最优投资自由边界的全局闭式逼近

结合以上讨论，我们得出结论，实施例3.4中案例1的参数条件等效于β≥ β、 例2至β<β<β，例3至0<β≤ β. 回想一下，β是效用贴现系数。我们看到当β很小时（β≤ β） ，没有自由边界；当β在中间时（β∈ （β，β）），有两个自由边界；当β较大时（β≥ β） ，有一个自由边界。阈值β和β是决定不同最优交易策略的关键。（a） （b）（c）（d）图1：（a）K>0，a≥ 0; （b） K＞0，A＜0＜A，A+4AνK＞0；（c） K>0，A≤ 0或A<0<A，A+4AνK≤ 0; （d） K=0，A<0<A。下一个示例是当投资组合保险值K设置为0时，描述示例3.4中讨论的最佳行使和延续区域f或非哈拉效用。示例3.6。我们假设K=0，并且与示例3.4中的非H ARA效用相同。在这种情况下，我们有β=β。案例1：A≥ 0（相当于β≥ β). 没有自由边界，最好立即停止。情况2：A<0<A（相当于β<β<β）。存在唯一的自由边界定义byz（τ）：=inf{z；v（τ，z）=g（z）}，0<τ≤ θT/2。（3.12）此外，z（τ）随limitslimτ增加→0z（τ）=对数-AA公司, （3.13）limτ→∞z（τ）=∞. （3.14）案例3：A≤ 0（相当于β≤ β). 没有自由边界，在到期之前停止也不是最佳选择。我们在第5节留下证据。图1（d）说明了上述Czthecontinuation区域和SZTheExercise区域的情况2。示例3.4和3.6表明，当K=0和K>0时，最优交易策略存在根本性差异。

例如，当A<0<A时，存在唯一的自由边界分叉=0，而K>0时存在两个自由边界或没有自由边界，这意味着在存在K>0的投资组合时，必须使用不同的最优交易策略，并且不能简单地将问题简化为标准效用最大化问题。通过假设3.2，我们可以直接验证（3.2）定义的φ（z）d严格递减，并且存在唯一的z∈ R使得φ（z）=0。（3.15）定理3.7。假设3.2成立。然后，由（3.3）定义的自由边界z（τ）与limτ严格相关→0z（τ）=z，其中Zi由（3.15）和z（τ）定义∈ C[0，θT/2]∩C∞（0，θT/2）。此外，z（τ）满足以下积分方程-Z∞zG（τ，z（τ）- y） φ（y）dy+ZτG（τ- s、 z（τ）- z（s））φ（z（s））z′（s）ds=0，（3.16），其中G是由G（τ，z）定义的格林函数=√4πτexp-（z）- κτ)4τ- ρτ. （3.17）证明。见第5节。接下来，我们对自由边界进行渐近分析，并构造对偶问题的全局逼近。我们使用积分方程（3.16）研究了接近到期的自由边界的渐近行为。定理3.8。假设3.2成立。然后，由（3.3）定义的自由边界z（τ），对于0<τ<1，满足近似yz（τ）≈ z- 2A级√τ、 其中A是以下方程的正解-A.-√πA+AZe-Aη3η+η（1+η）dη=0。（3.18）方程（3.18）的数值解为≈ 0.56292056798247.证据见第5节。下一个结果给出了由（3.3）定义的自由边界z（τ）的渐近性质，即成熟散度τ趋于有限。定理3.9。假设3.2成立，z*是方程Jxj=1的唯一解-qj（qj- λ） e（qj-1） z- K（1- λ） =0，其中λ=（κ-pκ+4ρ）。然后，自由边界由（3.3）satieslimτ定义→∞z（τ）=z*.证据见第5节。示例3.10。

简单计算表明，对于功率效用（J=1 in（3.1）），我们有z=q-1对数νA，z*=q- 1日志Q（1- λ)λ - q、 对于非HARA效用（J=2，q=-3，q=-1在（3.1）中，我们有z=-日志-A+pA+4AνK2A，z*= -日志-（q）- λ） +q（q- λ） +（q- λ)(1 - λ） （q）- λ).根据假设3.2和qj- λ>0，j=1，2（见（5.28）），我们可以验证上述对数函数内的表达式为正。现在，我们寻求一个由（3.3）定义的简单近似公式f或z（τ）（i）它具有渐近展开z-2A级√τ对于小τ和（ii）它接近z*对于大τ。对于这一点，我们可以看到formz的近似值*（τ） ：=z-2Ar1- e-bτb，其中b>0。为了使其与大τ行为相匹配，我们需要b=4A（z-z*). 因此，（3.3）定义的自由边界z（τ）的全局闭式近似值由z给出*（τ） ：=z- （z）- z*)p1级- e-b*τ、 b类*=4A（z- z*). （3.19）下一个结果给出了带条件（2.2）的问题（2.4）自由边界的全局闭合形式近似。定理3.11。设对偶效用函数由（3.1）给出，假设3.2成立。莱茨*（τ） 在（3.19）中，是（3.3）定义的自由边界z（τ）的全局闭合形式近似（GCA）。然后，条件为（2.2）的问题（2.4）的唯一自由边界严格递减，并由x（t）=-英国经验值z*（θ（T- t） /2）, 0≤ t型≤ 此外，原始值函数由V（T，x）=V（T，I（T，x））+xI（T，x）给出，最优反馈控制由π给出*t=θσI（t，x）~Vy y（t，I（t，x）），（3.20），其中▄V是双值函数，近似由▄V（t，y）=▄UK（y）给出-ZτZ∞z*（s） G（τ- s、 年- w） φ（w）dwds，（3.21）τ=θ（T- t） /2，并且y=I（t，x）是方程的唯一解，对于x>K，Vy（t，y）+x=0。见第5节。备注3.12。

在连续域中，最优反馈控制π*可以使用原始值函数使用（2.3）或使用双值函数使用（3.20）进行计算。由于强对偶关系，这两种方法将产生相同的最优交易策略。一般来说，找到初值函数比找到对偶值函数更困难，因为前者满足连续区域中的非线性偏微分方程，而后者是线性偏微分方程。如果对偶自由边界已知，对偶值函数有一个积分表示，可以计算最优控制。这就是GCA发挥关键作用的地方。如果没有GCA，几乎不可能确定连续区域中的最优控制，因为原始值函数和对偶值函数都依赖于未知的自由边界。4数值例子在本节中，我们比较了使用全局闭式近似（GCA）和二叉树方法（BTM）得出的数值结果。我们现在简要解释一下如何使用BTM来解决我们的问题。BTM不能直接应用于解决原始投资停止问题，但是，它可以用来解决双重最优停止问题，这本质上是一个美国期权定价问题，还有一个额外的困难，即必须从方程Vy（t，y）+x=0中找到双重过程的初始值y，而要确定V来解决问题，我们使用以下程序。首先，我们确定一个任意的y>0，并为整个过程y构建一个二叉树，然后使用d y动态规划方法来解决对偶最优停止问题，并在时间0处找到值Vy（0，y）。然后，我们检查▄Vy（0，y）+x的符号：如果为正，我们通过设置y=y/10来减小▄Vy（0，y）的值；如果为负数，我们通过设置y=10y来增加▄Vy（0，y）的值。

重复该过程并获得▄Vy（0，y）。如果▄Vy（0，y）+x和▄Vy（0，y）+x具有相同的设计，我们设置y=y并重复上述过程；如果它们有不同的符号，我们发现了一个由yand y组成的区间，其中包含方程Vy（t，y）+x=0的解。然后使用对分法以线性收敛的方式确定y。一旦确定了对偶过程的初始值y，我们就可以很容易地得到对偶问题的值V（0，y）和自由边界。最后，利用对偶关系，我们可以找到原始问题的最优值和自由边界。示例4.1。我们讨论了最优投资停止问题（2.4）的自由边界和最优策略，在示例3.1中定义了电力公用事业和非HARA公用事业的条件（2.2）。使用的参数为u=0.1，β=0.1，r=0.05，σ=0.3，K=1，γ=0.5，T=1。二项式树方法的时间步数为N=700，可提供4个小数点精度。这些参数满足假设3.2。在图2中，我们使用全局闭式近似（GCA）和二叉树方法（BTM）绘制了电源和非HARA实用程序的最佳执行边界。很明显，GCA和BTM产生具有相同形状和非常小的g AP的自由边界。在图3中，我们描述了最优财富的样本路径以及使用GCA的电力和非HARA公用事业的相应最优交易策略。

我们可以看到，最优交易策略在时间τ之后变为零，最优财富过程在终端时间T之前第一次到达自由边界，τ是投资风险资产的最佳停止时间，最优财富变为Xt=Xτer（T-τ） 对于τ≤ t型≤ T0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t1.41.421.441.461.481.51.521.54延续区域运动区域CABTM（a）0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t1.51.551.61.651.71.75延续区域运动区域CABTM（b）图2：（a）与电力公司BTM相比的最佳运动边界；（b） 与BTM相比，非HARA效用的最佳运动边界。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t1.11.21.31.41.51.6（，X）路径1路径2自由边界练习区域继续区域0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t0.10.20.30.40.50.70.80.9（，*）路径1的最佳策略0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1t1.11.21.31.41.51.61.71.8（，X）路径1路径2自由边界练习区域继续区域0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.7 0.8 0.9 1t0.20.40.60.81.21.4（，*）路径1的最优策略路径2的最优策略（b）图3：（a）初始财富x=1.4的两条不同财富样本路径和电力效用的最优策略。（b） 两种不同的财富样本路径，初始财富x=1.5，以及非HARA效用的最优策略。示例4.2。在这个例子中，我们比较了初始时通过闭式近似和b二叉树方法获得的最优值和最优策略。（i） 对于功率和非HARA效用，我们比较了n GCA和BTM之间的数值结果。使用的参数为u=0.1，β=0.1，r=0.05，σ=0.3，K=1，γ=0.5，T=1，T=0，初始财富x=1.5，二叉树方法的时间步数N=700。

数值结果如表1所示。（ii）在表2中，我们给出了功率和非HARA效用下BTM和GCA之间绝对和相对差异的平均值和标准偏差。我们确定K=1，T=1，T=0，initialwealth x=1.5，二叉树方法的时间步数N=700。restparameters是随机选择的：10个样本u来自均匀分布的区间[0.05，0.15]，r在[0.02，0.08]，β在[0.05，0.15]，σ在[0.10，0.40]，γ在[0.2，0.6]。我们还要求参数满足假设3.2。从表2中的数字中，我们观察到GCA和BTM最优值之间的差异非常小，而GCA的计算时间f远小于BTM。GCA显示正确且快速。与最优值相比，同时使用BTM和GCA计算最优策略的误差更大。

这并不奇怪，因为最优策略是用值函数的导数计算的。表1：GCA和BTM之间的比较，例如4.2（i）。电力公司非哈拉电力公司最优值最优策略最优值最优策略GCA值1.4128 0.6558 1.5094 0.6776BTM值1.4031 0.7454 1.5116 0.6846差异0.0096 0.0899 0.0022 0.0069相对差异0.0069 0.1206 0.0015 0.0101 GCA 22.7s 10.9s 11.4s 5.6BTM 1683.2s 1664.2s 2777.6s 2744.6s稳定2：GCA和BTM之间的比较，例如4.2（ii）。电力公司非哈拉电力公司最优值最优策略最优值最优策略平均偏差0.0074 0.0969 0.0034 0.0281标准偏差0.0050 0.1495 0.0062 0.0462平均相对偏差0.0050 0.0745 0.0022 0.0630标准相对偏差0.0033 0.1145 0.0045 0.0919平均时间GCA 23.2s 8.2s 23.0s 9.3sAvg时间BTM 2640.6s 2878.6s 2844.2s5在本节中，我们提供论文结果的详细证明。5.1推论证明2.3证明。一切都是定理2.2的简单翻译。我们只需要显示（2.12）保持。对于某些固定的y>0和y<y，使用▄UK（0）=∞ V在y中的凸性，我们有Vy（t，y）≤V（t，y）-V（t，y）y- y≤V（t，y）-英国（y）y- y、 这给了limy→0-Vy（t，y）= +∞ . 同样，对于某些固定的y>0和y<y，使用（2.5），我们得到0≤ -Vy（t，y）≤ -V（t，y）-V（t，y）y- y≤ -英国（y）-V（t，y）y- y≤ --肯塔基州-V（t，y）y- y、 这给了limy→∞-Vy（t，y）:= 一≤ K、 5.2定理3.3的证明。在运动区域，我们立即得到vz=gz。在延拓区域中，sincevz（0，z）=gz，vz（τ，z）=gz表示（τ，z）∈ Cz，通过假设3.2和qj<0，我们得到了l[gz]=φ′（z）=JXj=1Ajqjeqjz- Kνez≤ 另一方面，在延拓域中，它认为L[vz]=0。所以我们有L[vz- 广州]≥ 0在延续区域中。

通过比较，我们得到了- 广州≥ 因此，如果（τ，z）∈ Cz，即v（τ，z）>g（z），然后对于任何z>z，v（τ，z）- g（z）≥ v（τ，z）- g（z）>0，由此推断（τ，z）∈ 捷克。这表明CZ的每个τ-截面是连接的。自由边界z（τ）的存在性如下。我们得到（3.3）和（3.4）。此外，（3.5）遵循（3.4）。5.3示例3.4的证明。情况1：如果A>0，从T heorem 3.3，我们知道存在一个由（3.3）定义的唯一自由边界z（τ）。如果A=0，则A>A=0，定理3.3意味着存在由（3.3）定义的唯一自由边界z（τ）。案例2：我们现在证明（3.6）-（3.9）。在∧处表示th：={（τ，z）；z（τ）≤ z≤ z（τ），0<τ≤θT/2}。由于A<0<A，A+4AνK>0且φ（z）=ez（Ae-4z+Ae-2z- νK），则方程φ（z）=0存在两个根。我们用zI表示这两个根，zII用zI<zII表示。通过直接计算，我们得出：-日志-A.-pA+4AKν2A，zII=-日志-A+pA+4AKν2A。然后从运动区域的定义Sz={（τ，z）；v（τ，z）=g（z），0<τ≤ θT/2}和变分方程（2.8），我们有L[v]=L[g]=φ（z）≥ 0表示（τ，z）∈ 深圳。这意味着SZ（τ，z）；φ（z）≥ 0, 0 < τ ≤ θT/2=0 < τ ≤ θT/2，zI≤ z≤ 齐伊.这表明τ-截面{z；v（τ，z）=g（z），0<τ≤ 运动区域sz的θT/2}有界。因此，（3.6）-（3.7）中的z（τ）和z（τ）定义良好。通过z（τ）和z（τ）的定义，我们得到了Sz Λ. 现在，我们证明∧ 深圳。（5.1）自（τ，z）；z=z（τ）或z=z（τ），0<τ≤ θT/2 Sz公司（τ，z）；φ（z）≥ 0, 0 < τ ≤ θT/2,我们有∧（τ，z）；φ（z）≥ 0, 0 < τ ≤ θT/2. 假设（5.1）为假。当存在一个非空子集时，N=Cz∩∧和抛物线边界pN编号OhmT-捷克。“此处”OhmTdenotes th eclosure ofOhmT、 ThusL【v】=0，（τ，z）∈ N，L【g】=φ（z）≥ 0，（τ，z）∈ N，v=g，（τ，z）∈ 请注意。根据比较原则，v≤ g在N中，这意味着N=. 因此产生了矛盾。

因此，（5.1）成立。所以∧=Sz，即（3.9）成立。（3.8）遵循（3.9）。接下来，我们证明了两个自由边界的单调性。如果z（τ）不增加，则存在τ<τ，使得z（τ）>z（τ）。自vτ≥ 0（见（2.11）），我们有g（z（τ））=v（τ，z（τ））≥ v（τ，z（τ））>g（z（τ）），这是一个矛盾。因此，z（τ）在增加。类似地，z（τ）正在减小。最后，我们证明了（3.10）和（3.11）。Iflimτ→0z（τ）>zI，则对于满足limτ的任何z→0z（τ）>z>zI，τ=0，我们有0=vτ- vzz+κvz+ρv=vτ+φ（z）>0，其中最后一个等式来自于vτ≥ 0和φ（z）>0表示zI<z<zII。这是一种矛盾。因此，（3.10）成立。通过类似的论证，我们可以得到（3.11）。案例3：事实上，如果≤ 0或A<0<A，A+4AνK≤ 0，则L[g]=φ（z）=ez（Ae-4z+Ae-2z- νK）≤ 因此，g是pr ob lemL[v]=0（τ，z）的子解∈ OhmT、 （5.2）v（0，z）=g（z），z∈ R、 （5.3）表示问题（5.2）-（5.3）的解为 v。然后通过比较，我们得到 v- g级≥ 0英寸OhmT、 因此，v也是问题（2.8）的解决方案。5.4示例3.6的证明。情形1和情形3可以很容易地证明如下：由于K=0，我们有L[g]=φ（z）=Ae-3z+Ae-z≥ 如果为，则为0≥ 0或φ（z）≤ 如果为，则为0≤ 0，因为关系A<A。如果φ（z）≤ 0，然后通过与示例3.4中的证明相同的参数，我们得出结论，不存在自由边界，在到期之前停止不是最优的。Ifφ（z）≥ 0，则v=g是问题（2.8）的解，这意味着没有自由边界，最好立即停止。接下来我们证明案例2。我们可以在示例3.4的证明中使用类似的参数来显示z（τ）的（3.12）、（3.13）和单调性。我们只需要证明（3.14）。如果z（τ）有界，那么我们有limτ→∞z（τ）<∞.