针对具有多个承保线和组合的保险公司的ALM

虽然密度效用的测量乍看起来可能很奇怪，但这可以通过将问题解释为离散模型的极限来实现，其中考虑了每个时间步的累积效用，参见Borch【5】。在这种情况下，我们定义了瞬时股息支付率Dα，Las密度过程Dα，Lt：=dCα，L/dt模拟股息支付率。利用这一定义，等式（2.1）可以用不同的形式重写如下dVαt=αt·dSt+Lt·（ptdt- dXt）- Dα，Ltdt，Vα=x.（2.2）我们现在为我们的模型引入随机设置。价格过程S=（S，…，SK）>遵循Black-Scholes模型，其形式为：it=Sithuitdt+KXk=1σiktdWkti，Si>0，i=1，KdSt=Strtdt，S=1，其中W=（W，…，WK）>是定义在完备概率空间上的K维布朗运动(Ohm, P、 F）具有过滤F={Ft}t≥0.对于多变量保险风险流程Xt，我们假设M个业务线中的索赔可以同时发生，并通过RM+-值标记点流程（τn，Yn）n对到达时间和索赔严重性进行建模≥1、为了激励XT在我们的模型中的规格，对于eachj=1，M我们设置τj：=τ=0，τjn：=infτk>τjn-1： Yjk>0, n∈ 为了论证，假设（τjn，Yjn）n的局部特征（λj，Fj）≥1和Ljar已知且时间恒定。我们还假设Lj∈ N、 也就是说，公司必须调整j行的承销量，使其达到Lj的合同数量。那么，到时间t为止，第j行的总支出是复合泊松过程的总和，形式为Ljxl=1Nj，ltXn=1Yj，ln（2.3），其中Nj，lt~ 泊松（λjt）和Yj，ln~ 福建。如果复合Poisson sumsPNj，ltn=1Yj，Ln是独立的，那么（2.3）具有与Njt相同的分布Aspnjn=1yjn~ 泊松（Ljλjt），参见示例。

Mikosch【26】中的命题3.3.4，其反过来又具有相同的过程xτjn补偿器≤tLjYjn。（2.4）尤其是，（2.3）和（2.4）表示相同的预期损失。在我们的模型中，我们允许jt取任何非负的实值和随时间的变化，我们通过将（2.4）解释为lj相对于多变量过程pτn的（离散）积分，将支付过程中的变化纳入其中≤tYjn，并将此过程的扰动版本视为模型中第j行负债的代理。更具体地说，我们假设对于eachj=1，M、 业务线j的责任风险流程XJJ遵循跳转差异流程XJT=MXm=1Ztbjmsd'Wms+Xτn≤其中，W是满足d的M维布朗运动工作日，工作日t=ρkmtdt和ρkmt∈ [-1, 1]. 所有系数rt、ut、bjmt、σiktandρkmtar都是局部有界的F-可预测过程和（τn，Yn）n≥假设1独立于W和“W”。相关过程ρkmmodel表示金融资产的对数价格与保费或索赔价值的（高斯）波动之间的依赖关系。回想一下，实值过程（φt）t≥如果随机函数φ（t，ω）=φt（ω）相对于σ是可测的，则0是F-可预测的-代数P onOhm×[0, ∞) 由所有适应的左连续过程生成。类似地，随机场φ：Ohm×[0, ∞)×RM→ 如果Ris相对于乘积σ-代数是可测量的，则称其为F-可预测的 B（RM）。备注2.1。请注意，（2.4）也对应于最坏情况，即第j行中的所有客户同时报告严重程度为yjm的索赔，索赔率λj相同。这可用于模拟灾难性事件或负面经济冲击，这些事件会导致承保行的索赔突然激增，并严重暴露于灾难或极端事件风险。次贷危机后的信用保险就是这种现象的一个明显例子。

事实上，根据经合组织的报告[27]，2008年信用保险的年保费收入总额超过80亿美元，其中90%的业务由三大公司进行：裕利安怡（36%）、阿特拉迪乌斯（31%）和科法斯（20%）。2008年和2009年初，信用状况恶化后，随着支付违约和企业破产数量激增，信用保险公司开始面临快速上升的索赔，2008年科法斯（Coface）、欧勒赫尔姆斯（Eulerhemes）和阿特拉迪乌斯（Atradius）的损失率分别上升到73%、78%和99%。2009年上半年，由于Euler和Coface报告的损失率分别为88%和116%，这些负面趋势仍在继续。最近的2019冠状病毒疾病大流行是另一个导致保险索赔激增的极端事件的例子。美国财产意外保险协会（APCIA）预计，2020年3月，小型企业可能会提出多达3000万起索赔，以弥补冠状病毒相关的损失，在短短一个月内，索赔金额将达到2200-3830亿美元，是该行业在一年内处理的最多索赔的10倍。失业福利计划，在美国被法律视为一种保险。S、 ，在2019冠状病毒疾病爆发期间，也经历了突然激增的索赔。这是一种保险类型，雇员是福利机构，雇主根据其失业历史缴纳失业税。2020年3月，随着美国经济的大部分关闭，公司解雇了数十名工人以应对这一流行病，申请失业福利的美国人数量飙升至创纪录的数字。继续ALM问题的公式化，就像投资组合分配问题通常的情况一样，我们处理的是投资于天空资产的财富比例πα，it：=αitSitVαt-, i=1。αt的Kinstead。我们指的是παtas投资组合比例过程。

同样，我们定义了一个额外的保险风险控制变量，如下κjt：=LjtVαt-, j=，M、 这被Cadenilas和Zou称为“负债率”[32]。注意它的倒数1/κjt=Vαt-/Ljt是承保线j=1，…，中支持每个保险合同负债的财富金额，M、 它还与投资收益率有关-ptlth反过来可以被解释为衡量业务线j的盈利能力，因为它将保险公司从承保j类保单中获得的收入与其在金融市场的投资活动进行比较，参见R.Kumar的账簿【20，第8.2.7.5节】或【21，第10.2.2节】。使用π和κ作为控制变量，而不是α和L，企业服务过程的方程（2.2）现在变成了线性SDEdVt=Vt-rtdt+π>t[（ut- rt1）dt+σtdWt]+κ>thptdt- btd重量- yN（dy，dt）i- 初始条件V=x的Dtdt（2.5）。这里N（dy，dt）表示多元标记点过程（τN，Yn）N的rm+\\{0}的随机计数测度≥1和？表示关于随机度量的组件集成。公司储备现在定义为过程Vπ，κ，方程（2.5）的解。最后，我们假设投资组合过程π被限制在集值可预测过程Q=（Qt）t中取值∈[0，T]，其中每个Qt（ω）是一个非空的闭凸集Qt（ω） RK。我们将保险公司的风险规避ALM问题表述为：让U（t，·）和Ube效用函数满足通常的INDA条件。我们在初始财富x>0的整个过程中x，并用A:=A（x）表示whichE的允许策略集（π，κ，D）ZTU（t，Dt）-dt+UVπ，κ，DT-< ∞.我们的目标是最大化期望效用函数lj（x；π，κ，D）：=EZTU（t，Dt）Dt+UVπ，κ，DT所有容许策略（π，κ，D）∈ A.

通过定义^Ljt：=^κjt^Vt，可以恢复最佳再保险/承保策略-式中，^V是总储量的最佳值。如果^Ljt<1，即，如果^Vt-< 1/κjt那么公司必须有-^Ljt=1- ^κjt^Vt-由第三方再保险的传入索赔。相反，如果^Ljt≥ 1，即，如果^Vt-≥ 然后，公司必须重新调整j线的承销量，使其达到-.该分析还解释了1/jκjt为偿付能力阈值。事实上，如果储备的总价值足够大，那么-≥ 1/κjt，该公司可以继续承保业务线j的保险，尽管可能需要调整保单数量。如果改为^Vt-< 1/κjt，保险人没有持有足够的资本来应对其在第j行中面临的风险，必须将部分风险转移给再保险人。备注2.2。方程（2.5）是非齐次线性方程，因此可以使用参数变化和积分因子轻松求解。特别是，如果Δπ，κ，Dt：=ZtDsVπ，κ，0s，其解满足Vπ，κ，Dt>0s-ds公司≤ x（2.6）几乎可以肯定，且κτm·Ym<1，即Vπ，κ，Dτm-> Lτm·Ym，表示τm≤ t、 后者相当于要求总准备金流程严格大于索赔发生之前所有业务条线的总损失。这似乎过于限制和实用，但对于暴露于灾难性事件和高度尾部依赖的业务线来说确实有意义，也就是说，具有索赔依赖的业务线集中在极高的价值上。尾部依赖的一个简单例子来自风和水损害。在美国，这些损害是单独投保的：前者由业主保单或州风池承保，而后者由国家洪水保险计划承保。

洪水和风的破坏通常是相互独立的，但在飓风多发地区可能会变得依赖尾部。另一个例子来自于考虑与计算机网络和高传染性疾病相关的损害分布，如在最近的2019冠状病毒疾病大流行期间。与潜在计算机网络问题相关的损害分布尾部事件包括网络故障和恶意攻击。这种传染病的极端后果不仅包括感染率和死亡率的上升，还包括大规模封锁。然而，这些负面结果并不是独立的。如果人们在家被隔离，远程办公的人数将急剧增加，给计算机网络带来压力，并导致可能被利用的故障和漏洞。另一方面，如果来自两个不同业务线的索赔不能同时发生，则上述条件可以减弱为κjτjm·Yjm<1，即isVπ，κ，Dτjm-> Ljτjm·Yjm，对于τjm≤ t、 对于所有j=1，M、 这与财富过程严格大于索赔发生前每个业务线的损失是一样的，从实践角度来看，这更合理。请注意，通过多元保险风险流程的差异部分，承保线之间仍然存在依赖关系。3拉格朗日半鞅和凸对偶方法本节将组合约束的凸对偶技术从Karatzasand Shreve【18，第6章】扩展到投资保险设置。对于每个t∈ [0，T]我们定义了凸集的支持函数-Qtasθt（ω，ζ）：=supπ∈Qt（ω）[-π · ζ], ζ ∈ RK。它是一个较低的半连续的、适当的（即不相同的+∞) 凸函数，定义其有效域Nt（ω）：=ζ ∈ RK：θt（ω，ζ）<+∞. 后者是一个凸锥，称为-Qt（ω）。

在下文中，将假设θt（ω）从下方有界。示例3.1。以下是portfolioproportions上可能的约束集的一些示例。i、 不完全市场：Qt=π ∈ RK：πi=0，i=m+1，K对于一些m∈{1，…，K- 1} . 也就是说，企业只能投资于第一批m资产。ThenNt公司=ζ ∈ RK：ζ=···=ζm=0和θt≡ Nt上的0。二。更一般地说，qt是RK中的一个非空、闭、凸锥。那么Ntis是-Qtandθt≡ Nt上的0。这包括有无禁止卖空的不完全市场的情况。iii.矩形约束：Qt=QKk=1ikt，Ikt=[qkt，qkt]，q和q可预测过程满足-∞ ≤ qk公司≤ 0≤ qk公司≤ ∞. 这里我们假设，如果qkt=∞ （分别qkt=-∞). 然后Nt=RKandθt（ζ）=dXk=1qkt（ζk）-qkt（ζk）+如果所有qkt和qkt都是有限的。更一般而言，Nt=nζ∈ RK：ζi≥ 如果qit=∞, ζk≤ 如果qkt=-∞, 对于某些i，k=1，Ko和之前的θt（ζ）公式仍然有效。这包括借款和/或短期销售限制。设D为Rd值可预测过程集ζsatisfyingsupt∈[0，T]|ζT |+ZT（ζT）dt<+∞, a、 s.（3.1）假设I.多元标记点过程（τn，Yn）m≥1开[0，∞)MHA可预测特性（λt，Ft）。在下面的内容中，对于t，我们表示Y：=0和Yt：=yn∈ （τn-1，τn]。设Θ表示局部有界对的集合（θ，Д）满足i）θt=（θt，θt）是一个可预测过程，其值为Rd×RM，ii）Д=Д（t，y）是[0，t]×RM上的（实值）正可预测场，因此过程ζθt：=rt1- ut+σt[θt+ρtθt]，t∈ [0，T]属于D，以下条件保持a.s.pt+bt[ρ>TθT+θT]- λtE[Д（t，Yt）Yt]=0（3.2），几乎每t∈ [0，T]。（3.2）中的期望值是多值的，因为它是按组件计算的。

对于（θ，Д）∈ 设Hθ，Θ为线性SDEdHt=Ht的解-n-[rt+θt（ζθt）]dt- θt·dWt- θt·d'Wt+[Д（t，y）- 1] ?H=1的eN（dy，dt）w，其中eN是补偿测量eN（dy，dt）：=N（dy，dt）-λtFt（dy）dt。然后，以下定义类型的不等式适用于LMA 3.2。Let（θ，Д）∈ 假设Vπ，κ，Ds>0 a.s.，几乎每s∈ [0，t]。ThenE公司Hθ，ДtVπ，κ，Dt+ZtHθ，ДsDsds≤ x、 证明。见附录。我们将Hθ，Д称为保险投资市场模型的拉格朗日半鞅。对于正随机变量G和股息支付率过程D，wedefine'J（G，D）：=EhZTU（t，Dt）Dt+U（G）i和∧θ，Д（G，D）：=EhHθ，ДTG+ZTHθ，Дtdti，（θ，Д）∈ Θ.然后，通过引理3.2，我们得到sup（π，κ，D）∈A（x）J（x；π，κ，D）≤ 辅助（G，D）：G≥ 0，D≥ 0∧θ，Д（G，D）≤ x，(θ, φ) ∈ ΘoThis建议考虑以下拉格朗日（G，D；θ，Д，ξ）：=(R)J（G，D）+ξhx- ∧θ，Д（G，D）i，（θ，Д）∈ Θ，y≥ 0.那么，以下弱对偶保持着supn'J（G，D）：G≥ 0，D≥ 0∧θ，Д（G，D）≤ x，(θ, φ) ∈ Θo=supG≥0天≥0inf（θ，Д）∈Θξ≥0L（G，D；θ，Д，ξ）≤ inf（θ，Д）∈Θξ≥0supG≥0天≥0L（G，D；θ，Д，ξ）让U用t表示U（·）或U（t，·）∈ [0，T]固定。反向边际效用i：=（U）-1满足年轻型不等式U（x）- ξx≤ U（I（ξ））- ξI（ξ）对于allx，ξ>0。然后L（G，D；θ，Д，ξ）≤ L（I（ξHθ，ДT），I（·ξHθ，Д·）；θ、 Д，ξ）和infθ，Д∈Θξ≥0supG≥0天≥0L（G，D；Д，ξ）≤ infθ，Д∈Θξ≥0L（I（ξHθ，ДT），I（·，ξHθ，Д·）；θ、 Д，ξ）此外，还可以显示（参见。

Karatzas和Shreve[18]中的引理6.2），即ifXθ，Д（ξ）：=∧θ，Д（I（ξHθ，ДT），I（·，ξHθ，Д·））<+∞, 对于所有y≥ 0然后其逆Yθ，Д：=（Xθ，Д）-1存在andL（Gx，θ，Д，Dx，θ，Д；θ，Д，Yθ，Д（x））=(R)J（Gx，θ，Д，Dx，θ，Д），Dx，θ，Дt：=I（t，Yθ，Д（x）Hθ，Дt），t∈ [0，T]Gx，θ，Д：=I（Yθ，Д（x）Hθ，ДT）。总之，我们有SUP（π，κ，D）∈A（x）J（x；π，κ，D）≤ supG公司≥0inf（θ，Д）∈Θξ≥0L（G，D；θ，Д，ξ）（原始）≤ inf（θ，Д）∈Θξ≥0supG≥0L（G，D；θ，Д，ξ）≤ inf（θ，Д）∈Θξ≥0L（I（ξHθ，ДT），I（·，yHθ，Д·）；θ, φ, ξ)≤ inf（θ，Д）∈eΘ′J（Gx，θ，Д，Dx，θ，Д）（双）带eΘ：=(θ, φ) ∈ Θ：Xθ，Д（ξ）<∞, ξ > 0. 我们的目标是找到条件，在这些条件下，我们可以保证在上述公式中不存在二元缺口。特别是，如果存在容许对（^π，κ）和（^θ，Д）∈从而使J（x；π，κ，Dx，θ，Д）＝J（Gx，θ，Д，Dx，θ，Д），然后策略（π，κ，Dx，θ，Д）是最优的。为此，我们考虑了向后SDEZt=Hθ，ДTGθ，Д+ZTtHθ，ДsDθ，Дsds的线性跳跃差异-ZTtαs·dWs-ZTt’αs·d’Ws-ZTtZRM \\{0}β（s，y）~N（dy，ds），t∈ [0，T]。（3.3）对于本节的其余部分，我们假设每个部分（θ，Д）∈ Θ方程（3.3）有唯一的解（Zθ，Д，αθ，Д，(R)αθ，Д，βθ，Д）。这源于关于W、\'W和▄N的可预测（鞅）表示性质，例如参见第3章。然而，对于CRRA偏好，可以直接确保上述linearbackward SDE解决方案的存在，而无需使用可预测的representationproperty。因此，下一节中的示例不需要这样的假设。我们有以下验证类型理论定理3.3。让我假设一下。

假设存在一对（π，κ）和（θ，ν）∈Θ，使过程Z^θ，^Д为正，且以下为所有t∈ [0，T]σ>T^πT=^θT+Z^θ，^ДT-αθ，θt，-b> t^κt=^θt+Z^θ，^Дt-\'（3.4）1- ^κt·y=^И（t，y）1+βθ，θ（t，y）Zθ，θt-（3.5）连同“互补松弛”条件θ（ζθ）+^π·ζθ=0。（3.6）进一步假设τm的κτm·Ym<1 a.s≤ T和Δ^π，^κ，^DTds≤ x，其中^D=Dx，^θ，^Д。然后（π，κ，D）∈ A并且该策略是最优的。证据见附录。3.1具有独立索赔的多个承保线我们偶尔会放松现有假设I，并假设以下条件成立。假设二。复合泊松过程pτjm≤tYjm，j=1，M是独立的，每个标记点过程（τjm，Yjm）M≥1在[0]上具有局部特征（λjt，Fjt），∞), j=1，M、 也就是说，多元复合泊松过程的组成部分是独立的，因此任何两条承保线的索赔或跳跃都不能同时发生。在此假设下，关于N（dy，dt）的积分满足ψ（t，y）？N（dy，dt）=MXj=1ψj（t，yj）？Nj（dyj，dt），其中对于每个j=1，M我们使用约定ψj（t，yj）：=ψ（t，yjej）（这里ej表示单位向量，在jth坐标中为1，在别处为0s），Nj（dyj，dt）是（τjn，Yjn）n的计数度量≥1开（0，∞). 财富方程式现在的读数为SDVT=Vt-rtdt+π>t[（ut- rt）dt+σtdWt]+κ>thptdt- btd？Wti-MXj=1κjtyj？Nj（dyj，dt）- dtdt在这种情况下，如果没有支付股息，那么如果τjm的κjτjmYjm<1，则Vπ，κ，0t>0≤ t表示所有j=1，M、 让我们用形式的非负可预测随机场的ν（t，y）向量表示Дj（t，yj）1.≤j≤M、 然后，将条件（3.2）替换为pjt+[bt（ρ>tθt+θt）]j- λjtE[Дj（t，Yjt）Yjt]=0，j=1。