系统希腊人：衡量金融网络中的风险

事实上，方程式（83）表明，所有希腊人都是标准布莱克-斯科尔斯希腊人的分析放大版。st公司at=1- wsΦ（d+）（85）rt公司at=1- wdΦ(-d+（86）st公司σ=1 - wsat^1（d+）√τ (87)rt公司σ= -1.- wdat^1（d+）√τ (88)-st公司τ= -1.- ws系列在Д（d+）σ时√τ+r（1- wd）de-rτΦ（d-)(89)-rt公司τ=1 - 西部数据r（1- wd）de-ρ（d+）σ下的rτ+√τ- r（1- wd）de-rτΦ(-d-)(90)st公司r=1- ws（1- wd）dτe-rτΦ（d-) (91)rt公司r=-1.- 西部数据(1 - wd）dτe-rτ- (1 - wd）dτe-rτΦ(-d-)（92）图3显示, 五、 Θ和ρ，参数如上所述。与nocross holdings ws=wd=0相比，放大率明显可见。有趣的是，虽然困境中的风险通常很高，即当企业接近其违约边界时，σ、τ和r的风险随着资产价值的下降而消失，即彻底违约。 相反，在这种情况下，债务的交叉持有量很高，而且增加了。此外 风险总是积极的，与股权和债务持有人之间对冲的其他风险不同。总的来说，这表明 作为交叉持股产生的系统性风险的适当衡量标准。比较起来也很有趣 对于企业价值，即。vat=1-wsΦ（d+）+1-wdΦ(-d+，系统风险指数π在附录C.2中计算为π=1-wsΦ（d-) +1.-wdΦ(-d-).

因此，Black-Scholes模型的货币百分比与 此设置中也会出现。wd=0wd=0.2wd=0.4wd=0.6ws=0ws=0.2ws=0.4ws=0.60.0 0.5 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.0 1.50.00.51.01.52.02.50.00.51.01.52.02.50.00.51.01.52.02.50.00.51.52.02资产现货价格债务权益价值波动率σ0.1 0.4wd=0.2wd=0.4wd=0.6ws=0.2ws=0.4ws=0.60.0 0.5 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.50.00.51.00.51.0资产权益价值波动率σ0.1 0.4wd=0.2wd=0.4wd=0.6WD=0 WS=0ws=0.2ws=0.4ws=0.60.0 0.5 1.0 1.50.0 0.5 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.0 1.50.0 0 0 0.5 1.0 1.5-0.2-0.10.00.1-0.2-0.10.00.1-0.2-0.10.00.1-0.2-0.10.00.1资产现货价格Θ债务权益价值波动率σ0.1 0.4wd=0.2wd=0.4wd=0.6ws=0.2ws=0.4ws=0.60.0 0 0.5 1.0 1.50.0 0.5 1.0 1.50.0 0.5 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.5-1012-1012-1012-1012资产现货价格ρ债务权益价值波动率σ0.1 0.4图3：希腊, 五、 ρ和Θ表示ws、wd的交叉持有分数∈{0，0.2，0.4，0.6}和波动率σ=0.1，0.4.4.2随机网络示例我们再次考虑n家公司，每个公司现在持有不同的外部资产ai。这打破了上述解决方案的对称性，并且通常无法进行分析处理。事实上，在n=2家公司的情况下，等式（26）中的风险中性预期是难以解决的，即使执行点x*（AT）可以解析求解（Suzuki 2002，Karl 2015）。图4显示了独立对数正态分布外部资产产生的企业价值的联合分布。如Karl（2015）的图6所示选择参数，即r=0、τ=1、a=1、σ=1表示对数正态分布，wd=wd=0.95、ws=ws=0、d=d=11.3表示两家公司的交叉持股和名义债务。

与外部资产的价值相比，企业价值因债务交叉持有而大幅增加，且严重扭曲。尤其是共同违约是非独立的，伴随着密切相关的公司价值。外部资产公司价值0.10.51.05.010.050.00.10.51.05.010.050.00.10.51.05.010.050.0公司1公司2解决方案12图4：两个公司的外部资产和公司价值，参数r=0，τ=1，a=1，σ=1，对于At的对数正态分布，wd=0.95，ws=0，d=11.3，如Karl（2015）的图6所示。因此，在本节中，我们采用数值方法来计算。特别是，我们使用蒙特卡罗积分来近似等式（43）的风险中性预期。此外，正如Gai和Kapadia（2010）所述，我们只考虑债务交叉持股。交叉持股网络是根据Erd"os-R'enyi模型随机生成的，即每个公司以固定概率p与每个交易对手相连。进出连接的数量koutthen遵循泊松分布，两者的平均hki=np。Erd"os-R"enyi模型在hki=1时显示出相变，其中一个巨大的组件，即在热力学极限n内的有限大小的连通子图→ ∞, 出现的关联企业数量。这里，我们调整连接概率，以使连接对手的平均数量涵盖此过渡，并在0到5之间变化。交叉持股的实际权重，即Md，然后通过缩放随机邻接矩阵来获得，使得pimdij=wdj=1，n只要j有任何外部连接。否则，PiMdij=koutj=0。为了说明债务交叉持股不同实力的影响，wdis在0到0.6之间变化。

请注意，在Gai和Kapadia（2010）的模拟研究中，与每家公司的投资组合相对应的传入连接被缩放，以便每个交易对手持有相同的总金额。在我们的例子中，这将对应于要求Mdij=wdkiniwhich，通常不能与上述对传出连接的约束一起确保。Sinkhorn-Knoppalgorithm（Sinkhorn和Knopp 1967，Idel 2016）允许通过迭代重缩放行和列来同时实现固定的行和列总和。在某些条目完全为零的市场上，例如在我们的案例中，公司没有从每个可能的交易对手手中持有债务，这样的重新调整并不总是可能的，而且算法也不一定会收敛。因此，在模拟中，需要一个拒绝步骤来改变随机网络示例的支持度。然而，由于结果几乎没有变化，本节中的所有模拟都基于仅缩放传出连接的简单版本，即PiMdij=wdj、 请注意，这不会使传入连接不受约束，但会在wd以及NPJ（PiMdij）=wd=nPi（PjMdij）时执行其平均重量。假设每家公司持有不同的外部资产，其到期价值是独立的，且呈对数正态分布。我们确定风险中性利率r=0，到期时间τ=1，波动率σ=0.4，初始资产价格在a=0.1和2.5之间变化。请注意，通过方程式（26），这将确定每家公司债务和股权的市场价值。因此，与Gaiand Kapadia（2010）相比，我们无法独立确定外部资产和资本比率的比例。相反，它们是根据所选参数的市场价格得出的。

图5显示了结果值与股权和债务的市场价格以及违约概率。对于平均连通性hki、外部资产价值A和债务交叉持股强度wd的每个组合，我们模拟了1000个网络，n=60家公司。之所以选择这种规模，是因为它显示出较小的有限规模效应，但其规模较小，足以有效计算网络估值和偏导数。对于每个网络，绘制700个正态随机向量Z，用于计算市场价格（方程式（26））和网络价格（方程式（27））。固定点X*（aT（Z））是通过方程式（11）中定义的地图g的Picard迭代发现的，该地图在该模型中有效（Hain和Fischer，2015）。图中显示了所有随机网络、资产价格图的平均值。由于平均而言，所有公司在比例Erd"os-R'enyi模型下都是对称的，因此我们也对公司进行了平均，即显示了典型公司的值。wd=0wd=0.2wd=0.4wd=0.6资本比率BT值默认概率。股权价值细分。外部资产总值0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.00.20.40.60.000.250.500.751.000.000.250.500.751.000.00.51.01.52.00.40.60.81.00123a00 1 2 3 4<k>图5：Erd的市场价值；os-R'enyi随机债务交叉持股网络60家公司。在所有交叉控股的情况下，股权、债务和企业总价值随着多元化而增加，即平均连通性hki。为了与GAI和Kapadia（2010）进行比较，还显示了资本比率、违约概率和外部资产的分形。请注意，这些数据来自市场价格，在我们的模型中是内生的。参数为r=0、τ=1、σ=0.4、Ms=0和a、wd、hki，如图所示变化。图5清楚地说明了债务交叉持股的益处。

对于外部资产a的固定即期价值，股权和债务的市场价格随着hki数量和连接强度的增加而增加。相应地，这种多元化收益会降低违约概率。尽管考虑了一系列广泛的参数，但很少有组合会得出≈ 4%，违约概率为几个百分点，外部资产的比例为≈ 80%在Gai和Kapadia（2010）中被认为是现实的。目前，我们不确定这是否是模型的一个基本限制，即缺少真实市场的重要定性特征，或者可以通过更仔细地选择参数来弥补。接下来，为了研究网络参数对系统性风险的影响，我们计算了网络参数。图6显示了一些选定连接的结果，应与图3进行比较。同样，由于在我们的模型中企业是平均对称的，因此我们显示了对所有企业的平均总影响，例如总计=1吨n1，表示为“值” 在图中。在严格对称解决方案的情况下，债务和股权对风险因素的反应不同。b在外部资产价值较低的情况下，债务交叉持有使Totalis大幅放大，并随着连接数量和强度的增加而增加。在选定的参数下，放大系数以1为界-由于交叉持股职位的员工比例增加。总的来说，希腊人表现出与严格对称情况相似的行为。有趣的是，平均连通性hki的新参数倾向于降低对大多数风险因素的敏感性，除了 这是强烈放大的。阻尼效应是更强的一个公平性，尽管这样，固定值不再是V、Θ或ρ-中性。现在，我们关注 这很容易被解释为资产价格冲击的（一阶）影响。

因此，它应该可以与Gai和Kapadia（2010）模型中的违约蔓延相媲美。在该模型中，注意到了传染窗口的出现：传染开始于随机网络的相位转换，即当企业充分连接，从而出现大型连接集群时，传染开始传播；当单个交易对手的影响变得太小时，即当企业充分分散时，传染停止。在这里，我们获得了类似的结果，如图7所示。特别是在债务交叉持股的情况下，我们观察到资产价格冲击对所有企业的总体影响（价值 =b总）随着连接的增加先增大后减小。但没有明确定义的传染窗口。相反，潜在随机网络的相变在传染中是看不见的——由B量化总计–在hki>0时已经开始上升。此外，多元化可以减少传染，但永远无法完全防止。总的来说，传染最大值的出现类似于一个窗口，是由方程（44）驱动的放大过程中的复杂相互作用所驱动的：虽然增加md中的连通性会导致更高的放大率，但同时默认概率会下降并降低放大率。有趣的是，这两种效应以一种不可见的方式相互平衡，即最初任何连接都会迅速增加传染。另一方面，即使在完全连通的情况下，随着市场价格对企业到期违约可能产生的潜在传染作出反应，传染也不会消失。一、 e.只要违约概率不为零，市场价格就会反映潜在的信用风险，从而对资产价格冲击作出反应。这也是多元化效益受到违约概率降低程度限制的原因。

为了调查和理解 以及其他希腊人在网络环境中的应用。wd=0wd=0.2wd=0.4wd=0.6<k>=0.6<k>=1.2<k>=2.4<k>=3<k>=4.2<k>=4.80.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0 0.5 1.5 2.0 0 0 0.5 1.5 2.0 2.0 0 0 0 0 0 0.5 1.5 1.0 1.0 1.0 2.0 2.50.00.51.52.02.50.00 51.01.52.02.50.00.51.01.52.02.50.00.51.01.52.02.50.00.51.01.52.50.00.51.01.52.02.50.00.51.01.52.02.5a0债务权益价值WD=0wd=0.2wd=0.4wd=0.6<k>=0.6<k>=1.2<k>=2.4<k>=3<k>=4.2<k>=4.80.0 0.5 1.0 1.5 1.5 2.0 2.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.0 0 0 1.0 1.0 1.5 2.5-0.4-0.20.00.20.4-0.4-0.20.00.20.4-0.4-0.20.00.20.4-0.4-0.20.00.20.4-0.4-0.20.00.20.4-0.4-0.20.00.20.4-0.4-0.20.00.20.4a0VDebt股权价值WD=0wd=0.2wd=0.4wd=0.6<k>=0.6<k>=1.2<k>=2.4<k>=3<k>=4.2<k>=4.80.0 0.5 1.0 1.0 1.5 2.0 2.0 0 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 0 0 0 1.5 1.5 2.0 0 0 0 1.5 2.5-0.050.000.05-0.050.000.05-0.050.000.05-0.050.000.05-0.050.000.05-0.050.000.05-0.050.000.05a0Θ债务权益价值WD=0wd=0.2wd=0.4wd=0.6<k>=0.6<k>=1.2<k>=2.4<k>=3<k>=4.2<k>=4.80.0 0.5 1.0 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 0 0 0 1.5 1.5 2.0 5-1-0.50.00.51.0-1-0.50.00.51.0-1-0.50.00.51.0-1-0.50.00.51.0-1-0.50.00.51.0-1-0.50.00.51.0-1-0.50.00.51.0a0ρ债务权益值图6：希腊, 五、 Θ和ρ，Erd"os-R'enyi随机交叉持股网络，取决于外部资产的现货价格。在所有情况下，显示了每家公司对所有其他公司的股权、债务和价值的平均影响。参数的选择如图5所示。wd=0wd=0.2wd=0.4wd=0.6债务股本价值0 2 4 0 2 4 0 2 4 0 2 40.000.250.500.751.000.250.500.751.001.01.11.21.3<k>0.25 0.50 0.75默认概率。图7：b总计取决于交易对手的平均hki数量。

尤其是在大量交叉持有债务的情况下，对公司价值的影响呈现出一个固定窗口。这是由于较高的连通性带来的放大效应与降低违约概率带来的多元化效益之间的相互作用。为了说明这一影响，不同的线（对应于不同的现货价格a）按默认概率着色。5讨论我们研究了网络估值模型，该模型将结构性信贷风险模型扩展到多企业设置。认真考虑衍生产品定价的关联性，我们展示了如何计算网络收益。我们的解决方案是分析性的，必须评估风险中性预期，即从到期日的事后价值到事前市场价格。然而，我们通过蒙特卡罗抽样计算了大型随机交叉持有网络中的网络希腊人。我们相信，我们的模型在调查和理解系统性风险方面具有巨大的潜力和许多优点。首先，它被公认的资产定价理论所指导，为系统性风险分析提供了一种合理而有原则的方法。从这个角度来看，我们主张金融合同的估值和系统性风险不应作为单独的主题进行研究，Fischer也表达了这一观点。此外，从该模型中得出了以下有趣的观察结果：传染效应的变化取决于企业与违约的距离。尤其是当企业经营强劲时，债务交叉持股大多是无形的，但当企业陷入困境时，会放大资产价格冲击。因此，系统性风险的有效管理不能仅基于当前市场价格，而需要包括危机情景。

其次，网络贪婪为量化金融网络中的风险提供了一种原则性方法，将系统风险研究与成熟的风险管理实践联系起来。特别是，我们明确了我们网络之间的关系 以及Demange（2018）提出的威胁。我们相信 最好是量化资产价格冲击对市场的影响，即事前价值，并考虑对企业总价值的影响，而不仅仅是债务偿还。第三，在所考虑的模型中，风险在网络内企业和外部投资者之间进行了不同的重新分配。从他们的外部视角来看，没有放大，风险只是重新分配，没有在他们之间分享太多利益。最后，我们的框架非常通用，对于所考虑的模型的扩展几乎不变。通过纳入equitycross holdings，该模型已经比大多数侧重于违约传染（即债务交叉持股）的系统风险研究更具普遍性。有几个重要的问题有待于未来的研究，例如，不同资历的合同交叉持有（Fischer 2014）或由He和Xiong（2012）研究的单一企业的滚动和流动性风险。虽然这些扩展中的一些似乎是即时的，但由于估值变得不连续，将自重损失纳入默认Battiston et al.（2012）带来了一些挑战。致谢尼尔斯·贝辛格感谢h.c.莫彻博士资助他的职位。假设1的证明。