系统希腊人：衡量金融网络中的风险

（32）此外，h对x的偏导数∈ U*如下所示xh（x）=-[Jf，yf（x，h（x））]-1n×nxf（x，h（x））n×m（33）注意，方程（11）中定义的函数g（a，x）是连续的，几乎处处都是可微的。偏导数如下所示：sjgsi（a，x）=Msijif firm i为solvent0，否则（34）sjgri（a，x）=如果公司i是SolventmiJotherwise（35），则为0rjgsi（a，x）=Mdijif Firm i为solvent0，否则（36）rjgri（a，x）=如果一号公司有偿付能力，则为0（37）ajgsi（a，x）=1如果i=j，且i表有溶剂，则为0，否则为（38）ajgri（a，x）=如果i=j，则为0，否则为1。（39）在这里，如果一家公司的资产价值vii足以偿还其名义债务di，即vi=ai+Pnj=1Msijsj+Pnj=1Mdijrj>di，则该公司具有偿付能力。g的导数existiverywhere，除了边界情况vi=di。确定偿付能力向量ξ=（vi>d（v），vn>dn（vn）），g相对于xc的偏导数可以收集在矩阵中，如下所示xg（a，x）=diag（ξ）Msdiag（ξ）Mddiag（1n- ξ） Msdiag（1n- ξ） Md公司（40）=diag（（ξ；1n- ξ))MSMDMMD（41）因此，定义f（a，x）=x- g（a，x）我们通过隐函数定理2Corollary 1得到。x的偏导数*（a） 由给出斧头*（a）=I2n×2n-xg（a，x）-1.diag（ξ）diag（1n- ξ)（42）证明。用那个xf（a，x）=I2n×2n-xg（a，x）和af（a，x）=-ag（a，x）。然后，结果来自定理2和ag（a，x）=diag（ξ）diag（1n- ξ). 如下文所述，假设1确保xf（a，x）根据需要是可逆的。最后，将方程（27）和（29）与推论1相结合，我们正式计算网络希腊语为θxt=EQtθe-rτx个*（aT（Z；θ））+e-rτI2n×2n-xg（a，x）-1.diag（ξ）diag（1n- ξ)θaT（Z；θ）（43）由于衍生产品几乎无处不在，因此预期已明确，即。

除了一组测量零点。请注意，交叉持股网络的影响完全由Matrix W捕获=I2n×2n-xg（a，x）-1=I2n×2n- 诊断（（ξ；1n- ξ))MSMDMMD-1（44）加权直接敏感性的贡献θaτ（Z；θ）。若无交叉控股，则为Ms，Md≡ 0，这通过等式（40）简化为单位矩阵。加权矩阵W捕捉到的网络效应具有一些有趣的含义：1。它可以被视为卡茨-博纳希奇型中心性，即形式（i- αM）-1、在我们的案例中，不同公司的加权系数α不同，并从其偿付能力状态ξ中内生得出∈ {0, 1}.这里，我们注意到，只要αM的最大特征值小于1，卡茨-博纳希奇中心性就存在。因此，从这个联系中，我们得到方程（44）中的逆式存在，如ξ∈ {0，1}我们假设亚随机交叉持有矩阵Ms，Mdby假设1。此外，它还为有针对性的干预提供了可能性，努力优化控制节点中心（Reiffers Masson等人，2015）。此外，使用扩展（I- αM）-1=∞Xk=0（αM）k=I+αM+（αM）+。（45）很明显，网络总是放大初始冲击。2、有效网络的变化取决于企业违约的距离。考虑所有公司都是溶剂的情况，即ξ=1。然后，根据推论1，权益和债务价值对资产价格变化的敏感性如下所示斧头*（a）=（英寸×n- 毫秒）-1.. （46）因此，只有股权的交叉持股是可见的，债务价值不受影响，因为所有合同都以其名义价值履行。相反，当所有公司都无力偿债，即ξ=0时，敏感性由下式给出斧头*（a）=（英寸×n- Md）-1.. （47）只有债务交叉持股可见。

这意味着，如果公司违约概率发生变化，希腊的市场价值，即等式（43）中的平均值，可以发生实质性的变化。E、 在正常情况下，债务交叉持有可能几乎是看不见的，但在违约概率上升的危机中，会导致风险敏感性。建议系统性风险管理必须考虑到压力情景，即通过提高违约概率，才能在危机中发挥作用。基于这一观察，我们假设这些极端情况分别对应于股权和债务的最大敏感性。假设1。假设1保持并拆分x的偏导数*（a） 作为usud公司=斧头*（a） 。（48）那么，当作为ξ的函数考虑时，usis单调递增，Udi单调递减。附录A.3中给出了在稍强假设下的证明。仅在交叉持有债务的情况下，Demange（2018）提出了一个衡量每家公司溢出潜力的风险指数u。在附录B中，我们导出了与我们的模型的精确关系，并说明了如何从推论1中导出的偏导数计算指数u。基于威胁指数的想法，人们可能会考虑预测EQt[ATx公司*（AT）]作为衡量公司向其他公司溢出的指标。特别是，公司i外部资产变化对所有其他公司价值的总影响πiof可以用π=EQt来衡量【Xi】不及物动词AT]（49）=EQt[1TAATx公司*（AT）]T（50）=EQtTW（diag（ξ）；诊断（1n- ξ))T、 （51）虽然πimight为企业的系统性风险提供了一个有用的代理，但Greeksin通常会对企业的风险进行不同的考虑。

特别是，所有银行对参数θ的总风险敏感性不能计算为xiθ（xt）i6=1TEQtθe-rτx个*（在（Z；θ）处）+ e-rτπTEQtθaT（Z；θ）（52）asξ和θaτ（Z；θ）都依赖于Z，通常不独立。请注意，π可以解释为到期时资产价格冲击的总体影响，即对所有企业的影响。同样，1T = 1TEQt[e-rτatx公司*（AT）]量化当前市场价值下资产价格冲击的总体影响。由于这可能与风险管理目的更相关，我们建议总计=1吨 作为更适合的系统性风险度量。在第4节的示例中，我们对它们的差异进行了更详细的说明和评论。从外部投资者的角度来看，风险管理也很有趣。在这种情况下，我们从命题1中得出，与直接外部资产的风险相比，任何风险都在它们之间进行了重新分配，没有放大：θnXi=1vouti=nXi=1θai（53）特别是关于外部资产A的偏导数，我们发现PIavouti=n，即每个投资者平均承担1的风险，就像他直接持有单个外部资产时一样。然而，总的来说，风险是在外部投资者之间重新分配的，这意味着要审视个人沃蒂作为投资者在外部资产中持有的隐含投资组合的权重。3.3局部近似Barucca et al.（2016）比较了

按照当前的市场价格，他们提出了一个局部近似值，即每个公司都在局部评估其投资组合，即以市场价格对外部资产和其他公司的持股进行定价。这里，我们将讨论此近似值与我们的设置之间的关系。为了简单起见，我们只考虑债务交叉持有的情况。然后，公司债务的市场价值i solvesri=min{di，ai+XjMdijrj}。（54）这可以用Barucca et al.（2016）定义的估值形式写成，asri=diEi>0+（Ei+di）+Ei≤0（55），Ei=ai+PjMdijrj-di=vi-di。使用Baruccaet al.（2016）的估值函数，Ve（Ei）=1（56）Veij（Ej）=Ej>0+Ej+djdj+Ej公司≤0（57）股权的市场价值readsEi=aiVe（E）+xjmdijvij（E）- di。（58）请注意，在我们的设置中，公司i的总负债由Dian提供，如果支付给其他公司，则分为两部分。此外，i toj的名义贷款金额为Mdijdj。因此，方程式（58）对应于Baruccaet al.（2016）的方程式（7）。最后，使用事前估价，例如基于Black-Scholes公式，计算到期日t到期应付名义债务时t的市场价值，我们得出（Ei（t））=1（59）Veij（Ej（t））=EQt“Ej>0+Ej+djdj+Ej公司≤0#（60）=EQtEj（T）>0+ EQtvidiEj（T）≤0. （61）因此，通过非违约风险中性概率EQt【Ej（T）>0】和预期缺口EQt【vidiEj（T）】调整的名义持有Mdijdjis≤0]. 另一种解释认为，由此产生的债券市场价格是由做空的Black-Scholes看跌期权（即dj）保证的票面价值Ej>0+vjdjEj≤0= dj- （dj- vj）+（62）作为Ej≤ 0<=> vj公司≤ dj。因此，企业权益的事前估值可以写成：i（t）=ai（t）+XjMdij（dj- cput（Ej（t）+dj，dj））- di（63），其中cput（vj，dj）表示公司j价值上的看跌期权的布莱克-斯科尔斯价格，以及事前价值VJAN和履约dj。

请注意，除了标准的Black-Scholes假设之外，这还包括其他近似值。首先，由于vjdenotes反映了企业资产组合的价值，因此股权和债务实际上是基本期权，需要进行相应的定价。此外，投资组合价值的波动率σVjis假设为已知和固定的，而不是精确模型中外部资产波动率σ的隐含函数。其次，通过插入相应的定价函数，可以很容易地将战略违约（Leland 1994）或滚动风险（Heand Xiong 2012）等进一步的扩展包括在该设置中。通过E表示自洽市场价值的固定点*（a） 再次利用反函数定理，很容易证明局部逼近的导数由aE*=我- Mddiag（d）电动汽车（E*)-1I（64）=I+Mddiag(放置（E*+ d、 d））-1，（65），即交叉持有矩阵由当地估价职能部门。有趣的是，OTA（2014）独立得出了一个非常相似的结果，他考虑了资产价格冲击的传播，即当确定其投资组合持有的市场价值时。Ota（2014）引入了边际传染的概念，并表明初始资产价格冲击债务交叉持股网络将IAS放大为我- MdΦ-1.IA（66），其中Φ是一个对角矩阵，包含每个公司的风险中性违约概率，即Φ=diag（1-我们的符号中的EQt[ξ]）。因此，交叉持股的风险由违约概率而非估值进行调整Barucca et al.（2016）提出的局部近似的上述sas。当忽略默认相关性时，我们可以提供另一种关联，即推论1中计算的偏导数的事前值。仅考虑债务交叉持有的情况，有必要考虑债务价值r*（a） 。

然后，偏导数由下式给出应收账*（a）=我- 诊断（1- ξ） Md公司-1图（1- ξ） （67）级数展开矩阵逆，风险中性事前值可按QT计算[应收账*（a） ]=EQt“∞Xk=0诊断（1- ξ） Md公司kdiag（1- ξ)#(68)=∞Xk=0EQth诊断（1- ξ） Md公司kdiag（1- ξ） i.（69）一般来说，矩阵幂的期望很难评估。但是，假设默认值独立出现，即EQt[ξiξj]=EQt[ξi]EQt[ξj]，上述表达式可以近似为aEqt[应收账*（a） ]≈∞Xk=0EQt[诊断（1- ξ)]Md公司kEQt[诊断（1- ξ)] (70)=我- 诊断（1- EQt[ξ]）Md-1图（1- EQt[ξ]）。（71）当注意到诊断（1- ξ） Md公司ij=Xk（1- ξi）Mdik（1- ξk）Mdkj（72）诊断（1- ξ） Md公司ij=Xkl（1- ξi）Mdik（1- ξk）Mdkl（1- ξl）Mdlj。（73）明确ξ的期望值可以独立执行。该表达式与Ota（2014）提出的边际传染非常相似。然而，一个主要区别是，风险中性违约概率1的风险调整- EQt[ξ]沿输入而不是输出连接进行。这导致不同的风险放大，如矩阵图（1- EQt[ξ]）md和Mddiag（1- EQt[ξ]）通常是不同的。一种可能的解释是，每家公司在单独管理其风险时，根据其违约概率调整交易对手的价值。从网络的角度来看，它应该调整自己的违约概率，以考虑其对其他企业的传染效应。尽管如此，方程式（70）也是一个近似值，因为Demange（2018）表明，违约不是独立的，而是在债务交叉持有的情况下正相关。因此，根据假设1，近似值低估了金融网络中的风险放大。

有了这些评论，我们将留给未来的工作来探索和理解不同局部近似的含义和差异，并转向网络希腊人的数字错觉。4数值说明在这里，我们考虑几个例子来说明我们的形式解。从一个对称的、完全连接的企业网络开始，通过将其简化为一个代表性的企业来解析求解，然后我们用两个企业和大型随机网络来模拟该模型。4.1对称示例作为第一个示例，我们考虑n个相同的公司。每家公司都有一个分公司SWSN-1和WDN-1带参数0≤ ws、wd<各交易对手权益和债务的1。在这些假设条件下，方程式（6）的简化tosi=max0，ai+Xjwsn- 1sj+Xjwdn- 1rj- di公司, （74）ri=最小值di、ai+Xjwsn- 1sj+Xjwdn- 1rj. （75）此外，我们考虑了相同公司的对称情况，所有公司都具有相同的名义债务di=d，i和外部资产ai=a，i、 然后，通过symmetrysi=s和ri=r，i、 将问题简化为一维固定点=最大{0，a+wss+wdr- d} （76）r=最小值{d，a+wss+wdr}。（77）现在，考虑两种对应于零和正权益的情况：s=0：假设r<d，我们得到了递归r=a+wss+wdr=a+wdr，其解为r*=a1级-wd。这个解决方案与我们的假设一致，只要r*< d<=> a<（1- wd）d.s>0：在这种情况下，我们可以始终假设r=d。然后，s=a+wss+wdd- d带解决方案s*=一-(1-wd）d1-ws。的确，s*> 0<=> a>（1- 因此，两个解分支是互斥的，并在a=（1）给出的默认边界处连接-wd）d.很容易检查，这是指企业价值等于其名义债务的情况，即：。

r*+ s*= d、 结合这两种情况，我们得到了解*=（a）-(1-wd）d1-wsifξ=10，否则（78）r*=d如果ξ=1a1-WD否则，（79），其中偿付能力指标ξ=1，如果a>（1- wd）d，ξ=0，否则。图1说明了WSW和wd不同组合的解决方案。在所有情况下，d=1是固定的，不会失去一般性。请注意，交叉持股如何增加企业价值，股权和债务持股之间存在明显差异。债务交叉持股将违约边界转移到较低的价值，从而在企业破产时增加企业价值，而股本交叉持股在这一制度中无效，相反，当企业有偿付能力时，会导致价值上升。此外，在默认边界保持不变的情况下，它们不提供风险分担利益。如下图所示，这是对称解决方案的一个人工因素，这里考虑的是单个外部资产，通常不正确。wd=0wd=0.2wd=0.4wd=0.6ws=0ws=0.2ws=0.4ws=0.60.0 0.5 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.50123012301230123外部资产IRMDEBT权益价值图1：ws、wd交叉持股分数的方程（80）解∈{0, 0.2, 0.4, 0.6}.假设单个外部资产遵循几何布朗运动，我们可以分析计算债务和权益的市场价值。如附录C.1中所述，我们获得了=1- ws系列在Φ（d+）- (1 - wd）de-rτΦ（d-)（80）rt=1- 西部数据在Φ处(-d++（1- wd）de-rτ（1- Φ(-d-))（81）其中Φ表示标准正态分布函数的累积分布函数，d±定义为d±=lnat（1-wd）d+（r±σ）τ√τσ. （82）与默顿模型一样，股权可以被视为长期看涨期权，债务的回收价值由卖空期权来保证。

事实上，很容易检查公式（80）是否可以在t=1时写入- wsCBS（at，（1- wd）d，r，τ，σ）（83）rt=1- 西部数据e-rτ（1- wd）d- PBS（在，（1- wd）d，r，τ，σ）（84）与哥伦比亚广播公司（CBS）合作，PBS注意到了买入和卖出期权的Black-Scholes价格以及现货价格和履约价格（1- wd）d。总体而言，交叉持股会产生两个影响。首先，与名义上要求的还款相对应的默认边界降低到（1- wd）d.其次，权益和债务价值由1-wsand1-分别为WD。图2显示了市场价值wd=0wd=0.2wd=0.4wd=0.6ws=0ws=0.2ws=0.4ws=0.60.0 0.5 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.50.0 0 0.5 1.0 1.50.0 0 0 0.5 1.0 1.50123012301230123公司资产市场价格股票价值波动率σ0.1∈{0，0.2，0.4，0.6}，挥发度σ=0.1，0.4。权益和债务以及公司总价值。与到期价值相比，即如图1所示，市场价值变得平滑，与隐含看涨期权和短期看跌期权相对应的权益价值增加，债务价值减少。在较高的挥发性下，这种影响甚至更为显著。根据股权与债务交叉持股的相对强度，波动性因此会增加（ws>wd）或降低（ws<wd）公司价值。要计算希腊语，我们可以求助于推论1，如附录C.2所示，或者简单地使用Black-Scholes公式中相应的希腊语。