系统希腊人：衡量金融网络中的风险

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英文标题：
《Systemic Greeks: Measuring risk in financial networks》
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作者：
Nils Bertschinger, Julian Stobbe
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Since the latest financial crisis, the idea of systemic risk has received considerable interest. In particular, contagion effects arising from cross-holdings between interconnected financial firms have been studied extensively. Drawing inspiration from the field of complex networks, these attempts are largely unaware of models and theories for credit risk of individual firms. Here, we note that recent network valuation models extend the seminal structural risk model of Merton (1974). Furthermore, we formally compute sensitivities to various risk factors -- commonly known as Greeks -- in a network context. In particular, we propose the network $\\Delta$ as a quantitative measure of systemic risk and illustrate our findings on some numerical examples.
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中文摘要：
自最近的金融危机以来，系统性风险的概念受到了相当大的关注。特别是，相互关联的金融公司之间的交叉持股所产生的传染效应已经得到了广泛的研究。受到复杂网络领域的启发，这些尝试基本上不了解单个企业信用风险的模型和理论。在此，我们注意到，最近的网络估值模型扩展了默顿（1974）的开创性结构风险模型。此外，我们在网络环境中正式计算了对各种风险因素（通常称为希腊人）的敏感性。特别是，我们提出网络$\\ Delta$作为系统性风险的定量度量，并通过一些数值例子说明了我们的发现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Systemic_Greeks:_Measuring_risk_in_financial_networks.pdf (1.98 MB)

2022-6-11 01:42:59 上传

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关键词：金融网 希腊人 Quantitative Applications QUANTITATIV

系统希腊人：衡量金融网络中的风险贝尔辛格（Bertschinger）*1,2和Julian Stobbe+1系统风险系，法兰克福高等研究所，法兰克福，德国歌德大学计算机科学系，法兰克福，德国2018年10月30日摘要自最近的金融危机以来，系统风险的概念受到了广泛的关注。特别是，已对相互关联的金融企业之间交叉持股所产生的传染效应进行了广泛研究。受到复杂网络领域的启发，这些尝试基本上不了解单个企业信用风险的模型和理论。在此，我们注意到，最近的网络估值模型扩展了默顿（1974）的开创性结构风险模型。此外，在网络环境中，我们通常会计算对各种风险因素（通常称为希腊人）的敏感性。特别是，我们提出了网络 作为系统性风险的定量度量，并通过一些数值示例说明我们的发现。关键词：未定权益分析、金融传染、默顿模型、网络估值、风险中性定价、系统性风险、风险管理、Greeks1简介自最近的金融危机以来，系统性风险的概念受到了广泛关注。系统性风险是指整个金融系统的大部分（如重要的信贷或流动性市场）崩溃的风险。通常，可以区分两种方法。一方面，提出了系统性风险的定量衡量方法（Acharya et al.2010，Adrian and Brunnermeier 2016，Brownlees and Engle 2016），并根据市场数据进行了估计。这些*bertschinger@fias。法兰克福大学。de+jstobbe@FIAS。法兰克福大学。demeasures努力捕捉与大型市场中断相关的统计现象，例如尾部相关性或条件性短缺。

因此，它们是根据市场数据估计的，而没有考虑企业体育投资组合构成的基本要素。另一方面，复杂的网络模型从交叉持股的结构开始。基于关于偿付能力处置的简单而合理的假设，研究了个人违约对整个金融系统的影响（Eisenberg和Noe 2001，Gai和Kapadia 2010，Upper 2011，Battiston et al.2012，Barucca et al.2016）。因此，这些模型主要是通过分析和数值方法对松散类似于真实金融结构的随机网络进行研究。由于其风格化的性质，它们最具说明性，但也为金融传染的动力学提供了重要的见解，例如传染窗口的出现和金融系统的坚固但脆弱的性质。1.1网络估值上述网络模型分析和模拟了直接交易对手违约/资不抵债引起的蔓延。为此，他们关注合同结算时偿还债务的现金流（全部或部分）。艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe）（2001）将这一想法作为“清算支付向量”最生动地表达出来。另一种观点是Uzuki（2002）的工作基础，他认为企业网络中存在债务和股权的交叉持股。偿还债务，即债务交叉持股，不能仅从现金流的角度考虑，因为还需要了解股权交叉持股的价值。因此，该模型扩展了开创性的默顿（1974）模型，该模型将债务和股权价值表示为单个金融机构的衍生合同，并将其扩展到多个交叉持股的金融机构。

从这个角度来看，所有合同都必须一致估值，而不是一套一致的清算付款。有趣的是，这一研究链的发展大多不知道clearingmodels，甚至多次重新发现铃木的结果（Elsinger 2009，Fischer2014）。直到最近，Barucca et al.（2016）才表明，网络估值的思想实际上统一了许多模型，包括Eisenberg andNoe（2001）和Battiston et al.（2012）在一个共同框架下提出的模型。在此，Webbuild在此框架上调查金融网络中的风险。1.2 GreeksIn在单个公司的背景下，Merton（1974）表明，股权可以被视为长期看涨期权，债务保险可以被视为对公司资产价值的短期看跌期权。从而将信用风险与期权定价联系起来。此后，这种结构性信用风险模型被开发出来并广泛用于评估和管理信用风险。尤其是穆迪的KMV模型已成为这方面的行业标准，并经常用于从市场价格数据中恢复潜在违约可能性。此外，期权定价提供了广泛的风险度量和管理技术。希腊人（Haug 2003a，b）被广泛用于量化对多种风险因素的敏感性，例如利率、波动性等。因此，在实践中，它们通常用于评估和对冲期权投资组合的风险。Delta对冲提供了一种降低投资组合风险的众所周知的技术，并建立在期权的基础上, 衡量期权价格对标的现货价格变化的敏感性。它的重要性反映在以下事实上，即选项通常根据其.

和其他希腊人一样， 正式定义为偏导数。在网络估值的背景下，偏导数曾多次用于量化敏感性，无论是对资产价值（Liu和Staum 2010，Demange 2018）还是交叉持股价值的变化（Feinstein et al.2017，Karl 2015）。在这里，我们从几个方面扩展了这项工作。首先，我们利用隐函数定理推导出网络一致契约值的偏导数。有趣的是，据我们所知，大多数社区似乎对此一无所知——一个值得注意的例外是Karl（2015）的论文。其次，我们不考虑合同到期/结算时的事后价值，而是考虑风险中性措施下的事前市场价值。然后，我们计算了几个一阶Greek，并在几个例子中研究了它们的行为。特别是，我们提出了网络 作为系统性风险的一种原则性定量度量。我们的论文结构如下。第二节介绍了数学符号和网络估值模型。在第3节中，我们解释了风险中性定价，并为网络希腊人推导了一个正式的解决方案。我们在第4节的一些例子中说明了我们的结果。最后，我们讨论了我们的模型的含义，并在第5节中对未来的扩展进行了展望。附录中收集了主要的验证和计算结果。在此，我们还将我们的结果与之前的研究相关联，即Demange的威胁指数（2018）和Barucca等人（2016）的局部评估框架。2模型2.1符号和数学预备知识我们快速总结本文中使用的数学符号。我们写向量x，y∈ RN带粗体小写和矩阵A、B∈ Rm×N，带粗体大写字母。向量和矩阵的单个条目写为xi，Aij。

diag（x）表示n×n对角矩阵D，entriesDii=xialong其对角线。矩阵的转置表示为AT。所有包含向量和矩阵的积都被理解为标准矩阵积，例如AB表示A和B的矩阵积，xx是未定义的，而xTx是x自身的标量积。向量或矩阵的行和列方向堆叠分别用（x；y）和（x，y）表示，即（x；y）是2n维向量，而（x，y）是n×2矩阵。随机变量X，Y写为大写字母，单独结果X，Y用小写字母表示。期望值表示为E【f（X）】，并理解为括号内随机变量的（联合）分布。有时，我们使用EQT表示期望值超过了风险中性度量值Q，隐含地取决于截至时间t.2.2的信息过滤。网络估值默顿（1974）表明，股权和企业债务可以分别视为对企业价值的赎回和看跌期权。在此模型中，单一企业持有外部定价资产a和零息票债务，名义金额在单一固定到期日T到期。然后，在时间T，权益价值s和债务回收价值r被给定为ass=max{0，a- d} =（a- d） +，（1）r=最小{d，a}=d- （d）- a） +（2）分别对应于隐式看涨期权和看跌期权。Suzuki（2002）和其他人（Elsinger，2009，Fischer，2014）将该模型推广到多家股权和债务交叉持股的公司。在本文中，我们考虑企业。各表i=1，n持有的外部资产ai>0，以及j公司的部分股权和债务Mdij。这里，investmentfractions Msijand mdijar的界限在0和1之间，即0≤ Ms，dij≤ 1，投资于交易对手j股权的实际价值为Msijsj。下面我们需要：假设1。

没有自我持有，即所有i=1，…的Msii=Mdii=0，n、 nor空头头寸，即Msij、Mdij≥ 所有i为0，j=1，n、 此外，任何交易对手持有的股权和债务比例不得超过统一，即对于所有j=1，n我们需要thatXiMsij≤ 1和XIMDIJ≤ 1.（3） 此外，一些股权和债务由外部持有，即存在JS和JD公司，使得XIMSIJS<1，XIMDIJD<1。（4） 也就是说，Msand Mdare是严格（左）次随机矩阵。现在，公司i持有的所有资产价值由VI=ai+nXj=1Msijsj+nXj=1Mdijrj给出。（5） 相应地，公司权益和债务回收价值由i=max给出0，ai+XjMsijsj+XjMdijrj- di公司, （6） ri=最小值di、ai+XjMsijsj+Mdijrj. （7） 在矩阵表示法中，即将权益和债务值分别收集到向量s=（s，…，sn）和r=（r，…，rn）t中，这可以重写为ass=max0，a+Mss+Mdr- d, （8） r=最小值d、 a+Mss+Mdr（9） 因此，企业的权益和债务价值内生性地定义为固定点的解决方案。当将权益和债务行明智地收集到单个向量x=（s；r），即s=x1：与r=x（n+1）：2n，并将x=g（a，x）（10）写入向量值函数g=（gs，…，gsn，gr，…，grn）Twhere for i=1，ngsi（a，x）=最大值0，ai+XjMsijxj+XjMdijxn+j- di公司, （11） gri（a，x）=最小值di，ai+XjMsijxj+XjMdijxn+j. （12） （13）Gsian和Gri的每一个函数都是连续的，并且在a和x中不断增加。结合假设1，可以得出等式（10）的固定点是正的和唯一的。定理1。假设假设1成立。然后，对于externalassets a>0的每个值，都有一个正且唯一的x解方程（10）。证据我们的模型是Fischer（2014）考虑的一个特例，k=1，dr，r≡ d

此外，Fischer的假设3.1与假设1一致，假设3.6和3.7微不足道，因为我们的名义债务向量是常数。结果随后是他的定理3.8（iv）。从外部投资者的角度考虑该模型很有趣。虽然所有公司的内部价值由v=s+r得出，但股票和债务持有被交叉持有稀释。考虑到公司i，其股票的一部分由其他公司j持有。因此，只有一小部分是1-PJMSJI可供外部投资者使用，也可用于债务。定义1。外部投资者可获得的企业价值定义为（1-XjMsji）si+（1-XjMdji）ri。（14） 当内部价值超过外部资产价值时，即v=s+r（15）=最大值0，a+Mss+Mdr- d+ 闵d、 a+Mss+Mdr（16） =a+Mss+Mdr>a，（17）外部投资者并非如此。提案1。外部投资者可获得的总价值等于外部资产的总价值，即Pni=1vouti=Pni=1ai。证据根据方程式（15），所有公司的总价值为xivi=Xi（si+ri）=Xiai+XjMsijsj+XjMdijrj（18） 外部投资者持有的总价值为XIVOUTI=Xi（1-XjMsji）si+Xi（1-XjMdji）ri（19）=Xi（si+ri）-XiXjMsjisi公司-XiXjMdjiri（20）=Xiai+XjMsijsj+XjMdijrj-XjXiMsijsj-XjXiMdijrj（21）=Xiai（22）Fischer（2014）也指出了这一点，即与投资者可获得的实际基础外部价值相比，资产价值受到交叉持股的影响。通常情况下，vi6=担保，因此，如果i公司与交易对手签订交叉持股协议，对外部投资者来说可能是有益的，也可能是有害的。

事实上，由于外部资产价值在模型中保持不变，交叉持股结构的任何变化都会导致外部投资者之间的零和再分配。3网络GreeksHow风险是如何在交叉持股网络中分布的？金融衍生工具的风险是使用希腊风险敏感度Haug（2003a，b）进行常规衡量和管理的。在本节中，我们以上述模型为基础，该模型将网络索赔的价值视为默顿模型的扩展。因此，交叉持股下的企业权益和债务价值是衍生合同，可以据此定价和管理。特别是，我们计算“希腊网络”来调查互联金融企业产生的系统性风险。据我们所知，这个想法以前从未被研究过。3.1风险中性估值表示方程（10）的唯一解x*（a） ，我们可以将股权和债权的相应价值视为基础a上的衍生合同。相应地，t<t时的事前市场价格为xt=EQt[e-rτx*（AT）]（23）无风险利率r和到期时间τ=T-t、 预期是针对外部资产价值的风险中性度量Q和到期日t进行的。在下文中，我们假设风险中性资产价值遵循多变量几何布朗运动，即dAit=rAitdt+σiAitdWit（24），具有可能相关的维纳过程，即e[dWitdWjt]=ρijdt，ρi，i=1。众所周知，解Atis由ait=aie（r-σi）t+σiWit（25），其中ai>0表示初始值，Wtis多元正态分布，平均值为0，协方差矩阵tC，条目Cij=ρij。注意，WT可以从独立的标准正态变量Z中获得~ N（0，In×N）作为重量=√LTL=C的tLZ。

我们将在下一节中使用此表示法来表示权益和债务合同的风险中性市场价值asxt=EQt[e-rτx*（aT（Z））]=EQthe-rτx*ate（r-σ)τ +√τdiag（σ）LZi、 （26）3.2正式解决方案希腊人量化了衍生品价格对基础参数变化的敏感性。作为起点，在本文中，我们只考虑一阶Greeksonly。特别是，我们调查了股权和债务价格对交叉持股相对于当前资产价值的敏感性 =xt公司at，挥发性V=xt公司σ、 无风险利率ρ=xt公司兰特到期时间Θ=-xt公司τ.用θ=（at，σ，r，τ）表示所有相关参数，考虑到资产价值aτ（Z；θ）取决于随机变量Z和这些参数，我们需要计算以下导数θxt=θEQt[e-rτx*（aT（Z；θ））]（27）=EQtθe-rτx个*（aT（Z；θ））+e-rτθx*（在（Z；θ）处）（28）我们使用莱布尼茨规则来交换期望和差异的顺序。通过链式微分规则，我们得到θx*（aτ（Z；θ））=斧头*（a） | a=aτ（Z；θ）θaτ（Z；θ）。（29）注意斧头*（a） 是定点求解方程（10）的导数。为了计算它，我们利用了隐函数定理。我们的符号采用了Halkin（1974）定理的一个版本：定理2。让U Rm，V Rnand f：U×V→ Rna持续分化功能。假设f（x*, y*) = 点（x）处0（30*, y*) ∈ U×V，且偏导数的雅可比矩阵Jf，xf（x，y），Jf，yf（x，y）存在于（x*, y*). 此外，此时Jf，yis是可逆的。然后，存在一个邻居U* U和连续可微函数h:U*→ Rnwithh（x*) = y*（31）和f（x，h（x））=0x个∈ U*.