最优投资自由边界的全局闭式逼近

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英文标题：
《Global Closed-form Approximation of Free Boundary for Optimal Investment
  Stopping Problems》
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作者：
Jingtang Ma, Jie Xing, Harry Zheng
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we study a utility maximization problem with both optimal control and optimal stopping in a finite time horizon. The value function can be characterized by a variational equation that involves a free boundary problem of a fully nonlinear partial differential equation. Using the dual control method, we derive the asymptotic properties of the dual value function and the associated dual free boundary for a class of utility functions, including power and non-HARA utilities. We construct a global closed-form approximation to the dual free boundary, which greatly reduces the computational cost. Using the duality relation, we find the approximate formulas for the optimal value function, trading strategy, and exercise boundary for the optimal investment stopping problem. Numerical examples show the approximation is robust, accurate and fast.
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中文摘要：
本文研究有限时间范围内同时具有最优控制和最优停止的效用最大化问题。该值函数可以用一个变分方程来描述，该变分方程涉及一个完全非线性偏微分方程的自由边界问题。利用对偶控制方法，我们得到了一类效用函数（包括幂函数和非HARA效用函数）的对偶值函数及其对偶自由边界的渐近性质。我们构造了对偶自由边界的全局闭式近似，大大降低了计算量。利用对偶关系，我们找到了最优投资停止问题的最优值函数、交易策略和执行边界的近似公式。数值算例表明，该方法具有鲁棒性好、精度高、速度快等优点。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Global_Closed-form_Approximation_of_Free_Boundary_for_Optimal_Investment_Stoppin.pdf (548.4 KB)

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关键词：自由边界 Mathematical maximization Quantitative Differential

最优投资停止问题自由边界的全局闭式逼近*, Jie Xing+和Harry Zheng摘要在本文中，我们研究了在有限时间范围内同时具有最优控制和最优停止的效用最大化问题。值函数可以用一个变分方程来描述，该方程涉及一个完全非线性偏微分方程的自由边界问题。利用对偶控制方法，我们得到了一类效用函数（包括幂函数和非nHARA效用函数）的对偶值函数和相关对偶自由基的渐近性质。我们构造了对偶fr e e e边界的全局闭合d形近似，这大大减少了计算成本。利用对偶关系，我们找到了最优投资停止问题的最优值函数、交易策略和EXercise边界的近似公式。数值算例表明，该方法具有鲁棒性好、精度高、速度快等优点。2010 MSC:49L20，90C46关键词：最优投资停止问题，对偶控制方法，自由边界，全局闭式近似。1引言在效用最大化方面有广泛的研究。两种主要的ap方法是随机控制（动态规划，HJ B方程）和凸对偶（静态优化，鞅表示）。seeFleming和Soner（1993）、Karatzas和Shreve（1998）、Pham（2009）以及其中的参考文献对效用最大化这两种方法进行了出色的阐述。终端财富效用最大化的一种变体是，投资者可以在到期之前或到期时停止投资，以获得预期效用的总体最大值，这自然会导致混合最优控制和停止问题。

这条线上的早期工作包括：关于值函数在初始时间的性质的Deskaratzas和Wang（2000）和Dayanik和Karatzas（2003），关于变分方程粘性解的存在性的Ceci和Bassan（2004），关于值函数在初始时间的等价性的Henderson和Hobson（2008）*西南财经大学经济数学学院，中国成都，611130（电子邮件：mjt@swufe.edu.cn). 这项工作得到了国家自然科学基金（GrantNo.11671323）、新世纪大学优秀人才计划（中国国家自然科学基金项目编号NCET-12-0922）和中央大学基础研究基金（JBK1805001）的资助。+西南财经大学经济数学学院，中国成都，611130（电子邮件：1160202Z1010@2016.swufe.edu.cn).通讯作者。英国伦敦SW7 2BZ帝国理工学院数学系（电子邮件：h。zheng@imperial.ac.uk).马尔可夫链过程和功率效用。以上文献均未讨论自由边界问题。Jian et al.（2014）应用对偶变换方法将具有幂效用的非线性变分方程转化为线性Pd的等效自由边界问题，并定性分析了fr ee边界和最优策略的性质。Guan等人（2017年）将这项工作进一步扩展至看涨期权类型终端支付和电力公用事业的问题。众所周知，确定变分方程的自由边界是一个困难的问题，见Peskir和Shiryaev（2006）。一个很好的例子是A M er ican选项定价问题。自由边界将运动区域从连续区域中分离出来，并建立了一个难以求解的积分方程，见Detemple（2005）。

与美式期权定价问题相比，寻找最优投资停止问题的自由边界更为困难，因为前者在连续区域有一个非线性PDE和一个非Lipschitz连续效用函数，并且可能有一个或多个自由边界，而后者在连续区域有一个线性PDE和一个Lipschitz连续支付函数，并且唯一的自由边界。Jian et al.（2014）和Guan et al.（2017）中的特征变换是将原始非线性变分方程简化为对偶线性变分方程的正确方向，然而，找到自由边界仍然是一个具有挑战性的开放问题。本文研究了一般效用函数的最优投资停止问题，要求财富高于一个阈值，该阈值可以是负债或最低生活标准，称为投资组合保险。使用Jian et al.（2014）和Guan et al.（2017）中的对偶变换方法，我们将原始变分方程转换为线性偏微分方程的等效自由边界问题，并证明存在唯一的光滑自由边界，该边界满足一类效用函数的积分方程，包括幂和非HARAutilities，见定理3.3和3.7。然后，我们应用渐近分析来描述自由边界在到期时间趋于零和有限时的限制行为，见定理3.8和3.9。我们构造了一个与具有匹配极限行为的自由边界具有相同性质的simp-le函数，并将其用作自由边界元的全局闭式近似，这一点受到Xie等人的启发。

（2014）对于仅具有简单时间的抵押贷款支付问题，与我们的非利普希茨状态依赖支付和双重过程的初始值未知相比，状态独立支付和过程的初始值已知。最后，利用对偶关系，我们恢复原始值函数和相应的自由边界，见定理3.11。本文的主要贡献是，我们给出了一类一般效用函数最优投资停止问题自由边界的全局闭式近似（GCA）。GCA有几个决定性的好处：它提供了一个简单的解析公式，用于分离停止区域和延续区域，它为对偶值函数提供了一个半封闭形式的积分表示，这使得在延续区域中找到最佳交易策略成为可能，并导致快速高效的计算。成功的关键是对偶最优停止问题fr-ee边界渐近性质的显式表征。据作者所知，这是首次在最优投资停止问题的文献中报告此类结果。数值试验表明，与二项式树方法相比，GCA方法准确且快速，二项式树方法本身在解决最优投资停止问题方面是实用且有效的，见示例4.2。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们引入了最优投资停止问题，将HJB变分方程转化为一个等价的对偶变分方程，证明了对偶解的存在唯一性及其性质，并给出了原问题的相应结果。

在第3节中，我们给出了一类效用（包括幂和非HARA效用）的主要结果，定理3.7说明了自由边界是单调光滑的，并且满足积分方程，定理3.8和3.9描述了当到期时间为零或不确定时自由边界的渐近行为，定理3.11构造了自由边界的GCA。我们还举了两个例子（例子3.4和3.6）来说明效用最大化与投资组合保险的根本区别。在第4节中，我们进行了一些数值测试，以比较GCA和二叉树方法得出的结果，并表明建议的GCA是准确、快速和稳健的。在第五节中，我们给出了主要结果的证明。第6节结束。为了方便读者，附录提供了定理2.2的证明。2最优投资停止问题我们考虑一个具有概率空间的完全市场(Ohm, F，P）和标准布朗运动W产生的自然过滤（Ft），满足通常条件。它由一个利率r>0的无风险储蓄账户和一个满足以下随机微分方程（SDE）dSt=uStdt+σStdWt的风险资产组成，其中u>0是股票增长率，σ>0是股票波动率。Let（Xt）0≤t型≤t忽略财富过程和πt投资者在时间t的风险资产中持有的财富量。

通过持续的自我融资策略，财富过程（Xt）0≤t型≤Tevolves asdXt=rXtdt+σπt（θdt+dWt），其中θ=u-rσ是风险的市场价格，（πt）0≤t型≤t金融时报渐进式可测量且令人满意的投资组合过程[RT |πt | dt]<∞.最优投资停止问题由upπ，τEhe给出-βτU（X0，x，πτ- K） i，其中U是效用函数，τ∈ [0，T]是Ft适应的停止时间，β>0是效用折扣因子，K>0是最小财富阈值。如果K=0，那么问题是标准效用最大化，有投资和停止。结果表明，K>0和K=0将导致非HARA效用的最优交易策略完全不同，这表明不能通过设定K=0来简单地将投资组合保险问题转化为标准效用最大化问题，从而得到一个似乎被简化的等效问题，详细讨论见示例3.4和3.6。假设2.1。U∈ Cis是[0，∞), 满足U（0）=0，U(∞) = ∞, U′（0）=∞ , U′型(∞) = 0，对于x，U（x）<C（1+xp）≥ 0，其中C>0，0<p<1是常数，U（x）=-∞ 对于x<0。定义值函数asV（t，x）=supτ，πEhe-β(τ -t） U（Xt，x，πτ- K） | Xt=xifor（t，x）∈ （0，T）×（K，∞). 然后，V满足以下HJB变分方程（见Guan等人（2017））：min-五、t型- supπLπ[V]，V- U（x- K）= 0（2.1）（t，x）∈ （0，T）×（K，∞), 式中，lπ[V]=rxVx- βV+π（u-r） Vx+πσVxx，Vx表示xV（t，x）、V和Vxx的定义类似。边界和终端条件由v（t，K）=0，t给出∈ （0，T），V（T，x）=U（x- K） ，x∈ （K，∞). （2.2）假设V（t，·）是严格凹的，则Lπ[V]的最大值在π处达到*t=-θσVxVxx，（2.3）和（2.1）相当于tomin-五、t+θVxVxx- rxVx+βV，V-U（x- K）= 0（2.4）（t，x）∈ （0，T）×（K，∞).我们使用对偶方法求解变分方程（2.4）。

U的双重功能(·-K） 定义为▄UK（y）：=supx>K[U（x-K）- xy]=▄U（y）- Ky，y>0，其中▄是U的对偶函数。很容易检查▄UKis连续可微、递减、严格凸，▄UK（0）=∞ 和- 肯塔基州≤英国（y）≤~C+~Cypp-1.- Ky，（2.5），其中▄C=最大值NC，（Cp）p-1[p-1.- 1] o.将双值函数定义为▄V（t，y）=supt≤τ≤特赫-β(τ -t） UK（Yτ）| Yt=yi，其中（Yt）0≤t型≤这是一个满足SDEdYt=（β）的双重过程- r） 年初至今- θYtdWt。（2.6）然后，双值函数满足以下变分方程（见Guan等人（2017））：min(-Vt型-θyVy y- (β - r） y▄Vy+β▄V，▄V-UK）=0（2.7）（t，y）∈ （0，T）×（0，∞), 终端条件为▄V（T，y）=▄UK（y），y∈ (0, ∞).definez=对数y，τ=θ（T- t） ，v（τ，z）=v（t，y）。然后v满足以下变分方程：min{L[v]，v- g} =0（2.8）（τ，z）∈ OhmT： =（0，θT/2）×R，初始条件为v（0，z）=g（z），对于z∈ R、 式中，L【v】=vτ- vzz+κvz+ρv，g（z）=UK（ez），（2.9）和常数ν，ρ，κ由ν=2rθ，ρ=2βθ，κ=ν定义- ρ + 1.下一个结果显示了变分方程（2.8）的唯一解的存在性，每个变量都具有单调性。用W1,2p表示(OhmT） Sobolev空间和W1,2p，loc(OhmT） W1,2p，loc定义的局部Sobolev空间(OhmT） ：={v∈ W1,2p（Q）， Q OhmT} 。定理2.2。问题（2.8）有一个统一的解决方案v∈ C（“”OhmT）∩ W1,2p，位置(OhmT） 对于1<p<+∞ ,满意G（z）≤ v（τ，z）≤C（eBτ+pp-1z+1），（τ，z）∈ OhmT、 （2.10）式中，B=|（pp-1)- κpp-1.- ρ|+1和▄C=最大值（Cp）p-1[1/p- 1] o.此外，v satifiesvz≤ 0, -vz+vzz>0，vτ≥ 0，（τ，z）∈ OhmT、 （2.11）证明。见Ap pendix。由于▄V（t，y）=V（τ，z），利用定理2.2，我们可以很容易地得出▄V的相应结果。推论2.3。

问题（2.7）有唯一的解决方案V∈ C（[0，T]×（0，∞)) ∩W1,2p，loc（[0，T）×（0，∞))对于1<p<+∞, 满足英国（y）≤V（t，y）≤C（eB（T-t） 扬子石化-1+1），（t，y）∈ [0，T）×（0，∞),式中，B=Bθ/2和B，~C在定理2.2中给出。此外，V在t和D上减小，在y上严格凸，令人满意→0-Vy（t，y）=+∞, 石灰→∞-~Vy（t，y）：=a≤ K、 t型∈ （0，T）。（2.12）证明。见第5节。备注2.4。我们可以通过定义V（t，x）=infy>0[°V（t，y）+xy]（2.13），轻松找到条件为（2.2）的变分HJB方程（2.4）的强解V∈ （0，T）和x∈ （K，∞), V在x中是严格凹进和严格凹进的，详见Jian et al.（2014）。3主要结果在本节中，我们考虑形式为▄UK（y）=JXj=1的双重效用函数-qjyqj- Ky，（3.1），其中q<q<···<qJ<0。示例3.1。如果J=1且q=γγ-1如果0<γ<1，则▄U（y）是功率效用U（x）=γxγ的对偶函数。如果J=2且q=-3，q=-1，则▄U（y）是非哈拉效用U（x）=H的双重函数-3（x）+H-1（x）+xH（x），其中H（x）=(-1+√1+4x）1/2，见卞和郑（2015）。定义φ：=L【g】，其中L在（2.9）中定义。直接计算得出φ（z）=L[g]（z）=JXj=1Ajeqjz- νKez，（3.2），其中Aj=qj- κ - ρ/qj。请注意A<A<···<AJ。将z坐标中的延拓区域定义为Cz：={（τ，z）；v（τ，z）>g（z），0<τ≤θT/2}，运动区域为Sz：={（τ，z）；v（τ，z）=g（z），0<τ≤ θT/2}。对于我们的主要结果，我们需要以下假设。假设3.2。模型参数满足K＞0和A＞0。现在我们可以证明自由边界的存在。定理3.3。假设3.2成立。然后存在一个由z（τ）定义的唯一自由边界z（τ）：=inf{z；v（τ，z）>g（z）}，0<τ≤ θT/2。

（3.3）使连续区域CZ和练习区域SZ可以分别写入asCz=（τ，z）；z>z（τ），0<τ≤ θT/2（3.4）和SZ=（τ，z）；z≤ z（τ），0<τ≤ θT/2. （3.5）证明。见第5节。示例3.4。在本例中，我们考虑非HARA效用（J=2，q=-3，q=-K>0时为1 in（3.1））。由于A<A，我们讨论以下三种情况。案例1：A≥ 存在（3.3）定义的唯一自由边界z（τ）。情况2：A<0<A和A+4AνK>0。存在两个由z（τ）定义的自由边界z（τ）和z（τ）：=inf{z；v（τ，z）=g（z）}，0<τ≤ θT/2，（3.6）和z（τ）：=s up{z；v（τ，z）=g（z）}，0<τ≤ θT/2，（3.7），使得连续区域和运动区域由CZ给出=（τ，z）；z<z（τ）或z>z（τ），0<τ≤ θT/2（3.8）和SZ=（τ，z）；z（τ）≤ z≤ z（τ），0<τ≤ θT/2. （3.9）此外，z（τ）随着limitslimτ的增大而增大，而z（τ）随着limitslimτ的减小而减小→0z（τ）=-日志-A.-pA+4AKν2A，（3.10）和Limτ→0z（τ）=-日志-A+pA+4AKν2A。（3.11）案例3：A≤ 0或A<0<A和A+4AνK≤ 0、没有自由边界，在到期之前停止不是最佳选择。由于证明有点技术性，我们将其保留在第5节中。图1（a）-（c）说明了上述三种情况，其中CZ为连续区域，SZ为执行区域。备注3.5。例如3.4，简单代数表明Ai=Aiβ+bi，i=1，2，其中a=8/（3θ），a=4/θ，b=-2（2+r/θ），b=-2（1+r/θ）。表示b yβ：=-ba=θ+r，β：=-ba=θ+r。然后A≥ 0等于β≥ β和A≤ 0等于β≤ β. 对于A<0<A或β<β<β的情况，我们需要检查A+4AνK的符号，这需要更详细的b但仍然是简单的分析。用β表示：=β+srKθ+r+rK公司-rK，β：=β-srK公司θ+r+rK公司-rK。很容易确定β<β<β<β。结果是A+4AνK≤ 0等于β≤ β ≤ β.