。PNτN，εk-1[τN，εk-1，τN，εk）（t）+PN1-N-2/3[1-N-2/3,1]（t），0≤ t型≤ 1、我们的下一个引理揭示，在我们对h的正则性假设下，N步模型中h（PN）的超复制价格由PNε上的部分二次索赔的超复制价格和适用于PNε的索赔h的敲除变体控制，只有在该基础不“太过”的情况下才会产生回报：引理3.5。设c=c（λ）>0，使得h（p）≤ λ（kp- 主键∞+ c） ，p∈ D[0，1]（o b表示c（λ）存在，因为假设3.1意味着h（p）在| | p中具有最大线性增长-p||∞). 然后，对于任何ε>0和λ∈ （0，1），常数K=K（ε，λ），[c/（ελ）]+1足够大，以确保对于足够大的N，我们有bπN（h（PN））≤ 3Lε+（1- λ） bπN（HN，ε，K/（1- λ） ）+λbπN（λQN，ε）（3.4），其中L是假设3.1中的Lipschitz常数，其中hn，ε，K，h（PN，ε）1{τN，εK=1-N-2/3}，（3.5）QN，ε，sup0≤t型≤1 | PN，εt- P |+Xk=1,2，。。。|PNτN，εk- PNτN，εk-1 |+|τN，εk- τN，εk-1|.证据根据L和PN、ε的定义以及h的规律性，可以得出，对于足够大的N，h（PN）≤ 3Lε+h（PN，ε）。（3.6）如上所述，对于K=K（ε，λ），我们有进一步的h（p）≤ λsup0≤t型≤1 | p（t）- p |+Kε, p∈ D【0，1】。（3.7）根据τN，εk，k=0，1，我们还得到了kε≤KXk=1|PNτN，εk- PNτN，εk-1 |+|τN，εk- τN，εk-1|onnτN，εK<1- N-o、 （3.8）组合（3.7）和（3.8）givesh（PN，ε）≤ HN，ε，K+λQN，ε。

（3.9）财富动态的凸性（2.3）意味着超级复制成本函数的凸性，因此（3.9）yieldsbπN（h（PN，ε））≤ (1 - λ） bπN（HN，ε，K/（1- λ） ）+λbπN（λQN，ε）。与（3.6）一起，这意味着（3.4）。我们的下一个引理表明λQN，ε的超级复制价格易于控制（至少对于小λ∈ （0，1）），因此其对（3.4）的贡献为λ↓ 0：引理3.6。存在λ>0，因此对于任何ε>0，λ∈ [0，λ]和n=1，2。我们有bπN（λQN，ε）≤ λ(1 + 36σ).证据设a，b，d，e>0，考虑初始资本ξ=a的投资组合策略和形式为n fr om[nτn，εk]的（可预测）交易策略-1] +1至【NτN，εk】，k=1，2，由xn=- b最大值=0，。。。，k-1.PNτN，εi- p+ b最大值0≤我≤k-1.p- PNτN，εi- dPNτN，εk-1.- p+ ePN（n-1） /不适用- p,对于n，从[n（1- N-2/3）]+1到N。为了估计到期日的相应投资组合价值，我们采用[1]中的命题2.1，p=2。我们注意到，对于p=2，这个命题对于任何实数序列都成立，包括负数。我们对k，±（PNτN，εk）应用此路径D oob不等式- p） ，k=1，2。此外，我们将使用基本标识yjxk=1yk（yk+1- yk）=yj+1- y-Pjk=1（yk+1- yk）yk=PNτN，εk-1.- pand也包括yk=PN（k-1） /不适用- p

根据众所周知的等式（z+z）≤ 2（z+z），（z+z+z+z+z）≤ 4（z+z+z+z+z），则结果为ξXN=a+NXn=1Xn（PNn/N- PN（n-1） /N））-bδNXn=1 | Xn- Xn公司-1|≥a+b最大值0≤t型≤1PN，εt- p- b | PN，ε- p |+bp- 最小0≤t型≤1PN，εt- b | PN，ε- p |+dXk=1,2|PNτN，εk- PNτN，εk-1|-d | PN，ε- p |+e | PN，ε- P|-eσ-bδeσ+（2b+d）Xk=1,2|PNτN，εk- PNτN，εk-1|!-bδ（2b+d+e）σ√N+最大值0≤t型≤1 | PN，εt- p|.这里，最后两行给出了与我们的交易策略相对应的交易成本（包括清算成本）的估计。因此ξXN≥一- σe+2ebδ+（2b+d+e）bδ+b-（2b+d+e）bδsup0≤t型≤1 | PN，εt- p |+e- 4b级- d | PN，ε- p|+d-4b+2dbδXk=1,2|PNτN，εk- PNτN，εk-1|.设b=8λ，d=4λ，e=4b+d=36λ，a=λ+eσ=λ（1+36σ）。对于足够小的λ，我们得到ξXN≥ λ+λsup0≤t型≤1 | PN，εt- P |+λXk=1,2|PNτN，εk- PNτN，εk-1|≥ λQN，ε，其结果如下。因此，上界的证明依赖于对如何超级复制权利要求HN，ε，K/（1）的理解- λ). 请注意，这些声明仅在固定的K个采样次数下依赖于其基础的值。这些说法证明了它们的超级复制价格有一个特别方便的二元性估计：引理3.7。设G是形式为G=G的索赔τN，εk，PNτN，εkk=0，。。。，K对于一些可测、有界、非负函数g=g（（tk，pk）k=0，。。。，K） 。然后，对于任何ε，η>0，我们可以找到足够大的N a概率qnon(Ohm, FN）（也取决于ε、η和g），以便过滤（FN、εk）k=0，。。。，k由（τN，εk，PN，ετN，εk）k=0，。。。，Kwe ha vebπN（G）≤ησbδ+方程[G]（3.10）-bδ8σ方程KXk=1EQN（PNτN，εk）- （PNτN，εk-1)FN，εk-1.EQNhη+τN，εk- τN，εk-1.FN，εk-1i- σ（η+τN，εk- τN，εk-1).此外，在QN下，（PNτN，εk）k=0，。。。，Kis在等式“KXk=1”中接近于鞅EQNhPNτN，εk- PNτN，εk-1.FN，εk-1i#≤ （千克）∞+ η） /日志N.（3.11）证明。固定ε>0和N∈ {1, 2, . . . }.

与其在X的所有战略中寻找成本效益的超级对冲，我们将考虑一个适当约束的类别。为此，用一类对表示（φk，ψk）k=1，。。。，Kof（FN，εk）k=0，。。。，K-可预测过程，使得|φK |，|ψK |≤ 对于k=1，…，lo g N，K、 每一对都会产生一个策略（X（φ，ψ）n）n=1，。。。，N∈ 我们可以在h[NτN，εk]上分段定义的X-in-theN-step模型-1] ，[NτN，εk]如果k=1，K如下：如果τN，εK-1< 1 - N-1/2，持续时间τN，εk- τN，εk-第k个周期至少为N1/2阶，因此我们可以细分间隔[NτN，εk-1] ，[NτN，εk]分为两部分。在长度n1/3的第一（短）子区间，我们以恒定速度交易到保持φk+ψkPNτN，εk的位置-1风险资产；在随后的周期n中，我们保持φk+ψkpn的位置，直到下一次迭代该配方时，停止时间[nτn，εk]+1，而不是k<k。如果τn，εk-1.≥ 1.- N-1/2或当我们完成第k次此类迭代时，我们通过在N1/3步骤中清算获得的位置并保持FL直到结束来完成策略的构建。让我们分析这一战略带来的收益和损失以及成本。为此，请注意，由于随机行走动力学（3.1），wehaveXl<m≤nPNm公司-1N（PNmN- PNm公司-1N）=（PNnN）- （PNlN）- σn- 自然对数.此外，请注意，Pn在[0，τN，εK]上一致有| p |+Kε+σ，因此，特别是X（φ，ψ）的大小为O（log N）。

因此，上述策略所产生的基本价值波动产生的收益和损失高达O级（对数N/N1/6）（考虑到长度N1/3的过渡期，当按照顺序1的步骤进行基本移动时，位置变化最多为对数N级/√N） 由Kxk=1φk给出PNτN，εk- PNτN，εk-1.（3.12）+KXk=1ψk（PNτN，εk）- （PNτN，εk-1)- σ（τN，εk- τN，εk-1).同时，允许位置上的对数界限确保成本a r ebκX（φ，ψ）N=bδKXk=1σψk（τN，εk- τN，εk-1） +O（对数N/N1/3）。（3.13）如果O（N1/3（对数N/N1/3））=O（对数N/N1/3）的O-term账户为每个时期的第一个N1/3步骤的gr adual头寸建立成本k=1，K和O（对数N/N1/3）的成本是从初始构建结束时的一个可能的跳跃中得出的，这最多是sizeO（N1/3log N/√N） =O（对数N/N1/6）；每个交易周期第二段的运行成本k=1，K由（3.13）中的总和反映。因此，对于足够大的N，我们将有bπN（G）≤ o（1）+eπN（G）（3.14），其中eπN（G）表示当限制到上述策略X（φ，ψ）时，权利要求G的超级复制价格，收益和损失由（3.12）给出，交易成本由（3.13）中的总和给出。观察（3.12）在φ中是线性的，并回顾约束|φ|≤log N，我们得到了具有凸约束策略集（cf。

[11] ，定理4.1与例2.3相关），对于任何固定ψ-分量，我们有eπN（G）≤ supQEQ“Gψ- 日志NKXk=1方程HPNτN，εk- PNτN，εk-1.FN，εk-1i#（3.15）当上确界接管所有措施集Q时(Ohm, FN）其中Gψ，G-KXk=1ψk（PNτN，εk）- （PNτN，εk-1)- σ（τN，εk- τN，εk-1)+bδKXk=1σψk（τN，εk- τN，εk-1） 表示当ψ-分量固定时，通过适当选择φ仍有待支持的主张。对于表示（3.15）中无条件期望的E（Q，ψ），很容易检查ψ7→ E（Q，ψ）对于任何固定Q和Q 7都是凸的→ E（Q，ψ）对于任何ψ固定都是凹的。观察到Q和ψ的域可以很容易地与欧氏空间中的凸集和紧子集识别，我们调用了极大极小定理（如[19]中的定理45.8）来获得πN（g）≤ infψsupQE（Q，ψ）=supQinfψE（Q，ψ）。因此，结合（3.14），我们可以找到一个QNon(Ohm, FN）使得bπN（G）≤ o（1）+infψE（QN，ψ）。（3.16）为了控制后者，观察E（QN，ψ）中涉及ψkContributeqn的项σbΔψk（τN，εk- τN，εk-1) - ψk（PNτN，εk）- （PNτN，εk-1)- σ（τN，εk- τN，εk-1)≤ 方程“σbΔψkEQNhη+τN，εk- τN，εk-1.FN，εk-1i-ψkEQNh（PNτN，εk）- （PNτN，εk-1)- σ（η+τN，εk- τN，εk-1)FN，εk-1i#+supψ-σbΔψη+ψση, （3.17）其中η>0是任意的，我们使用ψkis FN，εk-1-可测量。ψkin上的最小值ψ的最后期望值*k=bδ方程（PNτN，εk）- （PNτN，εk-1)- σ（η+τN，εk- τN，εk-1)FN，εk-1.2σEQNhη+τN，εk- τN，εk-1.FN，εk-1i，由于时间τNK上的一致界，其在N f中一致有界或η>0。尤其是|ψ*k |≤ 对于足够大的N，为LOG N。

相应的最小值为-bδ8σ方程EQN（PNτN，εk）- （PNτN，εk-1)- σ（η+τN，εk- τN，εk-1)FN，εk-1.EQNhη+τN，εk- τN，εk-1.FN，εk-1i= -bδ8σ方程EQN（PNτN，εk）- （PNτN，εk-1)FN，εk-1.EQNhη+τN，εk- τN，εk-1.FN，εk-1i- σ（η+τN，εk- τN，εk-1).现在，我们只需要将这些对E（QN，ψ）的贡献结合起来*) 利用估计值（3.16）和（3.17）中的上确界为ησbδ/8这一事实，推导出了所谓的估计值（3.10）。对于剩余的估计值（3.11），考虑ψ≡ bπN（G）的估计值（3.16）为0。由于同时没有套利，bπN（G）≥ 0，我们可以得出结论，至少对于足够大的N，0≤ η+EQN“G- 日志NKXk=1EQNhPNτN，εk- PNτN，εk-1.FN，εk-1i#,其中给出了（3.11）。权利要求HN，ε，K/（1）- λ） of（3.5）是前一引理所要求的形式。这就产生了超级复制价格的上界，然而，它仍然依赖于N，并且只涉及一个过程，该过程在其跳跃时间上几乎是阿马丁格尔（amartingale）。为了得到更方便的上界，考虑稍微扩展的时间范围上的过程将是有用的，即在[0，1+λ]上，而不是在[0，1]上。Payoff函数h可以缩放为h1+λ：D[0，1+λ]→ R简单地通过让，F或p∈ D[0，1+λ]，h1+λ（p），h（[0，1] t 7→ p（t（1+λ）））。现在，考虑在引理3.5中，对于ε，λ>0固定且K=K（ε，λ），一些概率空间上可测过程D的类Dε，λ（OhmD、 FD，PD）的形式dt=KXk=1Dθk-1[θk-1，θk）（t）+（Dθk+σWt-θK）1[θK，1+λ]（t）（3.18），因此，对于K=1，K、 我们有D=p，| DθK- Dθk-1| ≤ 2ε，（3.19）θ=0，λK≤ θk- θk-1.≤λK+ε，（3.20）和dθK-1=EDhDθkFDθk-1i（3.21），其中（FDt）0≤t型≤1+λ表示D产生的滤波，其中W是独立于FDθKunder PD的布朗运动。

还可以方便地将过程ζDt，KXk=1EPDh（Dθk）与每个这样的D相关联-Dθk-1.FDθk-1iEPDhθk- θk-1.FDθk-1i[θk-1，θk）（t）+σ[θk，1+λ]（t），为了以后的使用，我们观察到它对于任何固定的λ>0，ε<1/λ是有界的。事实上，将（3.21）、（3.19）和（3.20）与K=[（c/ελ）]+1相结合意味着|ζDt |≤4ελ/K∨ σ≤4（c+1）λ∨ σ. （3.22）用这个符号，我们得到了以下对偶估计：引理3.8。对于任何ε，λ>0且K=K（ε，λ），如Lemma3.5中所述，wehavebπN（HN，ε，K/（1- λ)) (3.23)≤2+σbδλK+supD∈Dε，λEPD“h1+λ（D）1- λ-bδ8σZ1+λζDt- σdt#用于充分的大型证明。固定ε，λ>0，并让K，K（ε，λ）和η，λ/K。我们将使用引理3.7中的旋转，并假设N很大，足以使该引理的断言成立。G，HN，ε，Kandτk，τN，εk，k=0，K、 我们进一步确定，对于K=0，K、 θNk，τN，εK+Kη，DNθNk，p+kXj=1PNτN，εj- EQNhPNτN，εjFDNθNj-1i,通过（3.18）指定过程D=Dn以及概率PD，qnth包含在Dε，λ中。事实上，类似鞅的概率（3.21）和干预时间的约束（3.20）都是即时的。增量限制（3.19）保持不变，因为PNτN，εkis在FDNθNk的ε范围内-1-可测量量PNτN，εk-1定义τN，εk。