针对具有多个承保线和组合的保险公司的ALM

，M（3.7），那么引理3.2的断言对于Hθ仍然成立，定义为dht=Ht-n个[-rt+θt（ζθt）]dt- θt·dWt- θt·d？Wt+MXj=1Дj（t，yj）- 1.?eNj（dyj，dt）o.HereeNj（dyj，dt）：=Nj（dyj，dt）- λjtFjt（dyj），对于每个j=1，M、 对于每个（θ，Д），设（Z^θ，^Д，α^θ，^Д，’α^θ，^Д，β^θ，^Д）为向后跳变的解SDEZt=Hθ，ДTGθ，Д+ZTtHθ，ДsDθ，Дsds-ZTtαs·dWs-ZTt’αs·d’Ws-MXj=1ZTtZR \\{0}βj（s，yj）~Nj（dyj，ds），t∈ [0，T]。然后，对于具有独立分量的多元复合泊松过程，我们得到了定理3.3的以下版本。定理3.4。在假设II下，假设存在一对（^π，^κ）和（^θ，^Д）∈从而使过程Z^θ，^Д为正，（3.4），（3.6）和1- ^κjtyj=^Иj（t，yj）1+βθ，θ，j（t，yj）Zθ，θt-, j=1，M（3.8）保持所有t的a.s∈ [0，T]。对于τjm，如果κjτjmYjm<1≤ T对于所有j=1，M和Δ^π，^κ，^DT≤ xwith^D=Dx，^θ，^Д。然后（π，κ，D）∈ A并且该策略是最优的。3.2预防性收益保留在双重公式中，我们使用股息支付率过程Dx，θ，Д=I（·，Yθ，Д（x）Hθ，Д）的定义来研究风险规避、谨慎、投资组合约束和保险风险对公司收益保留政策的影响。我们假设不依赖于时间变量，并且U=U≡ U和局部特征（λt，Ft）是确定性的。Let（Д，θ）∈ Θ和ξ>0应固定。为了简单起见，我们去掉了D，H和Yon x，ν，θ的依赖关系。

使用It^o公式，I（ξ）=1/U（I（ξ）），I（ξ）=-U（I（ξ））/[U（I（ξ））]我们得到di（ξHt）=ξU（I（ξHt-))dHt公司-ξU（I）（ξHt-))[U（I）（ξHt-))]d hHict+dXs型≤t型I（ξHs）- I（ξHs-) -ξU（I）（ξHs-))Hs公司取ξ=Y（x）=Yθ，Д（x），并使用D=Dx，θ，Д和H=Hθ的定义，ДwegetdDt=Y（x）U（Dt-)Ht公司-n-[rt+θt（ζθt）]dt- θt·dWt- θt·d'Wt+[Д（t，y）- 1] ?eN（dy，dt）o-Y（x）U（Dt-)[U（Dt-)]Ht公司-h |θt |+|θt |+2（θt）>ρtθtidt+dXs型≤t型Ds公司-Y（x）U（Dt-)Ht公司-λtE[Д（t，Yt）- 1] 现在，D的增量满足Ds=I（Y（x）Hs-^1（s，Ys））- I（Y（x）Hs-) = I（U（Ds-)^1（s，Ys））- Ds公司-.由于I是严格递减的，如果Д（s，y）>1（分别<1），则这些增量为正（分别为负）。将跳跃重写为关于N（dy，dt）的积分，进行补偿，取期望值并重新排列，我们得到ddte[dt]=EAR（Dt）nrt+θt（ζθt）+λt[Д（t，Yt-) - 1] o+AP（Dt）[AR（Dt）]n |θt |+|θt |+2（θt）>ρtθto+λtI（U（Dt-)^1（t，Yt-)) - Dt公司-其中AR：=-U/U和AP：=-U/U分别为风险厌恶和谨慎指数的绝对Arrow-Pratt系数。由于AR>0，我们可以看到，平均而言，Dx，θ，νt的增长率随利率rtandθt（ζθt）的增加而增加。此外，如果AP>0（分别<0），则它也对状态价格密度Hθ，ν连续部分的二次协变量作出积极（分别为消极）响应。在存在保险索赔的情况下，我们实际上得出了以下结果。定理3.5。假设ally的U>0（分别<0）和Д（t，y）>1（分别<1）∈ 支持所有t∈ [0，T]。然后，股息支付率dx，θ，νt的预期增长率随着λt.Proof而增加。提供It支持（U（D）Д）- D+AR（D）（Д）- 1) > 0.对于D，Д∈ R+固定。定义f（ξ）：=I（U（D）ξ）。假设U>0，而Д>1。

根据中值定理，存在*∈ （1，Д）使F（Д）- f（1）Д- 1=f（Д）*) = I（U（D）Д*)U（D）=U（D）U（I（U（D）^1*)).由于I在减小，而Uis在增大，我们有I（U（D）Д*) < I（U（D））=D和U（I（U（D）Д）*)) < U（D）和所需结果如下。如果出现以下情况，可以使用相同的参数∈ （0，1）和Uis递减。特别是，如果U>0，即如果边际效用是凸函数，并且Д（t，y）>1，就像具有CRRA的效用函数的最优策略一样（见下文（4.1）），那么股息支付过程的漂移随着审慎指数和总预期索赔到达率的增加而增加。如果多元复合泊松过程的组成部分是独立的，则任何两条承保线的波动或跳跃不可能同时发生，我们得到以下结果。推论3.6。假设假设II成立，U>0（分别<0），fjt是绝对连续的，对于某些j∈ {1，…，M}。如果yj中的Дjis不同且增加（分别减少），则股息支付的预期增长率Dx、θ、Дtin随着Fjt的一阶随机优势增加（分别减少）。证据众所周知，Fjt在一阶随机支配意义上支配Fjt当且仅当（参见Eeckhoudt et al【10，Ch.2】）Zψ（yj）Ft（dyj）≥对于任何递增函数ψ（yj），Zψ（yj）~Ft（dyj），因此需要证明，如果φj（t，·）在递增（分别递减），ψ（yj）=I（U（D）φj（t，yj））也是如此- D+AR（D）（Дj（t，yj）- 1） 对于t∈ [0，T]固定。

实际上，关于yjj的微分得到ψ（yj）=^1jyjhI（U（D）Дj（t，yj））U（D）+AR（D）i=^1jyjU（D）hU（I（U（D）Дj（t，yj）））-U（D）i。由于φj（t，yj）>1，因此期望结果如下，i减小，ui增大。直觉是，索赔频率的增加和/或索赔分布的一阶随机优势成为了风险收益保留的动机：在给定的时间点，保险人支付股息的比率低于未来任何时间。请注意，谨慎性指数提高了当前的收益留存率，而风险厌恶则降低了它。4幂（CRRA）效用在其余部分中，我们考虑具有常数相对风险规避（CRRA）的幂型效用函数，公式为（t，x）=U（x）=x1-η1-η, η ∈ (0, +∞) \\ {1} ln x，η=1，并假设以下为消耗III。除非η=1（对数效用），否则所有系数都是非随机的。引理4.1。假设（θ，Д）∈ Θ是非随机的。那么，我们有zθ，νt-αθ，Дt，(R)αθ，Дt）>=1- ηηθt，βθ，Д（t，y）Zθ，Дt-+ 1=Д（t，y）-η+1顶。见附录。因此，在前面引理的假设下，条件（3.4）-（3.5）变成^θt=ησ>t^πt，^θt=-ηb>t^κt，^Д（t，y）-η= 1 - ^κ>ty。（4.1）在下面的内容中，为了简单起见，我们放弃了对t的依赖∈ [0，T]。使用（4.1），我们可以根据π和κ重新定义ζθ，如下ζ（π，κ）：=r1- u + ησ(σ>π - ρb>κ），重写（3.2）和互补松弛条件（3.6）asp+ηb[（σρ）>π- b> κ]- λEh（1- κ·Y）ηYi=0（4.2）和θ（ζπ，κ）+π·ζ（π，κ）=0（4.3）。这与定理3.3相结合，意味着以下是我们对CRRA偏好的主要结果。定理4.2。假设存在一对值为Rd×RM+的过程（^π，^κ），它们求解所有y的非线性方程组（4.2）-（4.3），其中^κ·y<1∈ 补充F.进一步假设ζ^π，κ∈ D

那么（π，κ）是最优的。如果假设II成立，即多元复合泊松过程的组成部分是独立的，那么使用引理4.1证明中的相同参数，可以很容易地证明^κ和^Д（t，y）的最优性条件=^Дj（t，yj）1.≤j≤mnowbeans^Иj（t，yj）-η= 1 - ^κjtyj，j=1。M即，^Иj（t，yj）=（1- ^κjtyj）-η、 随着yj的作用而增加。然后，根据推论3.6，CRRA优先股的最优股息支付率的预期增长率随着索赔分布Fjt的一阶随机优势而增加。此外，在这种情况下，将方程组（4.2）替换为方程Spj+ηhb（σρ）>π- bb>κij- λjEhYj（1- 对于yj，κjYj）ηi=0（4.4），κjYj<1∈ 对于j=1，…，支持FJJ，M、 现在，我们给出了一些组合约束的例子，对于这些例子，（4.2）（或（4.4））和（4.3）的解可以被明确描述。我们首先考虑无约束情况Q=Rd，然后考虑矩形约束，其中包括卖空和借贷约束。4.1无约束投资组合以下结果将Zou和Cadenilas[32]的定理4.1推广到具有随机值索赔的多个承保线的情况。推论4.3。假设Q=Rd，σ是可逆的，并且存在^κ，使得^κ·y<1on supp F满足M方程组h（κ）=0，h（κ）：=p+bhρ>σ-1(u - r1）- η（IM×M- ρ> ρ）b>κi- λEh（1- κ·Y）ηyi然后对（π，κ）是最优的，π=（σ>）-1.ησ-1(u - r1）+ρb>^κ. （4.5）证明。如果Q=Rdthenθ=0，N={0}，那么只有ζπ，κ=0解（4.3），这等于（4.5）。

将其插入（4.2）得到方程组h（κ）=0，然后得到期望的结果。注意，最优投资组合等于默顿比例向量π默顿=η（σσ>）-1(u - r1）加上额外的对冲期限（σ>）-1ρb>^κ，帮助企业利用金融市场管理其保险风险敞口。现在，我们继续在d=1和M=2的情况下用数值说明推论4.5。示例4.4。我们假设所有参数在时间上都是常数，并考虑第一个基本示例，其中二元随机变量（Yn，Yn）取概率为q、qand 1的值（c，0）、（0，c）和（c，c- （q+q）分别。那么，对于j=1，hj（κ），2 readh（κ）=p+u- rσ[bρ>]- ηhb（I2×2- ρ> ρ）b>κi- λcq[1- κc]η+c[1- （q+q）][1- （κc+κc）]η,h（κ）=p+u- rσ[bρ>]- ηhb（I2×2- ρ> ρ）b>κi- λcq[1- κc]η+c[1- （q+q）][1- （κc+κc）]η.对于κ∈ R+满足cκ+cκ<1。图1和图2包含η不同值的零级曲线h（κ）=0（蓝色）和h（κ）=0（红色）的曲线图，以及以下参数集（I）q=0.2、q=0.6、u=7%、σ=21%、r=3%、λ=0.1和B=0.2 0.61.3 0.7, c类=3.03.0, p=0.71.1, ρ =0.4 0.5.（二） q=0.2，q=0.7，u=7%，σ=21%，r=3%，λ=0.15和B=0.2 0.30.4 0.6, c类=2.41.7, p=1.30.8, ρ =-0.2 0.3.图3包含最佳^κ随η变化的曲线图∈ [0.3, 4]. 我们发现，对于风险规避系数η的高值，^κ和^κ均降至零，且相应的偿付能力阈值增加。然而，由于相关系数的不同迹象，这种行为对低风险厌恶水平有所不同：对于参数集（I），κ增加，κ减少，而对于参数集（II），κ减少，κ增加。在下一个例子中，我们假设多元复合泊松过程有一个更一般的设置，通过使用其组成部分的依赖性特征，即viaL'evy copulas和尾部积分，例如。

参见Kallsen和Tankov【16】。事实上，多元L'evy过程的Sklar\'sTheorem确保存在L'evy copula C:[0+∞]M→ [0, +∞] 使得多元复合泊松过程pτn的L′evy测度ν（dy）≤tYnsatis fiesν[是+∞) ×···×[yM+∞)= CλF（[y+∞)), . . . , λFM（[yM+∞)（4.6）对于yj>0，其中Fjdenotes表示组分Yjn的边际分布。我们将[0，∞)M值随机变量yn0i中没有原子。e、 P（Y=0）=0。然而，如上所述，可能在其中一条线中出现单个权利要求，在这种情况下，严重度Yjn的分布可能不是绝对连续的，并且在0处具有正质量，即FYj（0）=P（Yjn=0）可能不为零。同样，我们关注M=2的情况，并假设最大损失条件supp F [0，c]×[0，c]（4.7）0.00 0.05 0.10 0.15 0.20κ10.000.050.100.150.200.25κ2（a）h1（κ）h2（κ）0.00 0.05 0.10 0.15 0.20κ10.000.050.100.150.200.25κ2（b）h1（κ）h2（κ）0.00 0.05 0.10 0.15 0.20κ10.000.050.150.200.25κ2（c）h1（κh）h2（κ）0.00 0.05 0.10 0.15 0.20κ10.000.050.100.150.200.25κ2（d）h1（κ）h2（κ）图1：对于j=1、2和参数集（I），水平曲线hj（κ）=0。η的值为（a）0.7、（b）1.2、（c）1.7和（d）2.2。对一些正数c，c保持不变。为了确保这一点，为简单起见，我们假设边缘严重性满足策略限制条件p（Yjn≤ yj | Yjn>0）=P（Zjm∧ cj公司≤ yj）其中Zjis与密度fj绝对连续，j=1，2。然后，给出了ν（dy）的节理密度asf（y，y）=λλCyyλ′FZ（y），λ′FZ（y）f（y）f（y），y<c，y<cλCyyλ′FZ（y），λ′FZ（c）f（y）(R)FZ（c），y<c，y=cλλCyyλ′FZ（c），λ′FZ（y）\'FZ（c）f（y），y=c，y<cλλCyyλ′FZ（c），λ′FZ（c）“FZ（c）”“FZ（c）”，y=c，y=c此处“FZJ”表示生存函数。再次，我们限制κ，使cκ+cκ<1。

注：这意味着财富过程必须大于Lc+Lc，这显然是图2：对于j=1、2和参数集（II），水平曲线hj（κ）=0。η的值为（a）1.2、（b）1.7、（c）2.2和（d）2.7。图3：参数集（I）和（II）的最佳^κ作为η的函数。从实际角度来看，限制性很大。之后，我们通过考虑具有独立分量的多元复合泊松过程来放宽这个条件。示例4.5。我们假设一个Clayton copula的公式c（u，v）=（u-δ+v-δ)-δ、 u，v>0，相关参数δ>0。然后Cuv（u，v）=（δ+1）（uv）δ（uδ+vδ）-δ-2、我们也假设Zn~ Exp（θ）和Zn~ 密度函数为SF（z）=θe的Weibull（，%）-z/θ，用于z≥ 0、（4.8）和F（z）=%z%-1exp-z%, 对于z≥ 0。（4.9）同样，我们仅限于一项风险资产的情况。图4显示了以下规格的零级曲线图：u=7%、σ=21%、r=3%、θ=2、%=2、=0.5和b=0.2 0.61.3 0.7, c类=3.03.0, p=0.50.4, ρ =0.3 0.5λ =1.10.1.表1包含最优策略（^π，^κ）。在这种情况下，我们看到，随着依赖参数δ的增加，由于相关性ρ、ρ为正，保险风险可以更有效地部分消除，因此^κ和^κ都会增加，^π也会增加。然而，随着风险厌恶度η的增加，对于固定的依赖度δ水平，^κ和^κ都会减少。（a） δ=1.3，η=1.2（b）δ=1.3，η=1.5（c）δ=1.3，η=1.8（d）δ=1.8，η=1.2（e）δ=1.8，η=1.5（f）δ=1.8，η=1.8（g）δ=2.3，η=1.2（h）δ=2.3，η=1.5（i）δ=2.3，η=1.8图4：水平曲线hj（κ）=0 2和δ和η的不同值，对于具有Z的二元模型~ Exp（2），Z~ 威布尔（0.5，2）。对于具有独立复合泊松过程的业务线，我们得到以下结果。

证明与推论4.3中的证明相同。ηδ^κ^κ^π1.21.3 0.2227 0.0668 1.37311.8 0.2297 0.0840 1.44572.3 0.2356 0.0907 1.47971.51.3 0.1980 0.0625 1.16471.8 0.2133 0.0772 1.24242.3 0.2277 0.0852 1.29531.81.3 0.1788 0.0543 1.00211.8 0.1972 0.0668 1.07732.3 0.2189 0.0716 1.1315表1：带Z的双变量模型的最优策略~ Exp（2），Z~威布尔（0.5，2）。推论4.6。假设Q=Rd，假设II也成立。如果存在^κ满足^κjyj≤ yj 1台∈ 支持M方程组h（κ）=0，hj（κ）：=pj+ηbρ>σ-1hη（u- r1）+σρb>κi- b> κj- λjEhYj（1- k jYj）ηi（4.10），对于j=1，M、 那么（π，κ）是最优的，π由（4.5）给出。对于数值例子，我们可以放松对保险控制变量κ的约束。即，我们将κ限制为超矩形qmj=10，cj, 这显著削弱了无破产约束。事实上，对于所有j=1，…，财富过程必须大于ljcjj，M、 也就是说，总准备金的价值大于每个承保线的最大损失。这对于非寿险多线保险公司来说更为合理，但保险风险流程的不同部分之间的相关性使我们能够建模已支付索赔和已收到保费之间的相互依赖关系，另请参见上文备注2.2。示例4.7。为了说明这个结果，我们再次假设M=2，d=1，Yjn=Zjn∧ cj，j=1，2和Zn~ Exp（2.5）和Zn~ 威布尔（1.1，0.7）。图5（a）包含以下参数的零级曲线图h（κ）=0（蓝色）和h（κ）=0（红色）：η=1.7，u=5%，σ=21%，r=3%，b=1.0 0.51.4 0.7, λ =0.050.10, c类=3.03.0, p=0.71.0和ρ=0.4 0.5.（b）的参数与（a）相同，但风险规避参数η=1.10较低。（c）的参数与（a）相同，但λ=0.01。（d）的参数与（a）相同，但λ=0.01。

表2报告了η、λ和λ的这些值和其他值的κ和组合比例π的最佳值。我们看到，如果λ或λ增加，相应的最优负债率减少，而另一个增加。直觉是，如果两条线与金融市场的相关性均为正，则承保线索赔频率的增加会使其最佳偿付能力阈值朝着相同的方向移动，而另一条线的最佳偿付能力阈值则会降低。      κ1κ2（a）h1（κ）h2（κ）      κ1κ2（b）h1（κ）h2（κ）      κ1κ2（c）h1（κ）h2（κ）      κ1κ2（d）h1（κ）h2（κ）图5：j=1、2和含Zn的独立复合泊松过程的水平曲线hj（κ）=0~ Exp（2.5）和Zn~ 威布尔（1.1，0.7）。4.2矩形约束假设Q=QKk=1ik，Ik=[qk，qk]，-∞ ≤ qk公司≤ 0≤ qk公司≤ ∞ 如果qk=∞ （分别qk=-∞).然后N=RKandθ（ζ）=dXk=1qk（ζk）-qk（ζk）+如果所有的qkan和qkare有限。更一般地，N=Nζ∈ RK：ζi≥ 如果qi=0，则为0∞, ζk≤ 如果qk=-∞, 对于某些i，k=1，Ko和θ（ζ）的公式仍然有效。